1、2.4.2抛物线的几何性质(二)学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线与抛物线位置关系的判断.2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识.3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题.通过学习直线与抛物线的位置关系有关求值的证明，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.直线与抛物线的位置关系及判定位置关系公共点判定方法相交有两个或一个公共点k0或联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为相切有且只有一个公共点0相离无公共点01已知直线l与抛物线x22py(p0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是()A相交B相切C相离 D相交或相切D当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x22p
2、y(p0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x22py(p0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切2已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1C DC由点A(2,3)在y22px的准线x上得p4，F(2,0)，kAF，故选C.3过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|_.8|AB|22(31)8.直线与抛物线的位置关系【例1】已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y24x：只有一个公共点；有两个公共点；
3、没有公共点？解由题意，设直线l的方程为y1k(x2)由方程组(*)可得ky24y4(2k1)0.(1)当k0时，由方程得y1.把y1代入y24x，得x.这时，直线l与抛物线只有一个公共点.(2)当k0时，方程的判别式为16(2k2k1)由0，即2k2k10，解得k1，或k.于是，当k1，或k时，方程只有一个解，从而方程组(*)只有一个解这时，直线l与抛物线只有一个公共点由0，得2k2k10，解得1k.于是，当1k，且k0时，方程有两个解，从而方程组(*)有两个解这时，直线l与抛物线有两个公共点由0，解得k.于是，当k时，方程没有实数解，从而方程组(*)没有解这时，直线l与抛物线没有公共点综上，
4、我们可得当k1，或k，或k0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当1k，且k0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k时，直线l与抛物线没有公共点直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况. 1如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组
5、的解4xB，即xB.以k代换xB中的k，得xC，kBC.直线BC的斜率为定值.与抛物线有关的中点弦问题探究问题对比椭圆的“中点弦”问题，思考与抛物线有关的“中点弦”问题的解题策略有哪些？提示(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由k求斜率，再由点斜式求解(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率【例2】已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分(1)求抛物线E的标准方程；(2)求直线AB的方程思路探究用“点差法
6、”解(1)由E的焦点为(1,0)，可设抛物线方程为y22px，且1，p2，抛物线方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由M(2,1)为线段AB的中点可知直线AB斜率存在且不为零，设直线AB斜率为k.由A，B为抛物线上不同两点得得k2，直线AB方程为y12(x2)，即2xy30.1(变换条件)若本例中条件“线段AB恰被M(2,1)所平分”改为“线段AB恰被M(1,1)所平分”，问这样的直线AB是否存在？若存在，求出直线AB的方程，若不存在，说明理由解由抛物线的焦点为(1,0)，所以1，p2，故抛物线方程为y24x.假设AB斜率存在，即AB不垂直于x轴，故可设AB所在直线的方
7、程为y1k(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x整理得ky24y44k0，164k(44k)0恒成立，又由根与系数的关系得y1y2，根据M为AB的中点，所以2，k2，所以所求直线方程为y12(x1)，即2xy10.当AB的斜率不存在时，显然不符合题意. 2(变换条件、改变问法)若动点P在抛物线E上移动，求线段PM中点的轨迹方程解设P(x0，y0)，PM中点的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得即P在抛物线y24x上，PM中点的轨迹方程为(2y1)28(x1)解决中点弦问题的基本方法是点差法、根与系数关系的方法，直线方程与抛物线方程联立时，消y有时更简捷，此类问题还要注意斜
8、率不存在的情况，避免漏解.一般地，已知抛物线y22px(p0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)及AB的中点P(x0，y0)，则kAB直线AB的方程为yy0线段AB的垂直平分线的方程为yy0提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解. 抛物线的综合运用【例3】如图所示，已知直线l：y2x4交抛物线y24x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求出这个最大面积思路探究解决本题的关键是弦AB为定值，将点P到直线AB的距离的最值问题转化为二次函数问题求解在应用配方法求最值时，一定要注意自变量的取值范围解由解得或由题图可知A(4,4)，B(1，2)，则|A
9、B|3.设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则：d|(y01)29|.2y04，(y01)290.d9(y01)2从而当y01时，dmax，Smax3.因此，当点P的坐标为时，PAB的面积取得最大值，最大值为.应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择
10、一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值2(2019全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|
11、AB|1思考辨析(1)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点()(2)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点()(3)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点的直线有三条()提示(1)过抛物线上一点与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点(2)(3)2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2B3C.D.A直线l2：x1恰为抛物线y24x的准线，P到l2的距离d2|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)，所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离2，故选A.3已知点A(4,0)，M是抛物线y26x上的动点，当点M到A距离最小时，M点坐标为_(1，)设M，则|MA|22yyy16(y6)21515，当且仅当y6，即y1，x11时，|MA|取最小值，此时M(1，)4直线yxb交抛物线yx2于A、B两点，O为抛物线的顶点，且OAOB，则b的值为_2由得x22x2b0，(2)28b0，设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系，得x1x22，x1x22b，于是y1y2(x1x2)2b2，由OAOB知x1x2y1y20，故b22b0，解得b2或b0(不合题意，舍去)b2适合0.