1、第17讲 不等式的性质、解法及应用1考题展望预计在 2016 年高考中，不等式的性质和解不等式，特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查线性规划有一个小题，对不等式的应用，突出考查数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题，将继续强调考查逻辑推理能力，这也是我们复习本专题的重中之重2高考真题考题 1(1)(2015 广东)不等式x23x40 的解集为_(用区间表示)【解析】(4，1)由x23x40 得 x23x40，解得4x0，y0 时，xy(2y)x 的最小值为_【解析】2 先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值 因为 xyx2y2xy，所以(2y)x4
2、y2x22xy.又 x0，y0，故 xy(2y)xx2y2xy4y2x22xyx22y22xy2 2xy2xy 2，当且仅当 x 2y 时，等号成立【命题立意】本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题1.求一元二次不等式的解及已知解求系数(注意与二次函数、一元二次方程的关系，也就是韦达定理)2.均值不等式最值的求法(可能涉及到构造法、什么时候能取等号、应用问题等)1不等式性质例1设 ab1，ccb；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是_【解析】由不等式的基本性质可知对；幂函数 yxc(cb1，所以对；由对数函数的单调性可得 logb(ac)logb(bc)，又由对数的换底公式可知
3、logb(bc)loga(bc)，所以 logb(ac)loga(bc)，故选项正确【点评】不等式性质的考查要注意符号的变化2比较大小例2(2015 北京)23，312，log25 三个数中最大数的是_【解析】log25 23181，log25log242 3，所以log25 最大【点评】在数的大小比较中，常用的有以下方法：作差比较法和作商比较法，前者和零比较大小，后者和 1 比较大小；找中间量，往往是 1，在这些数中，有的比 1大，有的比 1 小；计算所有数的值；选用数形结合的方法，画出相应的图形；利用函数的单调性等等3解不等式例3设对于任意实数 x，不等式|x7|x1|m恒成立(1)求 m
4、 的取值范围；(2)当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式：|x3|2x2m12.【解析】(1)设 f(x)|x7|x1|，则有 f(x)62x，x78，7x12x6，x1 当 x7 时，f(x)有最小值 8；当7x1 时，f(x)有最小值 8；当 x1 时，f(x)有最小值 8.综上 f(x)有最小值 8，所以 m8.(2)当 m 取最大值时 m8，原不等式等价于：|x3|2x4，等价于：x3，x32x4或x3，3x2x4 等价于：x3 或13x3，所以原不等式的解集为x|x13.【点评】对于|axb|c 型、|xa|xb|c 型的绝对值不等式，一定要分零点去绝对值，转化为分段函数进行求解
5、4基本不等式例4(2015 福建)若直线xayb1(a0，b0)过点(1，1)，则 ab 的最小值等于()A2 B3 C4 D5【解析】选 C 由已知得1a1b1，则 ab(ab)1a1b 2baab，因为 a0，b0，所以baab2baab2，故 ab4，当baab，即 ab2 时取等号【点评】本题考查基本不等式及其应用，考查学生分析问题、解决问题的能力【备选题】例5 要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是()A80 元B120 元C160 元D240 元【解析】选 C 设底面矩
6、形的一边长为 x.由容器的容积为 4 m3，高为 1 m，得另一边长为4x m.记容器的总造价为 y 元，则 y4202x4x1108020 x4x 80202x4x160，当且仅当 x4x，即 x2 时等号成立 因此，当 x2 时，y 取得最小值 160，即容器的最低总造价为 160 元，故选 C.1.从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；在复习时应高度重视，对每一条性质，要弄清楚条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化；记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握运算法则的条件，避免由于忽略某些
7、限制条件而造成解题失误，掌握证明不等式性质的方法，可以进一步提高逻辑推理能力，在解不等式时，可结合函数的定义域、值域和单调性2均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高，利用均值不等式解决问题的关键是要注意定理成立的三个条件“一正，二定，三相等”1若 a0，1babab2Bab2abaCabaab2Dabab2a【解析】选 D 1b0，0b2ab2a.2不等式组x（x2）0，|x|1的解集为()Ax|2x1 Bx|1x0Cx|0 x1 Dx|x1【解析】
8、选 C 由x（x2）0，|x|0或x2，1x1，即 0 x0，y0，且2x1y1，若 x2ym22m恒成立，则实数 m 的取值范围是()A(，24，)B(，42，)C(2，4)D(4，2)【解析】选 D x0，y0 且2x1y1，x2y(x2y)2x1y 44yx xy424yx xy8，当且仅当4yx xy，即 x4，y2 时取等号，(x2y)min8，要使 x2ym22m 恒成立，只需(x2y)minm22m 恒成立，即 8m22m，解得4m2.5已知函数 f(x)x1（0 xb0，若 f(a)f(b)，则 bf(a)的取值范围是_【解析】34，2 由 f(a)f(b)得，32f(a)2，
9、12b1，所以34bf(a)0.【解析】由(x2)(xa)0 得 当 a2 或 x2 时，解集为x|xa 或 x2；当 a2 时，解集为x|xR 且 x27设二次函数 f(x)ax2bxc，函数 F(x)f(x)x 的两个零点为 m，n(m0 的解集；(2)若 a0，且 0 xmn0，即 a(x1)(x2)0.当 a0 时，不等式 f(x)0 的解集为x|x2；当 a0 的解集为x|1x0，且 0 xmn1a，xm0.f(x)m0，即 f(x)a 的解集为 R，求 a 的取值范围【解析】(1)当 x13时，f(x)3x1x24x13，即 x12，13x12.当 x13时，f(x)13xx22x
10、33，即 x0，0 x13.综上所述，其解集为x0 x12.(2)f(x)4x1x13，2x3x13，当 x13时，f(x)单调递增；xa 的解集为 R，只需 f(x)mina 即可，即73a.a 的取值范围为，73.9某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台，每批都购入 x 台(x 是正整数)，且每批均需付运费 4 元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入 4 台，则该月需用去运费和保管费共 52 元，现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由【解析】(1)设题中比例系数为 k，若每批购入 x 台，则共需分36x 批，每批价值为 20 x 元，由题意 yf(x)36x 4k20 x.由 x4，y52，得 k168015.f(x)144x 4x(0 x36，xN*)(2)f(x)144x 4x(0 x36，xN*)，f(x)2144x 4x48(元)，当且仅当144x 4x，即 x6 时，上式等号成立 故只需每批购入 6 张书桌，可以使资金够用