1、 重点难点 重点：基本不等式的理解与运用 难点：应用基本不等式解决实际问题时条件的把握知识归纳1基本不等式：对任意 a、bR，有ab2 ab成立，当且仅当 ab 时取等号(1)x、y(0，)，且 xyP(定值)，那么当 xy时，xy 有最小值 2 P.(2)x、y(0，)，且 xyS(定值)，那么当 xy时，xy 有最值S24.大2基本不等式的常见变式及有关结论(1)a2b22ab(a、bR)；aba2b22(a、bR)a2b2 ab22(a、bR)；ab ab22(a、bR)ab22 a2b22(a、bR)，以上各等号在 ab 时成立(2)abba2(a、b 同号)，特别地1aa2(a0)，
2、1aa2(aab(ba0，m0)误区警示 在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值“三相等”是说各个项中字母取某个值时，能够使得各项的值相等 其中，通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键 多次使用均值不等式时，要保持每次等号成立条件的一致性 1证明不等式常用的方法：比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、放缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几何法(利用几何意义)2条件最值是基本不等式的一个重要应用应用基本不等式求最值时，通过对所给式进行巧妙分拆、
3、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键必须指出等号成立的条件 3“恒成立”问题的解法 不等式的“恒成立”问题是不等式综合应用中一类常见的题型，蕴涵着转化、数形结合、分类讨论、函数与方程等丰富的数学思想方法，处理不等式恒成立问题的基本思路是转化为求函数的最值或函数值域的问题 分析：要求x2 y的最值，观察条件等式中含有x2y和2xy，而2xyx(2y)，结合x0，y0知符合应用基本不等式的条件，故可把条件等式应用基本不等式变形为关于2xy的不等式求解例 1(文)(2010重庆理)已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是()A3 B4 C.92 D.112解析：2xy8(
4、x2y)，故 8(x2y)(x2y2)2，(x2y)24(x2y)320解得 x2y4 或 x2y8(舍去)等号成立时，x2y，2xx28，x0，x2，y1.x2y 的最小值为 4.答案：B(理)(2010四川文)设 ab0，则 a2 1ab1aab的最小值是()A1 B2 C3 D4 分析：求和式的最小值，符合基本不等式不等号方向的要求，由已知ab0知ab0，要消去分母中的ab，a，ab，需将a2变形后产生上述表达式，故a2a2ababa(ab)ab，这样就可以产生定值了，最后只要看等号能否同时成立即可了解析：ab0，ab0，ab0，a2 1ab1aaba2abab 1ab1aaba(ab)
5、1aab(ab 1ab)224.等号成立时，应有aab1aabab 1ab，a 2，b 22.答案：D 点评：应用基本不等式求两个式子最值的和时，等号必须同时成立解析：2x3y26xy，26xy2，xy6.(等号在 x2，y3 时成立)故 xy 的最小值为 6.(文)已知2x3y2(x0，y0)，则 xy 的最小值为_ 答案：6分析：可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解 点评：利用已知条件构造不等式，然后通过解不等式求得表达式的取值范围，从而得到最值也是部分问题中采用的方法(理)(2010 河 北 邯 郸)设x、y满 足 约 束 条 件3xy60 xy20 x0y0，若目标函数 zaxby
6、(a0，b0)的最大值为 12，则2a3b的最小值为_解析：不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分，当直线 axbyz(a0，b0)过两直线的交点 A(4,6)时，z 取最大值 12，4a6b12，2a3b6，2a3b2a3b 2a3b6136 baab136 2256，等号在baab，即 ba65时成立答案：256例 2 已知 ba0，且 ab1，那么()A2aba4b4ab ab2 bB2abab2 a4b4ab bC.a4b4ab 2abab2 bD2abab2 ba0，ab1，b12，2abab2212.a4b4ab(ab)(a2b2)ab2.又a4b4ab ba2b2b2b23b1(
7、1b)(12b)a0，ab1，可取 b34，a14，则可知其大小关系(2010深圳模拟)设 a0，b0，则以下不等式中，不恒成立的是()A(ab)(1a1b)4B.b2a2baC.ab1ab a1a b1bDaabbabba解析：当 0aba不成立，例如 a2，b4时，6442不成立，所以 B 不恒成立；由(ab)(1a1b)2baab4(当且仅当 ab 时取等号)可知，A 恒成立；由 ab1aba1abb1ab0、y0，x、a、b、y 成等差数列，x、c、d、y 成等比数列，则ab2cd的最小值是()A0 B1 C2 D4 分析：利用等差、等比数列的性质可将a、b、c、d的表达式转化为只含x
8、y的表达式，然后变形应用基本不等式求解解析：由等差、等比数列的性质得ab2cdxy2xyxyyx22yxxy24.仅当 xy 时取等号 答案：D解析：由条件知 ab2 3，xloga3，ylogb3，1x1ylog3alog3blog3(ab)log3ab221，等号在 ab 3时成立，故选 B.(文)(2010天津南开区模拟)设 a0，b0，3是 a 与 b的等差中项，axby3，则1x1y的最大值等于()A.12B1 C.32D2 答案：B(理)已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图连接，设相应的总阻值分别为RA、RB，则RA与RB的大小关系是()ARARB BRARB CRA0，
9、所以 RARB.答案：A 例4 某食品厂定期购买面粉已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由解析：(1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨由题意知，面粉的保管等其它费用为36x6(x1)62619x(x1)设平均每天所支付的总费用为 y1 元，则y11x9x(x1)90061800900 x
10、 9x108002900 x 9x1080010980.当且仅当 9x900 x，即 x10 时取等号即该厂应每隔 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔 35 天购买一次面粉设该厂利用此优惠条件后，每隔 x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为 y2 元，则y21x9x(x1)900618000.90900 x 9x9720(x35)令 f(x)x100 x(x35)，x2x135，则f(x1)f(x2)x1100 x1 x2100 x2x2x1100 x1x2x1x2x2x135.x2x10，x1x20,100 x1x20.f
11、(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)即 f(x)x100 x，当 x35 时为增函数当 x35 时，f(x)有最小值，此时 y20)，即 x30时取等号，但由(1)知 x25，即 x30 不在16,25上，因此y 的最小值不能是 56000.不妨研究 f(x)的单调性，对任意的 x1，x216,25，设x10，又 x1x2252900，故 1900 x1x20.f(x2)f(x1)0，b0，且 ln(ab)0，则1a1b的最小值是()A.14 B1 C4 D8 答案 C解析 ln(ab)0，ab1，1a1b1a1b(ab)2baab4 等号在 ab12时成立 2(2009重庆)不等式|x
12、3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A(，14，)B(，25，)C1,2 D(，12，)答案 A 解析|x3|x1|(x3)(x1)|4，即|x3|x1|的最大值是4，因此依题意有a23a4，(a4)(a1)0，a1或a4，故选A.二、填空题3函数 yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10 上，其中 mn0，则1m2n的最小值为_ 答案 8解析 函数 yloga(x3)1 的图象经过的定点为A(2，1)，点 A 在直线 mxny10 上，2mn1.1m2n(2mn)1m2n 4nm4mn.mn0，nm0，4mn 0，nm4mn 2nm4mn 4，当且仅当n24m22mn1，即m14n12时等号成立于是，1m2n448，即1m2n的最小值为 8.