1、高考资源网() 您身边的高考专家4立体几何与空间向量(理)时间120分钟,满分150分。一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(2015青岛市质检)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是()A2BC.D3答案D解析依题意,由三视图还原出原几何体的直观图如图所示,原几何体为四棱锥,且其底面积为2(12)3,高为x,所以其体积V3x3,所以x3.2(2015陕西理,5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A3B4C24D34答案D解析由空间几何体的三视图可知该几何体为竖着放的半个圆柱
2、,圆柱底面半径为1,高为2,所以几何体的表面积S22234.故本题正确答案为D3一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积是()A6B12 C24 D36答案B解析由三视图知该几何体为有一条侧棱与底面垂直的四棱锥,体积V(43)312.4如图,设平面EF,AB,CD,垂足分别是B、D,如果增加一个条件,就能推出BDEF,这个条件不可能是下面四个选项中的()AACBACEFCAC与BD在内的射影在同一条直线上DAC与、所成的角相等答案D解析因为BD是AC在平面内的射影,所以只需得到ACEF,那么由三垂线定理的逆定理可得BDEF.对于选项A,因为AC,EFACEFBDEF.选项B,因为ACEF,所
3、以BDEF.对于选项C,可得平面ABDC,所以BDEF.对于选项D,AC与、所成的角相等,无法保证ACEF.综上知选D5设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列命题不正确的是()A若mn,m,n,则nB若m,则m或mC若mn,m,n,则D若m,则m答案D解析对于选项D,当直线m位于平面内且与平面,的交线平行时,直线m,显然m与平面不垂直,因此选项D不正确6已知正四面体ABCD,设异面直线AB与CD所成的角为,侧棱AB与底面BCD所成的角为,侧面ABC与底面BCD所成的角为,则()ABCD答案B解析如图,设底面BCD的中心为点O,连接AO,BO,易知ABO,取BC的中点E,连接AE、
4、OE,易知AEO,在正三角形BCD中,OBOE,因此0.7如图,在ABC中,ABAC,若ADBC,则AB2BDBC;类似地有命题:在三棱锥ABCD中,AD平面ABC,若A点在平面BCD内的射影为M,则有SSBCMSBCD上述命题是()A真命题B增加条件“ABAC”才是真命题C增加条件“M为BCD的垂心”才是真命题D增加条件“三棱锥ABCD是正三棱锥”才是真命题答案A解析因为AD平面ABC,所以ADAE,ADBC,在ADE中,AE2MEDE,又A点在平面BCD内的射影为M,所以AM平面BCD,AMBC,所以BC平面ADE,所以BCDE,将SABC、SBCM、SBCD分别表示出来,可得SSBCMS
5、BCD,故选A.8(2015德州市期末)如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,AD3,AA12,点P是B1C的三等分点且靠近点C,则异面直线AP和DD1所成的角为()A.BCD答案C解析如图,过点P作PNBC于点N,连接AN,则PNBB1,而DD1BB1,所以DD1PN,所以APN就是异面直线AP和DD1所成的角因为点P是B1C的三等分点且靠近点C,且AB2,AD3,AA12,所以PNBB1,BNBC2.在RtABN中,AN2,在RtANP中,tanAPN,所以APN.9(2015浙江文,7)如图,斜线段AB与平面所成的角为60,B为斜足,平面上的动点P满足PAB30,则点P的
6、轨迹是()A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支答案C解析考查1.圆锥曲线的定义;2.线面位置关系由题可知,当P点运动时,在空间中,满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥,用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥,所得图形为椭圆故选C.10(2015济南市模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:垂直于同一个平面的两条直线互相平行;垂直于同一条直线的两条直线互相平行;垂直于同一个平面的两个平面互相平行;垂直于同一条直线的两个平面互相平行则正确的结论是()ABCD答案D解析显然正确;对于,在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,也可以异面或相交;对于,在空间中
7、垂直于同一个平面的两个平面可以平行,也可以相交(如长方体相邻两侧面与底面)11(2014郑州市质检)如图,四边形ABCD中,ABADCD1,BD,BDCD将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD平面BCD,则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为答案B解析取BD的中点O,ABAD,AOBD,又平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,AO平面BCD,CDBD,OC不垂直于BD假设ACBD,OC为AC在平面BCD内的射影,OCBD,矛盾,AC不垂直于BD,A错误;CDBD,平面ABD平面BCD,CD平面ABD,
8、AC在平面ABD内的射影为AD,ABAD1,BD,ABAD,ABAC,B正确;CAD为直线CA与平面ABD所成的角,CAD45,C错误;VABCDSABDCD,D错误,故选B12(2014唐山市二模)直三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在半径为的球面上,ABAC,AA12,则二面角BAA1C的余弦值为()ABC.D答案D解析如图,设球心为O,底面ABC外接圆的圆心为O,则OAOBOC,OO1,OAOBOC1,BC,ABC为正三角形,二面角BAA1C的平面角BAC60,二面角BAA1C的余弦值为.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将正确答案填在题中横线上)13(2015枣庄四
9、校联考)在正三棱锥PABC中,M,N分别是PB,PC的中点,若截面AMN平面PBC,且三棱锥PABC的侧面积为S1,底面积为S2,则_.答案2解析取线段BC的中点D,连接PD交MN于H,连接AD,AH.因为M,N分别是PB,PC的中点,所以H为PD的中点,AHMN,又平面AMN平面PBC,平面AMN平面PBCMN,所以AH平面PBC,从而AH垂直且平分PD,则PAAD,设ABa,则PAADa,所以侧面积S1a2,底面积S2a2,则2.14.(2015胶东示范校质检)如图,在平面四边形ABDC中,已知ABBC,CDBD,ABBC,现将四边形ABDC沿BC折起,使平面ABC平面BDC,设E,F分别
10、为棱AC,AD的中点,若CD2,BCD60,则VABFE_.答案解析因为平面ABC平面BDC,ABBC,所以AB平面BDC,所以ABCD,又CDBD,ABBDB,所以DC平面ABD,因为E,F分别为棱AC,AD的中点,所以EF平面ABD,所以VABFEVEABF,在RtBCD中,CD2,BCD60,所以BD2,BC4,又ABBC,所以AB4,因为E,F分别为棱AC,AD的中点,所以EF1,所以VABFEVEABF1SABF(SABD)24.15设C是AOB所在平面外的一点,若AOBBOCAOC,其中是锐角,而OC和平面AOB所成角的余弦值等于,则的值为_答案60解析作CC1平面AOB于点C1,
11、C1A1OA于点A1,C1B1OB于点B1,连接OC1,则COC1为直线OC与平面AOB所成的角,且OC1是AOB的平分线,设OA1x,则OC,OC1,易求得cosCOC1,即2cos2cos10,解之得cos或cos(舍去),故30,所以60.16如图,正方形BCDE的边长为a,已知ABBC,将直角ABE沿BE边折起,A点在面BCDE上的射影为D点,则翻折后的几何体中有如下描述:AB与DE所成角的正切值是;VBACE的体积是a3;ABCD;平面EAB平面ADE;直线BA与平面ADE所成角的正弦值为.其中正确的叙述有_(写出所有正确结论的编号)答案解析由题意可得如图所示的几何体,对于,AB与D
12、E所成角为ABC,在ABC中,ACB90,ACa,BCa,所以tanABC,故正确;对于,VBACEVAECBaaaa3,故正确;明显错误;对于,因为AD平面BCDE,所以ADBE,又因为DEBE,所以BE平面ADE,可得平面EAB平面ADE,故正确;对于,由可知,BAE即为直线BA与平面ADE所成的角,在ABE中,AEB90,ABa,BEa,所以sinBAE,故正确三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC是等边三角形,D是BC的中点(1)求证:直线A1DB1C1;(2)判断A1B与平面AD
13、C1的位置关系,并证明你的结论解析(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,所以AA1BC,在等边ABC中,D是BC中点,所以ADBC,因为在平面A1AD中,A1AADA,所以BC平面A1AD,又因为A1D平面A1AD,所以A1DBC,在直三棱柱ABCA1B1C1中,四边形BCC1B1是平行四边形,所以B1C1BC,所以,A1DB1C1.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,四边形ACC1A1是平行四边形,在平行四边形ACC1A1中连接A1C,交AC1于点O,连接DO.故O为A1C的中点在三角形A1CB中,D为BC中点,O为A1C中点,故DOA1B因为DO平面ADC1,A1B平面
14、ADC1,所以,A1B平面ADC1,故A1B与平面ADC1平行18(本题满分12分)(2015山西太原市模拟)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形,DAB60,AB2AD2,PD平面ABCD(1)求证:ADPB;(2)若BD与平面PBC的所成角为30,求四面体PBCD的体积解析(1)证明:在ABD中,DAB60,AB2AD2,由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcosDAB3,AB2AD2BD2,ADB90,ADBD,PD平面ABCD,PDAD,AD平面PBD,ADPB;(2)过D作DEPB,垂足为E,ABCD是平行四边形,ADBC,由(1)得AD平面PBD,BC平面PBD,平
15、面PBC平面PBD,DE平面PBC,BD与平面PBC的所成角为DBE30,由(1)得BD,DPBDtanDBE1,VPBCDSBCDDPBDBCDP.19(本题满分12分)(2014成都一诊)如图,PO平面ABCD,点O在AB上,EAPO,四边形ABCD为直角梯形,BCAB,BCCDBOPO,EAAOCD(1)求证:PE平面PBC;(2)直线PE上是否存在点M,使DM平面PBC,若存在,求出点M;若不存在,说明理由(3)求二面角EBDA的余弦值解析(1)证明:EAOP,AO平面ABP,点A,B,P,E共面PO平面ABCD,PO平面PEAB平面PEAB平面ABCD,BC平面ABCD,BCAB,平
16、面PEAB平面ABCDAB,BC平面PEAB,PEBC.由平面几何知识知PEPB,又BCPBB,PE平面PBC.(2)点E即为所求的点,即点M与点E重合取PB的中点F,连接EF、CF、DE,延长PE交BA的延长线于H,则E为PH的中点,O为BH的中点,EF綊OB,又OB綊CD,EFCD,且EFDC,四边形DCFE为平行四边形,所以DECF.CF在平面PBC内,DE不在平面PBC内,DE平面PBC.(3)由已知可知四边形BCDO是正方形,显然OD、OB、OP两两垂直,如图建立空间直角坐标系,设DC1,则B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,),设平面BDE的一个法向量为n1(x,y,z),
17、(1,1,0),(0,),即取y1,则x1,z3,从而n1(1,1,3)取平面ABD的一个法向量为n2(0,0,1)cosn1,n2,故二面角EBDA的余弦值为.20(本题满分12分)(2015江西省质检)已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是矩形,侧面CC1D1D垂直于底面ABCD,BC2ABDC12,BD12.(1)求证:平面AB1C1D平面ABCD;(2)点E是棱BC的中点,求二面角A1AED的余弦值解析(1)连接CD1,设CD1DC1F,则F是CD1,DC1的中点,因为底面ABCD是矩形,所以BCCD,又平面ABCD平面CC1D1D,所以BC平面CC1D1D,所以BCCD1,由B
18、D12,BC2,得CD12,CF.在DFC中,DFDC11,CD1.所以CD2DF2CF2,所以DFDC,又BC平面CC1D1D得DFBC,所以DF平面ABCD,DF平面AB1C1D,所以平面AB1C1D平面ABCD;(2)由(1)可以点D为原点,DA,DC,DC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则平面DAE的法向量n(0,0,2),设平面A1AE的法向量为m(x,y,z),因为(2,0,0),(1,1,0),(0,1,2),所以(1,1,0),由m0得xy0,由m0得y2z0,令z1,得m(2,2,1),所以cosm,n,即所求二面角的余弦值为.21(本题满分12分)如图,
19、边长为1的正方形ABCD中,点E、F分别为AB、BC的中点,将BEF剪去,将AED、DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点P,得一三棱锥如图所示(1)求证:PDEF;(2)求三棱锥PDEF的体积;(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值解析(1)依题意知图折前ADAE,CDCF,折起后PDPE,PFPD,PEPFP,PD平面PEF.又EF平面PEF,PDEF.(2)依题意知图中AECF,PEPF,在BEF中EFBE,在PEF中,PE2PF2EF2,PEPF,SPEFPEPF,VPDEFVDPEFSPEFPD1.(3)由(2)知PEPF,又PEPD,PE平面PDF,PDE为DE与平面PD
20、F所成的角在RtPDE中,DE,PE,sinPDE.22(本题满分12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA12,C1H平面AA1B1B,且C1H.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;(2)求二面角AA1C1B1的正弦值;(3)设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN平面A1B1C1,求线段BM的长解析如图所示 ,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点依题意得A(2,0,0),B(0,0,0),C(,),A1(2,2,0),B1(0,2,0),C1(,)(1)易得(,),(2,0,0),于是cos,.所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.(2)易知(0,2,0),(,)设平面AA1C1的法向量m(x,y,z),则即不妨令x,可得m(,0,)同样的,设平面A1B1C1的法向量n(x,y,z),则即不妨令y,可得n(0,)于是cosm,n,从而sinm,n.所以二面角AA1C1B1的正弦值为.(3)由N为棱B1C1的中点,得N.设M(a,b,0),则,由MN平面A1B1C1,得即解得故M,因此,所以线段BM的长|.- 14 - 版权所有高考资源网