1、第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示 知 识 梳理 1平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个_不共线_不共线向量，那么对于这一平面内的_任一_向量，有且只有_一对实数1，2使=1+2特别提醒： (1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 1，2是被，唯一确定的数量2平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个_单位向量_ 、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
2、其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3平面向量的坐标运算（1） 若，则=，= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差（2） 若，则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标（3）若和实数，则实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标4向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中 ()的充要条件是 重 难 点 突 破 1.重
3、点：（1）了解平面向量基本定理及其意义,了解基底和两个非零向量夹角的概念,会进行向量的分解及正交分解；（2）理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；2.难点：用坐标表示的平面向量共线的条件,能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线.3.重难点：（1）平行的情况有方向相同和方向相反两种问题1：和= (3,4)平行的单位向量是_；错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即 (，)错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，)或(，)BCAOMD 热 点 考 点 题 型 探 析考点一
4、： 平面向量基本定理题型1. 利用一组基底表示平面内的任一向量例1 在OAB中，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示. 解题思路：若是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用线性表示.本例中向量,可作基底,故可设=m+n,为求实数m,n,需利用向量与共线,向量与共线,建立关于m,n的两个方程.解析：设=m+n，则,点A、M、D共线，与共线，m+2n=1. 而，C、M、B共线，与共线，ABCQRP，4m+n=1. 联立解得:m=，n=，例2 已知是所在平面内一点,的中点为,的中点为,的中点为.证明:只有唯一的一点使得与重合.解题思路：要证满足条件的点是唯一的
5、,只需证明向量可用一组基底唯一表示.解析： 证明设，则 ,由题设知: 由于,是确定的向量，所以是唯一的一个向量，即所在平面内只有唯一的一点使得与重合.【名师指引】解决此类类问题的关键在于以一组不共线的向量主基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把其它相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相应的值。【新题导练】1若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A与 B3与2 C与 D与2BACPNM答案：D 2在ABC中,已知 AMAB =13, ANAC =14，BN与CM交于点P,且,试 用表示.解： AMAB =13, ANA
6、C =14,， ， M、P、C三点共线，故可设，tR , 于是， 同理可设设，sR , 由得 ，由此解得 ， 考点二: 平面向量的坐标表示与运算题型1: 向量加、减、数乘的坐标运算例3 已知A（2,4）、B（3,1）、C（3,4）且,求点M、N的坐标及向量的坐标.解题思路： 利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。解析： A（2，4）、B（3，1）、C（3，4） =3（1，8）=（3，24），=2（6，3）=（12，6）设，则因此 得，同理可得，=（90，220）=（9，18）【名师指引】灵活运用向量的坐标运算公式。【新题导练】3 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2
7、= 答案：(-3,-3) 解：-2=（1，1）-2（2，2）=(-3,-3)4若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, ) P点坐标为(-1, -)考点三: 向量平行的充要条件题型1: 平行、共线问题例4 （广东省高明一中2009届高三月考） 已知向量，若，则锐角等于（ ）A B C D解题思路： 已知a、b的坐标，当求a/b时，运用两向量平行的充要条件x1y2x2y1=0可求值解析：B 解：，故选B【名师指引】数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要
8、变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到【新题导练】5若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x解：=(-1,x)与=(-x, 2) 共线 (-1)2- x(-x)=0 x= 与方向相同 x=6已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。 (2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。解：(1) =(1+3t,2+3t)，若P在x轴上，只需2+3t=0，；若P 在y轴上，只需1+3t=0，；若P在第二象限，只需 (2)若OABP为平行四边形，则由于无解，故四
9、边形OABP不能构成平行四边形。 抢 分 频 道 基础巩固训练1. （广东省惠州市2009届高三第二次调研考试）设平面向量，则（ ）A B C D 答案：B 解析：2. （广东省深圳外国语学校2009届高三统测（数学理）在中，若点满足，则( )A B CD答案：A 解析：由，3已知a=（1，2），b=（3，2），当ka+b与a3b平行，k为何值（ ）A B C D 答案：C解析： 由已知a=（1，2），b=（3，2）， 得 a3b=（10，4）， kab=（k3，2k2）因（kab）（a3b）， 故10（2k2）4（k3）=0 得k=4（广东省黄岐高级中学2009届高三月考）如图,线段与互相平
10、分,则可以表示为 ( ) A . B. C. D. 答案：B 线段与互相平分，所以=5 如图，设P、Q为ABC内的两点，且， ，则ABP的面积与ABQ的面积之比为( )A B C D 答案：B 解析如图,设,则由平行四边形法则知NPAB，所以=，同理可得。故,即选B.6（2009年广东省广州市高三年级调研测试数 学（理 科）如图，在中，已知， A BC H M于，为的中点，若，则 . 答案： 解析：，所以BH=1，为的中点，所以综合拔高训练7（广东省深圳外国语学校2009届高三统测（数学理）已知向量，则的最大值为 答案：2 解析：.8(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知向量，若不超过5
11、，则的取值范围是答案： -6，2 解析： =解得的取值范围是-6，29已知,当实数取何值时,2与24平行？【解析】方法一: 24, 存在唯一实数使2=24）将、的坐标代入上式得（6，24）=14，4）得6=14且24= 4，解得= 1方法二：同法一有2=（24）,即（2（24=0与不共线， = 110已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且 =t（1） 当t变化时，点P是否在一条定直线上运动？（2） 当t取何值时，点P在y轴上？（3） OABP能否成为平行四边形？若能求出相应的t值；若不能，请说明理由解：（1）由= t可得 = t，又、都过A点，故A、P、B三点在同一条直线上，而A、B为定点，所以P点恒在直线AB上运动.（2）=（13t，23t），若P在y轴上，则13t=0，t=.（3）A、B、P三点在同一条直线上，OABP不可能为平行四边形，若用 = 可列方程组，但方程组无解.