1、高考资源网（） 您身边的高考专家阶段质量检测（二） 圆锥曲线与方程质(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2017浙江高考)椭圆1的离心率是()A.B.C.D.解析：选B根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e.2(2019北京高考)已知双曲线y21(a0)的离心率是，则a()A. B4C2 D.解析：选D由双曲线方程y21，得b21，c2a21.5e21.结合a0，解得a.3设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|F1F2|2，则该椭圆的方程为()A.1By2
2、1C.y21D.y21解析：选A|BF2|F1F2|2，a2c2，a2，c1，b.椭圆的方程为1.4已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx解析：选Ce21，则C的渐近线方程为yx.5已知直线ykxk(k为实数)及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线没有公共点解析：选C因为直线ykxk恒过点(1,0)，点(1,0)在抛物线y22px的内部，所以当k0时，直线与抛物线有一个公共点，当k0时，直线与抛物线有两个公共点6已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别是F
3、1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在双曲线上，则()A12B2C0D4解析：选C由渐近线方程为yx，知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是x2y22，于是两焦点分别是F1(2,0)和F2(2,0)，且P(，1)或P(，1)不妨取点P(，1)，则(2，1)，(2，1)(2，1)(2，1)(2)(2)10.7已知|3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为坐标原点，则动点P的轨迹方程是()A.y21Bx21C.y21Dx21解析：选A设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)(0，y0)(x0,0)，即xx0，yy0，所以x0x，y03y.因为|3，所以xy9，即2(
4、3y)29，化简整理得动点P的轨迹方程是y21.8探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是()Ay2xBy2xCx2yDx2y解析：选C如果设抛物线的方程为y22px(p0)，则抛物线过点(40,30)，从而有3022p40，即2p，所以所求抛物线方程为y2x.虽然选项中没有y2x，但C中的2p符合题意9.我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则ABF()A90B60C45D30解析：选A设椭圆的方程为1(ab0)
5、由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(c,0)，则(c，b)， (a，b)离心率e，ca，ba，b2ac0，ABF90.10设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为()A.B(，)C.D.(，)解析：选D由消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1a20a21，且此时4a2(2a2)0a20)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，则a_.F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|_.解析：双曲线1的一条渐近线方程为3x2y0，故a2.又P是双曲线上一点，故|PF1|
6、PF2|4，而|PF1|3，则|PF2|7.答案：2712过抛物线yx2的焦点F作一条倾斜角为30的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|_.解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x24y的焦点坐标是F(0,1)，直线AB的方程为yx1，即x(y1)由消去x得3(y1)24y，即3y210y30，(10)24330，y1y2，则|AB|AF|BF|(y11)(y21)y1y22.答案：13已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，则F的坐标为_若|FA|2|FB|，则k_.解析：抛物线y28x的焦点坐标为(2,0)，将yk(x2)
7、代入y28x，得k2x2(4k28)x4k20，设A(x1，y1), B(x2，y2)，则x1x2，x1x24，由|FA|2|FB|及抛物线定义得x122(x22)，即x122x2，代入x1x24，整理得xx220，解得x21或x22(舍去)所以x14，5，解得k2，又因为k0，所以k.答案：(2,0)14抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_，抛物线上横坐标为3的点到准线的距离为_解析：依题意，设抛物线的焦点为F，点Q的横坐标是x0(x00)，则有|QF|x0的最小值是1，则p2.横坐标为3的点到准线的距离为34.答案：2415已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.
8、则双曲线x2y21的渐近线方程为_，若渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为_解析：由题意，双曲线的渐近线方程为yx.因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，y b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4 b bb216，所以b25，所以椭圆方程为1.答案：yx116已知二次曲线1，当m2，1时，该曲线的离心率的取值范围是_解析：m2，1，曲线方程化为1，曲线为双曲线，e.m2，1，e.答案：，17设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点
9、，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_解析：由椭圆的定义知|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为10|MF2|1015.答案：15三、解答题(本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18(本小题满分14分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程解：依题
10、意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P在抛物线上，62p.p2，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点P在双曲线上，1，解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.19(本小题满分15分)已知椭圆1及直线l：yxm，(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值解：(1)由消去y，并整理得9x26mx2m2180.36m236(2m218)36(m218)直线l与椭圆有公共点，0，据此可解得3 m3 .故所求实数m的取值范围为3 ，3 (2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B
11、(x2，y2)，由得：x1x2，x1x2，故|AB| ，当m0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.20(本小题满分15分)已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l1：y1相切，圆心C的轨迹为E.(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，求|PQ|的最大值解：(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，所以所求轨迹的方程为x24y.(2)由题意易知直线l2的斜率存在，又抛物线方程为x24y，当直线l2的斜率为0时，|PQ|4.当直线l2的斜率k不为0时，设中点坐标为(t,2)，P(x1，y
12、1)，Q(x2，y2)，则有x4y1，x4y2，两式作差得xx4(y1y2)，即得k，则直线方程为y2(xt)，与x24y联立得x22tx2t280.由根与系数的关系得x1x22t，x1x22t28，则|PQ|6，当且仅当t时取等号所以|PQ|的最大值为6.21.(本小题满分15分)已知椭圆1(ab0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(1,0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由解：(1)直线AB的方程为：bxayab0.依题意解得椭圆方程为y21.(2)假设存
13、在这样的k值，由得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD为直径的圆过点E(1,0)，当且仅当CEDE时，则1.即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k.经验证k使成立综上可知，存在k，使得以CD为直径的圆过点E.22(本小题满分15分)已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同
14、向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率解：(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为(0,1)因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以1.联立，得a29，b28.故C2的方程为1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3x4，x3x4.将代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.高考资源网版权所有，侵权必究！
