1、北京市东城区2003高三年级综合练习一数 学 （理）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。第卷（选择题共50分）参考公式： 三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式正棱台、圆台的侧面积公式S台侧其中、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式V台体其中、S分别表示上、下底面积，h表示高sinsin2sinsinsin2coscoscos2coscoscos2sin一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如果Xx|x2x0， Yx|x2x0， 那么XY等于A0B0C
2、D1，0，12cos75cos165的值是ABCD3函数yf(x)的图象过点（2，1），则yf(x3)的反函数的图象必过定点A（1，2）B（2，1）C（1，1）D（2，1）4在极坐标系中，过圆4sin2cos的圆心且与极轴垂直的直线方程是Acos1Bcos2Csin1Dsin25设aarcsin()，barctan()，carccos()则a，b，c的大小关系是AabcBbacCacbDbca6等差数列an中，Sn为其前n项和，已知a3m，m为实数，则下列各数可以确定的是AS7BS6CS5DS47是第三、四象限角，sin，则m的取值范围是A（1，1）B（1，）C（1，）D8圆台侧面积为2，母线
3、与底面所成角为60，上底半径为x，下底半径为y(yx0)，则函数yf(x)的图象是9如图，电路中有4个电阻和一个电流表A，若没有电流流过电流表A，其原因仅因电阻断 路的可能性共有A9种B10种C11种D12种10已知ab0，奇函数f(x)的定义域为a，a， 在区间b，a上单调递减且f(x)0，那么在区间a，b上Af(x)0且|f(x)|单调递减Bf(x)0且|f(x)|单调递增Cf(x)0且|f(x)|单调递减Df(x)0且|f(x)|单调递增第卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。11在数an中，其前n项和Sn4n2n8，则a4_.1
4、2以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，将ABD折起，使折起后的ABC恰成等边三角形，则二面角CADB的平面角等于_.13若抛物线y22px（p0）过点A（1，2）F是其焦点，B点坐标是（4，4），那么|AF|BF|的值为_.14关于函数f(x)lg(xR，x0)有下列命题：函数yf(x)的图象关于y轴对称；当x0时f(x)是增函数，当x0时f(x)是减函数；函数f(x)的最小值是lg2；当x1时，f(x)没有反函数.其中正确命题的序号是_（注：把你认为正确的序号都填上）.北京市东城区2003高三年级综合练习一姓名_学号_一、选择题答题表题号12345678910答案二、填空题答题
5、表题号11121314答案三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15（14分）设虚数z满足|2z5|10|. （）求|z|的值； （）若为实数，求实数m的值； （）若(12i)z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .16（12分）设点P（a，0）（a0）关于直线ykx的对称点为Q，且直线OQ的斜率为f(k). （）写出以k为自变量的函数f(k)的表达式，并求其定义域； （）判断函数f(k)的奇偶性，并证明.17（15分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1，各棱长都等于a，E是BB1的中点. （）求直线C1B与平面A1ABB1所成角的正弦
6、值； （）求证：平面AEC1平面ACC1A1； （）求点C1到平面AEC的距离 .18（13分）某油库已储油料a吨，按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出b吨.设an为正式运营后第n年底的储油量. （）求an的表达式并加以证明； （）为抵御突发事件，该油库年底储油量不得少于a吨，如果ba吨，该油库能否长期按计划运营，如果可以请加以证明，如果不行请说明理由.（取lg20.30，lg30.48）19（15分）已知二次函数f(x)ax2bxc(a、b、c均为实数，满足abc0，对于任意实数x都有f(x)x0，并且当x(0，2)时，有f(
7、x)()2 （）求f(1)的值； （）证明：ac； （）当x2，2且ac取得最小值时，函数F(x)f(x)mx（m为实数）是单调的，求证：m或m20（15分）从椭圆1(ab0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线ABOM. （）求椭圆的离心率； （）若Q是椭圆上的任意一点，F2是右焦点，求F1QF2的取值范围； （）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|3，求椭圆的方程 .参考答案一、1B 2B 3C 4A 5B 6C 7C 8C 9C 10D二、1127 12 13 14三、（15）解：（）设zxyi (x ，y R，且y0)，则
8、1分 (2x5)2(2y)2(x10)2y2 得到x2y225 . |z|5 .4分 （）为实数，7分 ，又y0，且x2y225 ， 8分 解得m5 9分 （） (12i)z(12i)(xyi)(x2y)(y2x)i 依题意，得x2yy2x y3x . 11分 又|z|5，即x2y225 . 12分由得14分16解：（）如图P（a ， 0 ）（a0）关于直线ykx 的对称点为Q设ktg（0，且）则有POFQOF . POQ2.2分 当0，且 时，f(k)tg2 ， 当 时，tg2 不存在 . 当，且 时，f(k)tg(2)tg2 ，当时，tg2不存在.5分 由1k20，得f(k)的定义域为k|
9、kR且k1.7分 （）10分 f(k)为奇函数.12分17解（）取A1B1中点M，连结C1M，BM . 三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，C1MA1B1 C1MBB1 . C1MA1ABB1 . C1BM为直线C1B与平面A1ABB1所成的角 .3分 在RtBMC1中，C1Ma ， BC1 a ， sinC1BM5分 （）取A1C1的中点D1，AC1的中点F，连结B1D1，EF，D1F . 则有D1FAA1 ，B1EAA1. D1FB1E . 则四边形D1FEB1是平行四边形，EFB1D1 .7分 由于三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，B1D1A1C1，又平面A1B1C1平面ACC1A1于
10、A1C1，且B1D1平面A1B1C1，B1D1平面ACC1A1.8分EF平面ACC1A1 . EF平面AEC1，则平面AEC1平面ACC1A1.10分 （）由（）知EF平面AC1 ，则EF是三棱锥EACC1的高 .由三棱柱各棱长都等于a，则 Vc1AECVEACC1 设三棱锥Vc1AEC的高为h，则h为点C1到平面AEC的距离 . 则 即点C1到平面AEC的距离是a.15分(18)解：（）依题意，油库原有储油量为a吨，则a1ab，a2a1b（）2a（1）b a3a2b（）3a（）21b，推测：an（）na（）n1（）n21b. （）na4（）n1b（nN）。4分用数学归纳法证明.（1）当n1时
11、，a1a41bab，推测成立.5分（2）假设当nk（k1，kN）时，ak（）ka4（）k1b成立.当nk1时，依题意ak1akb。ak1（）ka4（）k1bb（）k1a4（）k1bb（）k1a4（）k11b即当nk1时，推测也成立。由（1）（2）知，对于nN，推测成立.8分（）如果ba吨时，该油库第n年年底储油量不少于a吨，即（）na4（）n1aa。11分 即（）n3。n34.8。说明该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营。13分19解：（）对于任意xR，都有f（x）x0，且当x(0，2)时，有f（x）()2令x1 1f(1)()2.即f（1）1.5分（）由abc0及f（1）1. 有 可得b
12、ac.7分 又对任意x，f（x）x 0，即ax2xc0. a0且0.即4ac0。解得ac.10分 （）由（）可知a0，c0.ac22.11分 ac，当且仅当 ac时等号成立。此时ac12分f(x)x2x，F(x)f(x)mxx2（24m）x1。13分当x2，2时，F(x)时单调的，所以F(x)的顶点一定在2，2的外边.|2。14分解得m或m。15分20解：（）由已知可设M（c，y）。则有.因为M在第二象限，所以M（C，）。2分 又由ABOM，可知kABkOM.3分bc，ab.4分e.5分（）设|F1Q|m，|F2Q|n，则mn2a，mn0.|F1F2|2c，a22c2.cosF1QF27分 110.8分当且仅当mna时，等号成立.9分 故F1QF20，.10分（）CDAB，kCD.设直线CD的方程为y（xc），即y（xb）.11分 则消去y整理得（a22b2）x22a2bxa2b20.12分设C（x1，y1），D（x2，y2），a22b2，x1x2.|CD|x1x2|14分 b22，则a24.椭圆的方程为.15分11
