1、5.2 向量的数量积巩固夯实基础 一、自主梳理 1.数量积的概念 (1)向量的夹角:如图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角,记作a,b. (2)数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积,记作ab,即ab=|a|b|cos. (3)数量积的几何意义:数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos的乘积. 2.数量积的性质：设e是单位向量,a,e=. (1)ea=ae=|a|cos. (2)当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2或|a|=.
2、 (3)abab=0. (4)cos=. (5)|ab|a|b|. 3.运算律：(1)ab=ba;(2)(a)b=(ab)=a(b);(3)(a+b)c=ac+bc. 4.向量数量积的坐标运算： 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)ab=x1x2+y1y2;(2)|a|=; (3)cosa,b=;(4)abab=0x1x2+y1y2=0. 二、点击双基1.若向量a与b的夹角为60,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则向量a的模是( )A.2 B.4 C.6 D.12解析：(a+2b)(a-3b)=|a|2-|a|b|cos60-6|b|2=|a|2-2|a|-96=
3、-72,|a|2-2|a|-24=0.(|a|-6)(|a|+4)=0.|a|=6.答案：C2.已知|a|=1,|b|=2,c=a+b,ca,则a与b的夹角大小为( )A. B. C. D.解析：ca,则ca=0,即(a+b)a=0,即a2=-ab.ab=-a2=-1,即|a|b|cos=-1.cos=-=-.=.答案：D(文)已知向量a、b满足|a|=2,|b|=1,(a-b)b=0,那么向量a、b的夹角为( )A.30 B.45 C.60 D.90解析：(a-b)b=0,即ab=b2. |b|=1,ab=1,即|b|a|cos=1. cos=.=60.故选C.答案：C3. (理)已知点A(
4、1，-2)，若向量与a=(2，3)同向，|=2，则点B的坐标为_.解析：设A点坐标为(xA,yA),B点坐标为(xB,yB). 与a同向，可设=a=(2,3)(0). |=2. =2. 则=(xB-xA,yB-yA)=(4,6), B点坐标为(5，4).答案：(5，4)(文)已知点A(-1，-5)和向量a=(2，3)，若=3a，则点B的坐标为_.解析：设B点坐标为(xB,yB), 则=(xB+1,yB+5)=3a=(6,9), .B(5,4).答案：(5，4)4.已知|a|=2,|b|=4,a与b的夹角为,以a、b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_.解析：画图
5、可知，较短的一条对角线的长度为=2.答案：2诱思实例点拨【例1】 判断下列各命题正确与否：(1)若a0，ab=ac，则b=c；(2)若ab=ac，则bc当且仅当a=0时成立；(3)(ab)c=a(bc)对任意向量a、b、c都成立；(4)对任一向量a，有a2=|a|2.剖析：(1)(2)可由数量积的定义判断.(3)通过计算判断.(4)把a2转化成aa=|a|2可判断.解：(1)ab=ac，|a|b|cos=|a|c|cos(其中、分别为a与b，a与c的夹角). |a|0, |b|cos=|c|cos. cos与cos不一定相等， |b|与|c|不一定相等. b与c也不一定相等. (1)不正确.
6、(2)若ab=ac，则|a|b|cos=|a|c|cos(、为a与b，a与c的夹角). |a|(|b|cos-|c|cos)=0. |a|=0或|b|cos=|c|cos. 当bc时，|b|cos与|c|cos可能相等. (2)不正确. (3)(ab)c=(|a|b|cos)c, a(bc)=a|b|c|cos(其中、分别为a与b，b与c的夹角). (ab)c是与c共线的向量, a(bc)是与a共线的向量. (3)不正确.(4)正确.讲评：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.【例2】 在直角坐标系xOy中，已知点P(2cosx+1,2cos
7、2x+2)和点Q(cosx,-1)，其中x0,.若向量与垂直，求x的值.解：由，得cosx(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.化简得2cos2x-cosx=0， 于是cosx=0或cosx=. 又x0，x=或.链接拓展 (1)本题把x0，改为xR，求x的值. 略解：x=k+或x=2k(kZ). (2)定义f(x)=,x0，,求f(x)的值域. 提示：f(x)=-2cos2x+cosx, 令t=cosx,则t-1,1. 则y=-2t2+t=-2(t-)2+-3，.【例3】 已知ABC中，|=5，|=4，|=3，求+的值.解：由已知可得，故原式=+=(+)=-|2=-25.链接拓展 ABC中，|=5，|=|=4，求+的值. 提示：+=0.两边平方即可.