1、第2讲 两条直线的位置关系知识梳理1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.已知直线, 若,与相交,则 ; 若,则 ;若/,则且; 若与重合,则且2.几个公式已知两点,则 设点，直线点到直线的距离为设直线则与间的距离3.直线系 与直线平行的直线系方程为; 与直线垂直的直线系方程为; 过两直线的交点的直线系方程为重难点突破重点:掌握两条直线的平行与垂直的充要条件；掌握两点之间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线之间的距离.难点:判断两条直线位置关系时的
2、分类讨论以及综合运用平行与垂直的充要条件、距离公式解题重难点:综合运用平行与垂直的充要条件和三个距离公式,进行合理转化之后求直线方程（1）在判断两条直线的位置关系时的分类讨论, 要防止因考虑不周造成的增解与漏解,关键是要树立检验的意识.要考虑斜率存在与斜率不存在两种情形;要考虑两条直线平行时不能重合;问题1:已知直线，m为何值时，与平行点拨：当m=0时，当时，的斜率为，的斜率为由得或，时与重合，时（2）在分析题意,寻找解题思路时,要充分利用数形结合思想,将问题转化,化繁为简,有效降低运算量. 问题2:已知点P（2，1）求过P点与原点距离最大的直线的方程点拨: 过P点与原点距离最大的直线为垂直于
3、直线的直线,直线的斜率为-2, 直线的方程为,即（3）在使用点到直线的距离公式和两条直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式,使用两条直线的距离公式,还要使两直线方程中的的系数对应相等问题2：求直线与的距离点拨：将的方程化为，则两直线的距离为(4)处理动直线过定点问题的常用的方法: 将直线方程化为点斜式化为过两条直线的交点的直线系方程特殊入手,先求其中两条直线的交点,再验证动直线恒过交点从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立。问题3:求证:直线恒过某定点，并求该定点的坐标.将直线方程化为若直线过定点，则上式对恒成立，该直线必过定点热点考点题型探析考点1:两直线的平行与垂直关系题型:
4、判断两条直线平行与垂直例1 已知直线 ：3mx+8y+3m-10=0 和 ： x+6my-4=0 问 m为何值时 （1）与相交（2）与平行（3）与垂直;解析当时； ， 与垂直当时由 ，而无解综上所述（1）时与相交（2）与平行（3）时与垂直【名师指引】判断两条直线的位置关系，一般要分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，平时要培养分类讨论的“意识”例2 已知三边的方程为：，；（1）判断三角形的形状；（2）当边上的高为1时，求的值。【解题思路】（1）三边所在直线的斜率是定值,三个内角的大小是定值,可从计算斜率入手;(2)边上的高为1,即点到直线的距离为1，由此可得关于m的方程.解析： （1）直线的斜率为
5、，直线的斜率为， 所以，所以直线与互相垂直， 因此为直角三角形 （2）解方程组，得，即由点到直线的距离公式得 ， 当时，即，解得或【名师指引】（1）一般地，若两条直线的方向（斜率、倾斜角、方向向量）确定，则两条直线的夹角确定（2）在三角形中求直线方程，经常会结合三角形的高、角平分线、中线【新题导练】1.已知直线，直线，则“”是“直线”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析B2.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（ ）A0 B-8 C2 D.10解析设所求的直线，则那么m=-8，选 B3. “m=”是“直
6、线(m+2)x+3my+1=0与直线(m2)x+(m+2)y3=0相互垂直”的( )A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析当m=或-2时，两条直线垂直，所以m=是两条直线垂直的充分不必要条件，选 B点评还要考虑斜率不存在的情形 4. (山东省枣庄市2008届高三第一次调研考试) 已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点垂直，直线l2：2,4,6等于（ ）A4B2C0D2解析 B ,又考点2 点到直线的距离题型:利用两个距离公式解决有关问题例3 已知直线及点（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程【解题思路】分离参数求
7、定点坐标;寻找到直线的距离最大时，直线满足的条件解析：（1）将直线的方程化为：，无论如何变化，该直线系都恒过直线与直线的交点，由得，直线过定点（2）当时点到直线的距离最大，此时直线的斜率为-5，直线的方程为即【名师指引】（1）斜率不定的动直线，都应考虑是否过定点（2）处理解析几何的最值问题，一般方法有：函数法；几何法例4 已知三条直线 ，若与的距离是 （1）求a的值 （2）能否找到一点P使得P同时满足下列三个条件P是第一象限的点；P点到的距离是P点到的距离的P点到的距离与P点到的距离的之比是；若能，求P点坐标；若不能，说明理由。【解题思路】由三个条件可列三个方程或不等式，最终归结为混合组是否有
8、解的问题解析（1）(2)设同时满足三个条件由得：设在上则有-（1）由得：-（2）由得 -（3）解由（1）（2）（3）联立的混合组得 所以 【名师指引】（1）在条件比较多时，思路要理顺；（2）解混合组时，一般是先解方程，再验证不等式成立 【新题导练】6. 点到直线的距离的最小值等于 解析7. 与直线的距离为的直线方程为 解析 或8. 两平行直线，分别过点P（-1，3），Q（2，-1）它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则之，间的距离的取值范围是（ ）A B.（0，5） C. D.解析最大值为P，Q的距离，即5，选C9.求过原点且与两定点距离相等的直线的方程解析 直线过线段AB的中点或平行于直线
9、AB，故方程为或考点3 直线系题型1:运用直线系求直线方程例5 求过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程和平行的直线方程。 【解题思路】可直接求交点，也可用直线系求解解析解法一.设与直线垂直的直线方程为 设与直线平行的直线方程为联立方程得与的交点（1，-1） 代入求得 m=-5，n=3解法二.设与直线为 由条件分别求得和化简得和【名师指引】（1）使用直线系方程可以回避解方程组，从而达到减少运算量的目的（2）注意直线系不表示直线，这是一个容易丢解的地方题型2:动直线过定点问题例6 已知圆，直线证明不取何值，直线过定点 证明直线恒与圆C相交解析(1)直线化为：故直线是经过和交点（3，1）的直线系，
10、故过定点（3，1）（2）因为 所以（3,1）为圆内的点。故直线恒与圆C相交【名师指引】在处理动直线过定点问题时，分离参数，转化为过两条定直线的交点的直线系是简单易行的方法【新题导练】10、方程所确定的直线必经过点A（2，2） B.（-2，2） C.（-6，2） D.（3，-6）解析代入验证，选A11.已知为m实数，直线：（2m+1）x+（1-m）y-（4m+5）=0， P（7，0），求点P到直线的距离d的取值范围。解析 直线过定点，d的最大值为点P、Q的距离，因点P、Q的距离为，故d的取值范围是 12.直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程解析：设直线方程为,
11、化简得:直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，直线的斜率为,解得:或代入并化简得直线的方程为或抢分频道基础巩固训练1、若过点和的直线与直线平行,则的值为A6 B C2 D 解析，2、已知三条直线和围成一个直角三角形，则的值是A 或 B-1或 C0或-1或 D0或或解析 C直线垂直时，但时后两条直线重合，又时后两条直线垂直，故选C3、若直线l：ykx与直线2x3y60交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）A，) B(，) C(，) D，)解析B直线2x3y60与x轴、y轴交于（0，2）、（3，0）将两点坐标代入可得答案4、点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足14
12、xy7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（ ）A. 0，5B. 0，10C. 5，10D. 5，15解：B. 由得，点P到坐标原点距离的取值范围是0，105、设 ,若仅有两个元素,则实数的取值范围是 解析, 数形结合，注意到直线的斜率为1，当时直线与不可能有两个交点 6、求经过直线和的交点，且与原点距离为的直线方程解析解方程组得交点坐标为（-1，-1），设直线方程为即，解得所求直线方程为综合提高训练7、已知直线与轴轴正半轴所围成的四边形有外接圆，则 ，的取值范围是 解析由题意知直线与坐标轴交于点和，直线与线段（不含端点）相交，画图易得的取值范围是8、已知两直线,求分别满足下列条件的、的值 （1
13、）直线过点，并且直线与直线垂直； （2）直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等解析解：（1） 即 又点在上， 由解得： （2）且的斜率为. 的斜率也存在，即，.故和的方程可分别表示为：原点到和的距离相等. ，解得：或.因此或. 9、（华南师大附中20072008学年度高三综合测试（三）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|=3米，|AD|=2米. （）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AM的长应在什么范围内？ （）当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积. 以AM、AN分别为x
14、、y轴建立直角坐标系，解析 （）以A为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，则由C在直线MN上得 AM的长取值范围是（3，4）（）由（）知，即当且仅当即时取等号所以时，矩形AMPN的面积取得最小值2410.已知点A（1,4），B（6,2），试问在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由。解析AB=，直线AB的方程为，即，假设在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14，设C的坐标为，则一方面有m-3n+3=0，另一方面点C到直线AB的距离为，由于三角形ABC的面积等于14，则，即或.联立解得，；联立解得，
15、.综上，在直线x-3y+3=0上存在点C或，使得三角形ABC的面积等于14.参考例题： 1. 将一块直角三角板（角）置于直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分受损坏（），要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成，问如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积最大？分析：用点斜式设出直线的方程，直线与直线的交点可求出，的面积线段的长度和点到直线的距离来表示解析：由图知，设直线的斜率为，直线与不能相交，所以直线的方程为，令得令得,点到直线的距离为而函数在上是增函数，故当取得最大值2.已知点，在直线上求一点P，使最小.解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.设，则，解得，直线的方程为.由，解得，.