1、第21讲 坐标系与参数方程1考题展望参数方程主要要了解参数的意义；能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；会进行参数方程与普通方程的互化；对于极坐标系的考查，主要体现在极坐标与直角坐标的互化2高考真题考题 1(2015 广东)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线 C1 的极坐标方程为(cos sin )2，曲线C2 的参数方程为xt2，y2 2t(t 为参数)，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为_【解析】(2，4)将极坐标方程、参数方程转化为普通方程，联立求得交点坐标，或只将直线的极坐标方程转化为普通方程，再把曲线的参数方程代入直线
2、的普通方程求交点坐标 由(cos sin)2 得 xy2.解法一：由xt2，y2 2t，得 y28x，联立xy2，y28x，得x2，y4，即交点坐标为(2，4)解法二：把xt2，y2 2t，代入 xy20 得 t22 2t20，解得 t 2，x2，y4，即交点坐标为(2，4)【命题立意】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程；参数方程化为普通方程；两曲线的交点考题 2(2015 全国)在直角坐标系 xOy 中，直线C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 4(R)，设
3、C2与 C3 的交点为 M，N，求C2MN 的面积【解析】(1)因为 xcos，ysin，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C2 的极坐标方程为 22cos 4sin 40.(2)将 4 代入 22cos 4sin 40，得 23 240，解得 12 2，2 2.故 12 2，即|MN|2.由于 C2 的半径为 1，所以C2MN 的面积为12.【命题立意】本题主要考查直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系考题 3(2015 陕西)在直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为x312t，y 32 t(t 为参数)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为2 3
4、sin .(1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标【解析】(1)由 2 3sin，得 22 3sin，从而有 x2y22 3y，所以 x2(y 3)23.(2)设 P312t，32 t，又 C(0，3)，则|PC|312t 232 t 3 2 t212，故当 t0 时，|PC|取得最小值，此时，点 P 的直角坐标为(3，0)【命题立意】本题主要考查点和直线由极坐标转化成直角坐标及点与圆的位置关系1坐标系与参数方程(1)直角坐标平面上的伸缩变换(2)极坐标与直角坐标的互化xcos ，ysin 或2x2y2，tan yx（x
5、0）.(3)圆的极坐标方程圆心在极点，半径为 R 的圆的极坐标方程为 R.圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2acos .圆心在点a，2 处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2asin (0)(4)过点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程为xx0tcos ，yy0tsin(t 为参数)(5)圆心在点 M(x0，y0)，半径为 R 的圆的参数方程为xx0Rcos ，yy0Rsin(为参数，0 2)(6)若椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，则其参数方程为xacos ，ybsin(为参数，0 2)1极坐标与参数方程例1在直角坐标系 xOy 中，曲
6、线 C1 的参数方程为x2cos ，y22sin (为参数)，M 是曲线 C1 上的动点，P 点满足OP 2OM，P 点轨迹为曲线 C2.(1)求曲线 C2 的参数方程；(2)在以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与曲线 C1，C2 异于极点的交点分别为 A，B，求|AB|.【解析】(1)设 P(x，y)，则由已知得 Mx2，y2，M 是 C1 上的动点，x22cos，y222sin，曲线 C2 的参数方程为x4cos，y44sin(为参数)(2)曲线 C1 的极坐标方程为 4sin，曲线 C2的极坐标方程为 8sin.直线3 与曲线C1交点A 的极径 14sin3 2
7、 3，与曲线 C2 交点 B 的极经 28sin34 3，|AB|12|2 3.【点评】本题考查曲线的极坐标标方程和参数方程的应用例2在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin4 22.圆M 的参数方程为x 22 rcos，y 22 rsin(为参数，r0)(1)求圆心 M 的极坐标；(2)当 r 为何值时，圆 M 上的点到直线 l 的最大距离为 3?【解析】(1)由圆 M 的参数方程得圆心 M 22，22.设圆心极坐标 M(，)(0，00)有一个公共点在 x 轴上，则 a_【解析】32 曲线 C1：xt1，y12t 的直角坐标方
8、程为 y32x，与 x轴交点为32，0；曲线 C2：xasin，y3cos 的直角坐标方程为x2a2y291，其与 x 轴交点为(a，0)，(a，0)，由 a0，曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上，知 a32.8已知曲线 C 的参数方程为x4cos ，y3sin(为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线 C 上的点按坐标变换x12x，y13y得到曲线 C.(1)求曲线 C的普通方程；(2)若点 A 在曲线 C上，点 D(0，2)，当点 A 在曲线 C上运动时，求 AD 中点 P 的轨迹方程【解析】(1)将x4cos，y3sin 代入x12x，y13y得 C的参数方程为x2cos
9、，ysin.曲线 C的普通方程为x24 y21.(2)设 P(x，y)，A(x0，y0)，又 D(0，2)，且 AD 中点为 P，所以有x02x，y02y2，又点 A 在曲线 C上，代入 C的普通方程x24 y21得 x2(2y2)21，即动点 P 的轨迹方程为 x24(y1)21.9在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为x 5cos ，y 15sin(为参数)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐系，点 P3，2，直线 l 的极坐标方程为 32cos 6.(1)判断点 P 与直线 l 的位置关系，并说明理由；(2)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A，B，求|PA|PB|的值【解析】(1)直线 l：2cos6 3，即 3cos sin 3.所以直线 l 的直角坐标方程为 3xy 3.点 P 的直角坐标方程为(0，3)，所以点 P 在直线 l上(2)直线 l 的参数方程为x12t，y 3 32 t(t 为参数)，曲线 C 的普通方程为x25 y2151，将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得 312t 23 32 t 215，t22t80.设方程的两根分别为 t1，t2，则|PA|PB|t1|t1|t1t2|8|8.