1、1第4讲 万有引力定律及其应用 第四章曲线运动 万有引力定律2一、开普勒三定律1.开普勒第一定律(轨道定律):所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上.2.开普勒第二定律(面积定律):对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.(近日点速率最大，远日点速率最小)33.开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的平方的比值都相等.即(M为中心天体质量)，k是一个与行星无关的常量，仅与中心天体有关说明：在近似情况下，通常将行星或卫星的椭圆轨道运动处理为圆轨道运动、开普勒定律可以推广到所有天体运动中.3224RGMkT4人造地
2、球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度为v，周期为T，若要使卫星的周期变为2T，可能的办法是()A.r不变，使线速度变为v/2B.v不变，使轨道半径变为2rC.轨道半径变为D.无法实现由可知，对卫星有r3T2，故当T变为2T时，r=.思考13 4r3 4r32rkTC5二、万有引力定律1.内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的.两个物体间的引力大小，跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比.2.公式：，其中G为引力常量，大小为G=6.6710-11Nm2/kg2.122m mFGr63.公式的适用条件：适用于质点间的相互作用.当两物体的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质
3、点.对均匀球体，都可视为质点，且r为两球心间的距离.4.重力和万有引力：重力由万有引力产生，由于地球的自转，重力是万有引力的一个分力.在地球表面附近，可粗略认为重力等于万有引力.7如图4-4-1所示，在半径为R=20cm，质量为M=168kg的均匀铜球上，挖去一个球形空穴，空穴的半径为R/2，并且跟铜球相切，在铜球外有一个质量为m=1kg可视为质点的小球，这个小球位于连接铜球的中心跟空穴中心的直线上，并且在靠近空穴一边，两个球心相距d=2m，试求它们之间的吸引力.图4-4-1思考28本题直接用万有引力的公式计算挖去球形空穴的铜球和质量为m的小球的万有引力是不可能的，但可看成大、小两个实心铜球与
4、质量为m的小球的万有引力之差，这样就可用等效的方法求出它们之间的吸引力.设被挖去的部分质量为M，则：9所以：所以：代入数据得：F=2.4110-9N222211()8()22GMmGM mFGMmRRdddd34()32RM g34 3MR 8MM 10三、应用万有引力定律研究天体的运动1.基本思路：将天体运动看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供.2.基本公式：222224MmvFGmmrmrmarrT113.天体的质量和密度计算：由中心天体对卫星(或行星)的万有引力作为它绕中心天体的向心力.根据：，得又，得若某一卫星绕某星球在近地表面做圆周运动，则r=R，此时，只需要测定运行周期即可.23
5、GT 3233rGT R 2324 rMGT34 3MR 222MmGmrrT（）12若某探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t.试计算土星的质量和平均密度.设探测器的质量为m，土星的质量为M.探测器围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.思考313由题意,所以又,得32233nRhMVGt R222()MmGm RhTRhtTn32224.nRhMGt34 3VR14四、人造卫星问题，宇宙速度1.动力学特征：任何卫星在绕地球正常运行时，由万有引力提供向心力，其轨道平面的圆心必与地球的地心重合.2.基本规律：设为
6、地球质量，r为卫星的轨道半径，则由可知，故r越大，a向越小;2GMar向222224MmvFGmmrmrmarrT15，故r越大，v越小；，故r越大，越小；，故r越大，T越大.当r取地球半径R=6400km时，v有最大值7.9km/s，有最小值约84min.GMvr3GMr 234 rTGM163.宇宙速度第一宇宙速度：v1=7.9km/s，是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大运行速度.第二宇宙速度：v2=11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.第三宇宙速度：v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.17其中第一宇宙速度的推导为方法一：方法二：由，得
7、此法利用了在地表的物体万有引力近似等于物体的重力，即其中得到的GM=gR2很有用，俗称“黄金代换”.17.9/GMvkm sR21vmgm R17.9/.vgRkm s22MmvGmgmRR，184.近地卫星：沿半径约为地球半径的轨道运行的地球卫星，其发射速度与环绕速度相等，均等于第一宇宙速度.5.地球同步卫星(1)特征：相对于地面静止，只能位于地球赤道上空一定高度，只能以某一速率运行，运行周期与地球自转周期相等.19(2)基本数据：由可知，当T=24h时，可推出运行速率v3.1km/s，运行时离地高度h=r-R3.6104km(R为地球半径6400km).222224MmvFGmmrmrma
8、rrT20火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆.已知火卫一的周期为7小时39分.火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比()A.火卫一距火星表面较近B.火卫二的角速度较大C.火卫一的运动速度较大D.火卫二的向心加速度较大思考4AC21根据星体运行基本规律：设为火星质量，r为卫星的轨道半径，则由和T1T2得r12，v1v2，a1a2.222224MmvFGmmrmrmarrT22例1(2011)()ABCDTvG江苏卷 一行星绕恒星做圆周运动，由天文观测可得，其运动周期为，速度为，引力常量为，则 恒星的质量为行星的质量为行星运动的轨道半径为行星运动的加速度为32v TG4
9、 2 33vGT2vT2 vT23考查万有引力定律的应用22222324,AC22CD.BGMmmrrTGMmvmrrv tvTMrGvar联立可求得、正确。，结合 项可得而应用万有引力定律只能计算中心天体质量，故 错24变式练习1 22232343ABCDMmGmRMRTVGTVR根据得密度。故 对，、错。25组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，所以星球有一个最大的自转速率.如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动.由此能得到半径为R、密度为、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的是()A.B.C.D.例232/TRGM32 3/()TRG
10、M/()TG3/()TGAD26星体表面的物体和围绕星球做匀速圆周运动的物体两者的临界状态分析.对星球赤道附近的物体，恰能做匀速圆周运动的条件是万有引力等于向心力，即，整理得又因为故2224MmGmRRT32RTGM，34 3MR，3.TG27考虑中子星赤道的一小块物质，当它受到的万有引力大于或等于向心力时，中子星能稳定：有，且得到变式练习2 2224MmGmRRT34 3MR，143231.27 10 kg/m.GT282008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱.飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米
11、的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟.下列判断正确的是()例3BC29A.飞船变轨前后的机械能相等B.飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C.飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度D.飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度人造卫星和匀速圆周运动知识.30飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确；飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确；31飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据可知，飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度，C正确；飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以前后加速度相等，D不正确.2T32根据题意在P、Q两点点火加速过程中，卫星速度将增大，所以有v1v2、v3v4，而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，它们对应的轨道半径r1r4，所以v4v1.把以上不等式连接起来，可得到结论：v3v4v1v2.(卫星沿椭圆轨道由PQ运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v3v2.)变式练习3
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