1、第十三章 导数(理)网络体系总览考点目标定位 1.导数的概念、导数的几何意义、几种常见函数的导数. 2.两个函数的和、差、积、商和导数,复习函数的导数、基本导数公式. 3.利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值和最小值. 4.了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.复习方略指南 深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大(小)值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学
2、好数学的关键. 1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础. 2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大(小)值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.13.1 导数的概念与运算巩固夯实基础 一、自主梳理 1.导数的概念 (1)如果当x0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作f(x0)，即f(x0)=. (2)如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导.这时对于开区间(a,b)内每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f(x0),这
3、样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，记作f(x), 即f(x)=，导函数也简称导数. 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率. 3.几种常见的导数 C=0(C为常数)；(xn)=nxn-1；(sinx)=cosx；(cosx)=-sinx；(ex)=ex；(ax)=axlna；(lnx)=；(logax)=logae. 4.导数的四则运算法则 设u、v是可导函数，则 (uv)=uv；(uv)=uv+uv；()=(v0).链接提示 f(x)在x=x0处的导
4、数f(x0)的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义:f(x0)是函数f(x)的导函数f(x)当x=x0时的函数值. 二、点击双基1.质点运动方程为s=t3-t2+1,那么当质点在t=2时的速度为( )A.0 B.1 C.2 D.3解析:s=t2-t,s(2)=0.答案:A2.设函数f(x)在x=x0处可导,则( )A.与x0、h都有关 B.仅与x0有关而与h无关C.仅与h有关而与x0无关 D.与x0、h均无关答案:B3.函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3x-y+1=0的夹角为45,则点A的坐标为_.解析:设点A的坐标为(x0,y0), 则y=2x=2x0=k1. 又直线3x
5、-y+1=0的斜率k2=3, tan45=1=|. 解得x0=或x0=-1. y0=或y0=1, 即A点坐标为(，)或(-1，1).答案:(，)或(-1，1)4.=_.解析:=sin=cos.答案:cos诱思实例点拨【例1】 若f(x)在R上可导，(1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系；(2)证明若f(x)为偶函数，则f(x)为奇函数.剖析:(1)需求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数；(2)求f(x)，然后判断其奇偶性.(1)解:设f(-x)=g(x),则 g(a)= = =- =-f(-a). f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a
6、处的导数互为相反数.(2)证明:f(-x)= = =- =-f(x). f(x)为奇函数.讲评:用导数的定义求导数时，要注意y中自变量的变化量应与x一致.链接拓展 (2)中若f(x)为奇函数，f(x)的奇偶性如何？【例2】（2004潍坊高三统一考试）已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a为常数),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.求直线l的方程及a的值.剖析:由直线l与函数f(x)切点的横坐标为1,可利用导数求出函数f(x)在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线l与函数g(x)的图象相切,所以l与g(x)有且只有一个公
7、共点,此时可将直线代入g(x),通过=0,求出a的值.解:由f(x)|x=1=1,知kl=1,切点为(1,f(1), 即(1,0),所以直线l的方程为y=x-1. 直线l与y=g(x)的图象相切,等价于方程组只有一解,即方程 x2-x+(1+a)=0有两个相等的实根, =1-4(1+a)=0. a=-.讲评:本题通过利用导数来求函数的切线、利用方程的思想判断函数图象与直线的交点问题,考查了学生的应用能力及分析问题、解决问题的能力.【例3】 求下列函数的导数:(1)y=x2sinx；(2)y=ln(x+)；(3)y=；(4)y=.解:(1)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx. (2)y=(x+) =(1+)=. (3)y=. (4)y= = =链接聚焦 函数f(x)在点x0处是否可导与是否连续有什么关系？