1、 重点难点 重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系和求空间的角、距离 难点：将立体几何问题转化为向量问题 知识归纳 一、空间的角 空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小1异面直线所成的角：在空间取一点O，过O分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角叫做两条异面直线所成的角其取值范围为(0，22直线和平面所成的角：如果直线平行于平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为0；如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的
2、大小为 2；如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的射影所成的锐角为直线和平面所成的角因此直线和平面所成角的范围是0，2平面的斜线AB在平面内的射影为BC，平面内的直线l，l与AB所成的角为，l与BC所成角为1，AB与平面所成角为2，则coscos1cos2，1、2、均在0，2内，并由此得，coscos2，2，这表明平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的，通常称作最小角定理 3二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二
3、面角叫做直二面角 作二面角的平面角的常用方法有：(1)定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角(2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是PBA是二面角的平面角(或其补角)(3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别与两个面的交线，构成二面角的平面角 二、空间的距离 1(1)两点间的距离连结两点的线段的长度(2)点到直线的距离从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度(3)点到平面的距离从平面外一点向平面引垂线，点到垂
4、足间线段的长度 连接平面外一点与平面内任一点的线段中，垂线段最短(4)平行直线间的距离从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度(5)异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度(6)直线与平面间的距离如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度(7)两平行平面间的距离两个平面的公垂线段的长度 2求距离的一般方法和步骤 求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是：找出或作出有关距离的图形；证明它符合定义；在平面图形内计算 空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法三、直线的
5、方向向量与直线的向量方程1对于定点A和向量a(a0)，经过点A与向量a平行的直线l的向量方程 AP ta(tR)，称作以t为参数的参数方程，向量a称为该直线的方向向量2对空间任一确定的点O，点P在经过点A与a平行的直线l上的充要条件是：存在唯一的实数t，使 OP OAta，在l上取AB a，则OP(1t)OA tOB，叫做空间直线的向量参数方程 四、平面的法向量与平面的向量表示 1如果向量a的基线与平面垂直，则a称作平面的法向量2设A是空间任一确定的点，n为空间中任一非零向量如果空间点M满足 AM n0(1)，则点M在过点A与向量n垂直的平面内(1)式称为平面的向量表示式，其中n为平面的法向量
6、 五、其它有关问题 1在求立体几何中线段的长度时，利用aa|a|2.2求平面的法向量的方法设n是平面M的一个法向量，AB、CD是M内的两条相交直线，则nAB0，nCD 0.由此可求出一个法向量n(向量AB及CD 已知)3直线的方向向量的求法在直线l上取两个已知点A、B，则一个方向向量为AB.误区警示 1建立坐标系一定要符合右手系原则 2注意一个向量在另一个向量上的投影的数量的求法及与距离的关系 3平面的法向量与直线的方向向量在求空间的角中起着关键作用，要注意向量的夹角与各种角的联系与区别 一、向量在研究空间直线与平面位置关系中的应用 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时，一般步骤为：建立恰
7、当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量的坐标；结合公式进行论证，计算；转化为几何结论 借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如：1用向量方法研究两直线间的有关位置关系 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b.(1)l1l2或l1与l2重合ab存在实数t，使atb.(2)l1l2abab0.2用向量方法研究直线与平面的有关位置关系 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，v1、v2是与平行的两个不共线向量(1)l或l存在两个实数、，使av1v2an0.(2)lan存在实数t，使atn.lav1av2 av10av20.3用向量方法研究两个平面的位
8、置关系 设平面、的法向量分别为n1、n2.(1)或与重合n1n2存在实数t，使n1tn2.(2)n1n2n1n20.若v1、v2是与平行的两个不共线向量，n是平面的法向量 则或与重合v1且v2存在实数、，对内任一向量a，有av1v2.nv1nv2 nv10nv20.二、用向量法求空间角 1求异面直线所成的角 设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为，则a，b与相等或互补，cos|ab|a|b|.2求直线与平面所成的角如下图，设l为平面的斜线，lA，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成的角，则sin|cosa，n|an|a|n|.3求二面角平面与
9、相交于直线l，平面的法向量n1，平面的法向量为n2，则二面角l为或.设二面角大小为，则|cos|cos|n1n2|n1|n2|.三、用向量法求空间距离 1求点到平面的距离如图所示，已知点B(x0，y0，z0)，平面内一点A(x1，y1，z1)，平面的一个法向量n，直线AB与平面所成的角为，n，AB，则sin|cosn，AB|cos|.由数量积的定义知，nAB|n|AB|cos，点B到平面的距离d|AB|sin|AB|cos|nAB|n|.2求异面直线间的距离如右图，若CD是异面直线a、b的公垂线，A、B分别为a、b上的任意两点，令向量na，nb，则nCD.则由ABACCD DB 得，ABnAC
10、nCD nDB n，ABnCD n|ABn|CD|n|，|CD|ABn|n|两异面直线直线a、b间的距离为d|ABn|n|.3求直线到平面的距离设直线a平面，Aa，B，n是平面的法向量，过A作AC，垂足为C，则ACn，ABn(ACCB)nACn，|ABn|AC|n|.直线a到平面的距离d|AC|ABn|n|.4求两平行平面间的距离(1)用公式d|ABn|n|求，n为两平行平面的一个法向量，A、B分别为两平面上的任意两点(2)转化为点面距或线面距求解 例1 如图，两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，EBC90，M、N分别是BD、AE上的点，且ANDM.求证：MN平面EBC.
11、证明：如图所示，以BA、BC、BE为单位正交基底建立直角坐标系，则A(1,0,0)，D(1,1,0)，E(0,0,1)，B(0,0,0)设ANAEDMBD，则MN MD DA ANBD DA AE(1,1,0)(0，1,0)(1,0,1)(0，1，)(1)BCBE.MN 平行于平面EBC，MN平面EBC，MN平面EBC.(2)证明直线l平面时，可取直线l的方向向量a与平面的法向量n，证明an0；可在平面内取基向量e1，e2，证明直线l的方向向量a1e12e2，然后说明l不在平面内即可；点评：(1)证明直线l1l2时，分别取l1、l2的一个方向向量a、b，则ab存在实数k，使akb或利用其坐标a
12、1b1a2b2a3b3(其中a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)在平面内找两点A、B，证明直线l的方向向量nAB.(3)证明平面平面时，设、的法向量分别为a、b，则只须证明ab.多面体的直观图及三视图分别如图所示已知点M在AC上，点N在DE上，且AMMCDNNEa.求证：MN平面BCEF.证明：证法一：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ABFDCE，且ABBCAF2，CEBF22，BAF90，在CD上取一点G，使DGGCDNNE，连结MG、NG.AMMCDNNEa，NGCE，MGADBC，平面MNG平面BCEF，MN平面BCEF.证法二：AMMCa，ACMCa1，MN
13、平面BCEF，MN平面BCEF.自己再建立空间直角坐标系，用坐标法证明.MC ACa1.同理EN EDa1.MN MC CEEN ACa1CE EDa1 1a1(ACCEED)aa1CE 1a1AD aa1CE 1a1BC aa1CE，MN 平面BCEF.例2 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M平面EFB1.证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E1，12，0，M(1,1，m)AC(1,1,0)
14、，又E、F分别为AB、BC的中点，EF12AC12，12，0.又B1E 0，12，1，D1M(1,1，m1)，D1M平面FEB1，D1MEF且D1MB1E.即D1M EF0，且D1M B1E 0.1212m1000121m0，m12.故取B1B的中点M就能满足D1M平面EFB1.点评：证明直线 l1与l2垂直时，取l1、l2的方向向量a、b，证明ab0.证明直线l与平面垂直时，取的法向量n，l的方向向量a，证明an.或取平面内的两相交直线的方向向量a、b与直线l的方向向量e，证明ae0，be0.证明平面与垂直时，取、的法向量n1、n2，证明n1n20.或取一个平面的法向量n，在另一个平面内取基
15、向量e1，e2，证明ne1e2.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，(1)求证：平面ADE平面B1C1F；(2)求证：平面ADE平面A1D1G；(3)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.解析：以D为原点，DA、DC、DD1 为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，G(0,1,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)(1)设n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则n1DA
16、，n1AE.n1DA 0n1AE0，2x102y1z10，取y11，z12，n1(0,1，2)同理可求n2(0,1，2)n1n2，平面ADE平面B1C1F.(2)DA D1G(2,0,0)(0,1，2)0，DA D1G.AED1G(0,2,1)(0,1，2)0，AED1G.DA、AE不共线，D1G平面ADE.又D1G平面A1D1G，平面ADE平面A1D1G.(3)由于点M在AE上，所以可设AM AE(0,2,1)(0,2，)，M(2,2，)，A1M(0,2，2)要使A1M平面DAE，只需A1MAE，A1M AE(0,2，2)(0,2,1)520，25.故当AM25AE时，A1M平面DAE.例3
17、 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15 B.25C.35D.45 分析：正四棱柱容易建立坐标系，求出点的坐标，故用坐标法求解解析：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,2)，D1(0,1,2)，A1B(1,0，2)，AD1(0,1,2)cosA1B，AD1 A1B AD1|A1B|AD1|45，异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45.答案：D(2010衡水市模考)正四棱锥PABCD的所有棱长相等，E为PC的中点，那么异面
18、直线BE与PA所成角的余弦值等于()A.12 B.22 C.23 D.33解析：以AD，AB，AP为基向量，则BE12(BPBC)12(AD AP AB)，由条件知，|AD|AP|AB|1，APAD 12，APAB12，AD AB0，APBE12(APAD|AP|2APAB)1212112 12，答案：D|BE|214(|AD|2|AP|2|AB|22AD AB 2AP AB 2AD AP)14(111011)34，|BE|32，cosAP，BE APBE|AP|BE|121 32 33，故选D.可连结AC，取AC中点O，则EOPA，BEO为所求角，通过解BEO求得.点评：由几何体的特殊性，在
19、求|BE|时，可直接在正三角形PBC中得|BE|BE 32.例4(2010湖南理)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解析：解法1：设正方体的棱长为1，如图所示，以AB，AD，AA1 为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(1,0,0)，E(0,1，12)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以BE(1,1，12)，AD(0,1,0)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以AD 是平面ABB1A1的一个法向
20、量，设直线BE与平面ABB1A1所成的角为，则sin|BEAD|BE|AD|132123.即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A1(0,0,1)，BA1(1,0,1),BE(1,1，12)设n(x，y，z)是平面A1BE得一个法向量，则由nBA1 0，nBE0，得xz0，xy12z0所以xz，y12z.取z2，得n(2,1,2)设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0t1)又B1(1,0,1)，所以B1F(t1,1,0)，而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEB1F n0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10t12F为C1D1的中点 这说明在
21、棱C1D1上存在一点F(F为C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.解法2：(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EMABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角 设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE 2222123.于是，在RtBEM中，sinEBMEMBE23.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连结EG，BG，CD
22、1，FG.因为A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1CA1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B.这说明A1，B，G，E共面所以BG平面A1BE.即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1FBG.而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.点评：直线与平面斜交时，直线的方向向量与平面的法向量所成的角，不等于直线与平面所成的角，应弄清
23、它们之间的关系，即sin|cos|.如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，在某个空间直角坐标系中AB(m2，3m2，0)，AC(m,0,0)，AA1(0,0，n)，其中m，n0.若m2 n，则直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小为_ 所以直线CA1与平面A1ABB1所成的角为45.答案：45解析：平面A1ABB1一个法向量n(32，12，0)A1C A1A AC(m,0，n)，cos nA1C|n|A1C|22.(1)证明：M是侧棱SC的中点；(2)求二面角SAMB的余弦值例5 如图所示，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD2，DCSD2，点M在侧棱SC上，ABM6
24、0.分析：由条件知AD、CD、SD两两垂直，SD与底面矩形的边长已知，故建立坐标系用坐标法求解比较简便(2)可分别求出平面SAM和MAB的一个法向量，利用法向量的夹角与二面角的关系求解(1)证明M是侧棱SC的中点，可设 SM MC，证明1或设SM SC，证明12.解析：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2，0,0)，B(2，2,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)(1)设SM MC(0)，则M(0，21，21)，MB(2，21，21)，又AB(0,2,0)，MB，AB60，故MA AB|MB|AB|cos60，即412 212 212，解得1，
25、即SM MC，所以M是侧棱SC的中点(2)由(1)得M(0,1,1)，MA(2，1，1)，又AS(2，0,2)，AB(0,2,0)，设n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别是平面SAM、MAB的一个法向量，则n1MA 0n1AS0且n2MA 0n2AB0，即 2x1y1z10 2x12z10且 2x2y2z202y20，分别令x1x2 2得z11，y11，y20，z22，即n1(2，1,1)，n2(2，0,2)，cosn1，n22022 6 63，故二面角SAMB的余弦值为 63.(2010陕西理)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，B
26、C2 2，E，F分别是AD，PC的中点(1)证明：PC平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小 解析：解法1：(1)如图，以A为坐标原点AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，APAB2，BC2 2，四边形ABCD是矩形A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2 2，0)，D(0,2 2，0)，P(0,0，2)，又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，2，0)，F(1，2，1)，PC(2,22，2)，BF(1，2，1)，EF(1,0,1)，PCBF2420，PCEF2020，PCBF，PCEF，PCBF，PCEF，BFEFF，PC
27、平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n1PC(2,2 2，2)，平面BAP的法向量n2AD(0,2 2，0)，n1n28，设平面BEF与平面BAP的夹角为，则cos|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|842 2 22，45，平面BEF与平面BAP的夹角为45.解法2：(1)连接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD，AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形，又F是PC的中点，EFPC，又BP AP2AB22 2BC，F是PC的中点，BFPC，又BFEFF，PC平面BEF.(2)PA平面ABCD，PABC，又ABCD是矩形，ABBC，BC平面BAP，BCPB，又由(
28、1)知PC平面BEF，直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，在PBC中，PBBC，PBC90，PCB45.所以平面BEF与平面BAP的夹角为45.例6 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.求异面直线DA1与AC的距离解析：如图建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)、C(0,1,0)、B1(1,1,1)、A1(1,0,1)，向量 AC(1,1,0)，DA1(1,0,1)，DA(1,0,0)设向量n(x，y,1)，且nDA1，nAC，则x，y，11，0，10 x，y，11，1，00，解得x1y1，所以n(1，1,1)异面直线DA1与AC的距离为d|DA n|n|1，0，0
29、1，1，1|1，1，1|33.例7 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D1、B1C1、CC1的中点(1)求证：平面A1DB平面EFG.(2)求平面A1DB与平面EFG之间的距离 分析：(1)证面面平行，只需证其中一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面(2)计算面面距离，找公垂线段，求其中一个平面内任一点到另一平面的距离，用“体积法”计算，用空间向量求 解析：(1)证明：以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，E0，12，1，F12，1，1，G0，1，12.设平面A1DB的一个法向
30、量n(x，y,1)，则nDA1 0nDB 0，x10 xy0，x1y1，n(1,1,1)，又EF12，12，0，FG 12，0，12，nEF0，nFG 0，nEF，nFG，n也是平面EFG的一个法向量，故平面EFG平面A1DB.(2)DG 0，1，12，二平行平面间的距离d|DG n|n|32.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A32，12，0，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则C1A 32，12，1，C1B1(0,1,0)，C1B(0,1，1)，设平面ABC1
31、的法向量为n(x，y,1)，则有C1A n0C1B n0，解得n33，1，1，则dC1B1 n|n|11311 217.答案：217 1(2010山东济南)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2，D为AA1上一点(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；(2)若二面角B1DCC1的大小为60，求AD的长 解析 解法一：(1)A1C1B1ACB90，B1C1A1C1，又由直三棱柱的性质知B1C1CC1，B1C1平面ACC1A1.B1C1CD 由D为AA1的中点可知，DCDC1 2，DC2DC12CC12，即CDDC1 由可知CD平面B1C1D，又C
32、D平面B1CD，故平面B1CD平面B1C1D.(2)由(1)可知B1C1平面ACC1A1，在平面ACC1A1内过C1作C1ECD，交CD或其延长线于E，连接EB1，由三垂线定理可知B1EC1为二面角B1DCC1的平面角，B1EC160.由B1C12知，C1E2tan602 33，设ADx，则DC x21.DC1C的面积为1，12 x212 33 1，解法二：(1)如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)解得x 2，即AD 2.又DC1C1B1C1，CD平面B
33、1C1D.又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D.C1B1(0,2,0)，DC1(1,0,1)，CD(1,0,1)，由CD C1B1(1,0,1)(0,2,0)0，得CDC1B1；由CD DC1(1,0,1)(1,0,1)0，得CDDC1.(2)设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，CD(1,0，a)，CB1(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z)则 mCB1 0mCD 02y2z0 xax0，令z1.得m(a,1，1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60|mn|m|n|，得1a2212，即a 2，故AD 2.点评 解法二中建立空间直角坐标系后，要证平面B1CD平面B1C1D，可先求出两个平面的法向量p、q，验证pq0.