1、10.4 排列与组合的综合问题巩固夯实基础 一、自主梳理 1.排列数公式的两种形式 (1)Amn=n(n-1)(n-m+1),(2)Amn=,其中公式(1)(不带阶乘的)主要用于计算,公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程等. 2.排列问题的三种常类型(1)“在与不在”问题;(2)“相邻与互不相邻”问题;(3)“定序排列”问题. 3.组合数公式的两种形式 (1)Cmn=; (2)Cmn=,其中公式(1)(不带阶乘的)主要用于计算,尤其适用于上标是具体数且m的情况,公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程等. 4.组合数的性质 (1)Cmn=Cn-mn; (2)Cmn+1=Cmn+
2、Cm-1n及推论Cmn=Cknm=k或m+k=n,mN,kN. 二、点击双基1.4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得100分,答错得-100分;选乙题答对得90分,答错得-90分.若4位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是( )A.48 B.36 C.24 D.18解析:分三种情况: (1)0=100+(-100)+90+(-90)有A44=24; (2)0=100+(-100)+100+(-100)有C24C22=6; (3)0=90+(-90)+90+(-90)有C24C22=6. 综上,共有24+6+6=36(种).
3、答案:B2.(2005湖北高考)把同一排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 ( )A.168 B.96 C.72 D.144解析:C23A44+3A44=144.答案:D3.(2005福建高考)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有( )A.300种 B.240种 C.144种 D.96种解析:甲、乙两人不去巴黎,从另外四人中选一人有C14种,剩余5人选3人分别去三个城市有A35
4、种,共C14A35=240种.答案:B4.(2005无锡检测试卷)为配制某种染色剂,需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂,其中有机染料的添加顺序不能相邻.现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响,总共要进行的试验次数为_.(用数字回答)解析:本题是基本技能题,重点考查排列、组合问题中的分步计数原理,可根据题意用插空法来解.A44C35A33=1 440(次).答案:1 4405.(2005长春、沈阳、大连、哈尔滨第一次联考)在书柜的某一层上原来有5本不同的书,如果保持原有书的相对顺序不变,再插进去3本不同的书,那么共有_种不同的插入方法.(用数字作答)解析:原来的5本书加上新加入的3
5、本书,共需要8个位置,先选择5个位置把原来5本书按原来顺序放入,有C58=56种方法,然后由新加入的3本书在余下3个位置上进行排列,有A33=6种方法,所以共有566=336种方法.答案:336诱思实例点拨【例1】(2004福建高考)某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为( )A.A26C24 B.A26C24 C.A26A24 D.2A26剖析:本题是先选后排的问题.可先将人分成2组后,再分到班,也可以先选出班来再将人安排进去.解:先把4人平均分成两组再将这两组人按顺序排到二个班级中有A26种排法,共有A26=A26C2
6、4种安排方法.答案:B讲评:该题是先选后排的应用问题,也可以选出班后再安排人,即C26C24C22=C26C24.链接提示 1.解排列、组合混合题一般是先组合后排列或先利用元素性质进行分类、分步,再利用两个计数原理作最后处理. 2.对于较难直接解决的问题可用间接法,但应做到不重不漏.【例2】5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少1本,不同分法的种数为( )A.480 B.240 C.120 D.96剖析:本题着重考查解决实际问题的能力.先将5本书分成四堆,即其中有2本书可捆在一起,然后,分给4个学生.解:先把5本书中的2本捆起来有C25种方法,再将分好的4堆分给4位学生,有A44种方法,
7、 分法种数为C25A44=240种.答案:B讲评:本题是一道常见类型题,即“n+1个不同的小球,放入n个不同的盒子,每盒内至少放入一球,有多少种不同的放法?”所以,在解排列、组合题时,应建立一些基本模型,以提高解题效率.【例3】对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?剖析:由题意可知第五次测到的必须是次品,然后再看另3件次品是第几次被测到即可.解:C14（C16C33）A44576，第5次必测出一次品，余下3件在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有C14种方法，前4次中应有1正品、3次品
8、,有C16C33种，前4次测试中的顺序有A44种，由分步计数原理即得.讲评:本题涉及一类重要问题,即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素(即组合)后排列.【例4】有两排坐位,前排11个坐位,后排12个坐位,现安排2人就坐,规定前排中间的3个坐位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是( )A.234 B.346 C.350 D.363解法一:分类讨论法. (1)前排一个,后排一个,2C18C112=192. (2)后排坐两个(不相邻), 2(10+9+8+1)=110. (3)前排坐两个,2(6+5+1)+2=44个.总共有192+110+44=346个.解法二:考虑中间三个位置不坐,4号坐位与8号坐位不算相邻.总共有A219+2+2=346个.答案:B讲评:本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题.