1、1函数概念是高中数学的核心概念之一，函数知识是高中数学的主干内容，函数的思想方法贯穿于整个高中数学课程的始终这是因为函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用，运用函数的思想方法可以构造描述客观世界的一些重要数学模型而且函数的基础知识和思想方法又是进一步学习数学和许多其他学科的重要基础，因此对函数知识和思想方法的考查是高考的一个聚焦点高考对函数的考查，常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图像和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识以及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数学思想方法，突出
2、考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法2不等关系是现实世界和日常生活中大量存在的一种基本数量关系，不等式就是这种不等关系的数学模型，它在数学的研究及其应用中起着重要的作用，因此，不等式的基础知识及应用一直是高中数学的重要内容之一高考中对不等式内容的考查包括不等式的性质、解简单的不等式以及基本不等式的应用等由于不等式具有应用广泛、变换灵活、知识综合、能力复合等特点，因此，高考考查更多的是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际应用问题的交叉和综合，将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查3导数及其应用是在“函数”、“三角函数”等知识的基础上进一步
3、利用导数的方法研究函数的性质高考对导数的考查主要是注重其工具性的作用：用导数这个工具，能更好地处理有关函数的单调性、函数的极大(小)值和最大(小)值、不等式的证明等问题高考中，在考查导数基础知识的同时，注重考查函数与方程、化归与转化、分类与整合等数学方法，因而对思维能力的要求较高第16讲 基本初等函数的图像、性质及应用1考题展望本讲内容在高考中占有一定比重，但对反函数的考查要求降低，本讲多数题目将会以小题目出现，重点仍将是考查函数的性质、图像，函数的定义域，以及函数的综合应用等知识点【命题立意】本题主要考查函数对称；对数的定义与运算2高考真题考题 1(2015 全国)设函数 yf(x)的图像与
4、 y2xa 的图像关于直线 yx 对称，且 f(2)f(4)1，则 a()A1 B1C.2D4【解析】选 C 设(x，y)是函数 yf(x)的图像上任意一点，它关于直线 yx 对称为(y，x)，由已知知(y，x)在函数 y2xa 的图像上，x2ya，解得 ylog2(x)a，即 f(x)log2(x)a，f(2)f(4)log22alog24a1，解得 a2，故选 C.考 题2(2015浙 江)已 知 函 数f(x)x2，x1，x6x6，x1，则 f(f(2)_，f(x)的最小值是_【解析】12 2 66 求解分段函数的函数值，利用函数单调性或基本不等式或导数求 f(x)的最小值 f(f(2)
5、f(4)464612.当 x1 时，f(x)min0；当 x1 时，f(x)x6x6.令 f(x)1 6x20，解得 x 6(负值舍去)当 1x 6时，f(x)0；当 x6时，f(x)0，f(x)的最小值为 f(6)6 6662 66.综上，f(x)的最小值是 2 66.【命题立意】本题主要考查分段函数求值；分段函数求最值考题 3(2015 天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m 为实数)为偶函数，记 af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为()AabcBcabCacbDcba【解析】选 B 由 fx 为偶函数得 m0，所以 a2
6、，b4，c0，故选 B.【命题立意】本题主要考查函数奇偶性；对数运算1.函数是高中数学的重要组成部分，也是历年高考的考查重点，考查既全面又深入，选择题和填空题等小题考查的内容覆盖了函数的大部分知识，例如映射，函数的定义域，函数的图像，函数的单调性，函数的奇偶性，函数的周期性等2.突出对基础知识的考查，解答题则更注重考查函数的思想方法和综合应用函数知识解决问题的能力3数形结合的思想方法在本部分中的应用特别重要，从函数图像入手，结合图像分析函数的性质往往能专注问题的关键，从而快速解决问题1函数的对应法则、定义域与值域例1已知函数 f(x)x22ax5(a1)(1)若函数 f(x)的定义域和值域均为
7、1，a，求实数a 的值；(2)若 f(x)在区间(，2上是减函数，且对任意的 x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，求实数 a的取值范围【解析】(1)f(x)x22ax5 在(，a上是减函数，f(x)x22ax5 在1，a上单调递减，根据题意得 f(1)a，f(a)1，解得 a2.(2)f(x)在(，2上是减函数，a2.结合(1)知 f(x)在1，a上单调递减，在a，a1上单调递增，当 x1，a1时，f(x)minf(a)5a2，f(x)maxmaxf(1)，f(a1)又 f(1)f(a1)62a(6a2)a(a2)0，f(x)maxf(1)62a.对任意的 x1，x21，a1，
8、总有|f(x1)f(x2)|4，f(x)maxf(x)min4，即 62a(5a2)4，a22a30，解得1a3，又 a2，2a3.故实数 a 的取值范围是2，3【点评】本题主要考查函数在规定范围内的最值问题2函数的图像及应用例2(2015 安徽)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y2a 与函数 y|xa|1 的图像只有一个交点，则 a 的值为_【解析】12 在同一直角坐标系内，作出 y2a的 y|xa|1 大致图像，如图：由题意，可知 2a1a12.【点评】本题主要考查函数的图像，利用初等函数的图像分析复合函数的图像例3已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图
9、像如图所示，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1，0c1C0a1D0a1，0c0，（a1）24a0，解得 a1.f(x)x22x1.(2)F(x)log2(g(x)f(x)log2(x2(k2)x)由 F(x)在区间1，2上是增函数，得 h(x)x2(k2)x 在区间1，2上为增函数且恒为正实数 k22 2，h（1）1k20，解得 k6，实数 k 的取值范围为 k6.【点评】本题主要考查函数概念、图像，函数的单调性【备选题】例5已知定义在实数集 R 上的奇函数f(x)有最小正周期 2，且当 x(0，1)时，f(x)2x4x1.(1)求函数 f(x)在(1，1)上的解析式；(2)判断 f(x
10、)在(0，1)上的单调性；(3)当 取何值时，方程 f(x)在(1，1)上有实数解？【解析】(1)f(x)是 xR 上的奇函数，f(0)0.设 x(1，0)，则x(0，1)，f(x)2x4x1 2x4x1f(x)，f(x)2x4x1，f(x)2x4x1，x（1，0），0，x02x4x1，x（0，1）.(2)设 0 x1x21，f(x1)f(x2)（2x12x2）（2x12x22x22x1）（4x11）（4x21）（2x12x2）（12x1x2）（4x11）（4x21），0 x1x21，2x1201，f(x1)f(x2)0 f(x)在(0，1)上为减函数(3)f(x)在(0，1)上为减函数，21
11、411f(x)1 时，f(x)1log2x12 恒成立，故 x 的取值范围是0，)，故选 D.5若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函数，且在0，2上的解析式为 f(x)x（1x），0 x1，sin x，1x2，则 f294 f416 _【解析】516 由题易知 f294 f416 f34 f76 f34 f76 316sin6 516.6已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当x0，3)时，f(x)x22x12.若函数 yf(x)a 在区间3，4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_【解析】0，12 作出函数 yf(x)在3，4上的图像，f(3)f(2
12、)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)12，观察图像可得 0a12.7已知函数 f(x)x3x，对任意的 m2，2，f(mx2)f(x)0，f(x)为增函数 又 f(x)为奇函数，由 f(mx2)f(x)0 知，f(mx2)f(x)mx2x，即 mxx20，令 g(m)mxx2，由 m2，2知 g(m)0 恒成立，即g（2）x20，g（2）3x20，2x23.8已知函数 f(x)2xk2x，kR.(1)若函数 f(x)为奇函数，求实数 k 的值；(2)若对任意的 x0，)都有 f(x)2x 成立，求实数 k 的取值范围【解析】(1)f(x)2xk2x 是奇函数，f(x)f(x)，x
13、R，即 2xk2x(2xk2x)，(1k)(k1)22x0 对一切 xR 恒成立，k1.(2)x0，)，均有 f(x)2x，即 2xk2x2x 成立，1k22x 对任意 x0 恒成立，1k(22x)min，y22x 在0，)上单调递增，(22x)min1，k0.实数 k 的取值范围是(0，)9已知定义域为 R 的函数 f(x)b2x2xa是奇函数(1)求 a，b 的值；(2)用定义证明 f(x)在(，)上为减函数；(3)若对于任意 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求实数 k 的取值范围【解析】(1)f(x)为 R 上的奇函数，f(0)0，b1.又 f(1)f(1)，得 a1
14、.经检验 a1，b1 符合题意(2)任取 x1，x2R，且 x1x2 则 f(x1)f(x2)12x12x1112x22x21 112112(12)(21)(12)(21)(21)(21)xxxxxx2（2x22x1）（2x11）（2x21）x1x2，2x12x20 f(x1)f(x2)0，f(x)在 R 上为减函数(3)tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，f(t22t)f(2t2k)f(x)为奇函数，f(t22t)k2t2 即 k3t22t 恒成立，而 3t22t3t1321313.k13.10已知函数 f(x)x24xa3，aR.(1)若函数 yf(x)的图像与 x 轴无
15、交点，求 a 的取值范围；(2)若函数 yf(x)在1，1上存在零点，求 a 的取值范围；(3)若函数 g(x)bx52b，bR，当 a0 时，若对任意的 x11，4，总存在 x21，4，使得 f(x1)g(x2)，求 b 的取值范围【解析】(1)若函数 yf(x)的图像与 x 轴无交点，则方程 f(x)0 根的判别式 0，即 164(a3)1.故 a 的取值范围为 a1.(2)因为函数 f(x)x24xa3 图像的对称轴是x2，所以 yf(x)在1，1上是减函数 又 yf(x)在1，1上存在零点，所以f（1）0，f（1）0即a0，a80，解得8a0.故实数 a 的取值范围为8a0.(3)若对任意的 x11，4，总存在 x21，4，使得 f(x1)g(x2)，只需函数yf(x)的值域为函数yg(x)值域的子集 当 a0 时，f(x)x24x3 图像的对称轴是 x2，所以 yf(x)的值域为1，3 下面求 g(x)bx52b，x1，4的值域 当 b0 时，g(x)5，不符合题意，舍去 当 b0 时，g(x)bx52b 的值域为5b，52b，只需5b1，52b3，解得 b6.当 b0 时，g(x)bx52b 的值域为52b，5b，只需52b1，5b3，解得 b3.综上，实数 b 的取值范围为b|b6 或 b3