1、全国卷近三年来，本专题考查的题型、分值与难度相对稳定立体几何的考查基本是“两小一大”(2015 年是“两小一大”)，分值是 5 分5 分12分小题重点考查三视图、空间几何体的结构，表面积和体积的计算，一般属于容易题大题考查空间平行、垂直关系的证明和结合求体积或表面积等等，题型较为稳定近三年的全国卷未出现空间角的计算问题第8讲 空间几何体 1考题展望高考中多以三视图、直观图为背景体现几何体的结构特征有时与表面积、体积等相关计算问题相结合如 2015 年全国卷第 6 题，着重考查体积计算，全国卷第 11 题，着重考查三视图背景下的表面积计算该内容常以填空、选择题为主，但也有以多面体为载体，考查线面
2、关系、侧面积、体积的解答题2.高考真题考题 1(2015 全国)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：“积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有()A.14 斛 B22 斛C36 斛D66 斛【解析】选 B 设圆锥底面半径为 r，则1423r8r163，所以米堆的体积为14133163253209，故堆放的米约为3209 1.6222，故
3、选 B.【命题立意】本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式考题 2(2015 全国)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 1620，则 r()A1 B2 C4 D8【解析】选 B 由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为124r2r2rr22r2r5r24r21620，解得 r2，故选 B.【命题立意】本题主要考查几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的侧面积公式考题 3(2015 湖南)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工
4、成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为()(材料利用率原工件的体积/新工件的体积)A.89B.827C.24（21）2D.8（21）2【解析】选 A 由三视图想到该几何体(圆锥)，要求的应为圆锥的内接正方体的体积与该圆锥体积之比 由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为 1，母线长为 3，则高为 32122 2，设其内接正方体的棱长为 x，则 2x2 2 2x2 2，x2 23.V 新工件x316 227.又 V 原工件13122 22 23，V新工件V原工件16 2272 23 89.故选 A.【命题立意】本题主要考查三视图、圆锥的内接正
5、方体1棱柱与圆柱统称为柱体；棱锥与圆锥统称为锥体；圆台和棱台统称为台体2柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱的结构特征有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边都互相平行(2)棱锥的结构特征有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形(3)棱台的结构特征棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分；棱台的各侧棱的延长线交于一点(4)圆柱、圆锥、圆台的结构特征圆柱、圆锥、圆台是分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于两底的腰所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体它们的轴截面分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形(5)球以半圆的直径
6、所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径(6)组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体3空间几何体的三视图与直观图(1)直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法，对斜二测画法可记忆为：“平行保持，横长不变，纵长减半”(2)三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形具体包括：正视图：物体前后方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和长度；侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和宽度；俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，它能反映物体
7、的长度和宽度(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高4柱、锥、台体的表面积与体积(1)表面积公式圆柱的表面积 S2 r(rl)，圆锥的表面积 S r(rl)，圆台的表面积 S(r2r2rlrl)，球的表面积 S4 R2.(2)体积公式柱体的体积 VSh，锥体的体积 V13Sh，球的体积 V43 R3.1由三视图求体积、表面积例1(2015 安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1 3B12 2C2 3D2 2【解析】选 C 由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：其中侧面 PAC 底面 ABC，且PACBAC，由三视图所给数据可知：PAP
8、CABBC 2，取 AC 中点 O，连接PO，BO，则 RtPOB 中，POBO1PB 2，S2 34 212222 3，故选 C.【点评】本题主要考查几何体的三视图；四面体的表面积例2(2015 山东)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2 23B.4 23C2 2D4 2【解析】选 B 由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为 2 2，斜边上的高为 2，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为13(2)22 24 23，故选 B.【点评】本题主要考查旋转体的几何特征；几何体的体积2几何体与三视图例3(2015
9、 北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A1B.2C.3D2【解析】选 C 由几何体的三视图画出直观图，并根据直观图的特点判断和计算 根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥 V-ABCD，其中VB平面 ABCD，且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，VB1.所以四棱锥中最长棱为 VD.连接 BD，易知BD 2，在 RtVBD 中，VD VB2BD2 3.【点评】本题主要考查立体几何中的三视图的相关知识，要求具有一定的空间想象能力例4某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是()A2 B.92C.32D3【解析】选 D 由三视图还
10、原的几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几何体体积为 V1312(12)2x3，解得 x3，选 D.【点评】本题主要考查立体几何中的三视图的相关知识和体积计算公式3与三视图有关的接切问题例5(2015 全国)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15【解析】选 D 截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的16，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15，故选 D.【点评】立体几何的接切问题，一般通过模型构造，结合三视图来寻求解决的方案【备 选 题】例6(2015 全 国
11、)如 图，长 方 体ABCD-A1B1C1D1 中，AB16，BC10，AA18，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1ED1F4.过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由)；(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值【解析】(1)交线围成的正方形EHGF 如图：(2)作 EMAB，垂足为 M，则 AMA1E4，EB112，EMAA18，因为 EHGF 是正方形，所以 EHEFBC10，于是 MH EH2EM26，AH10，HB6，因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积比值为9779也正确.1考
12、查由直观图求几何体的三视图，可考虑特殊点的投影点2已知三视图考察几何体，可以先观察三视图，想象几何体形状或猜想几何体形状，再验证它的三视图是否成立3由三视图求表面积或体积，关键是识图空间几何体的三视图的排列规则：俯视图在正(主)视图的下方，长度与正(主)视图的长度对正；侧(左)视图在正(主)视图的右方，高度与正(主)视图的高度齐平，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正，高齐平，宽相等”即：正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽1一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A12B6C4D2【解析】选 B 由三视图知该几何体为底面半径为 2，高为 3 的圆柱的一半，由圆柱体积公式可求2若一个底面
13、是等腰直角三角形(C 为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示，则该三棱柱的体积等于()A.13B1 C.33D.3【解析】选 B 由正视图及已知，可得这个三棱柱的高为 1，底面等腰直角三角形的斜边是 2，所以两条直角边是 2，从而三棱柱的体积为 VS 底h12 2 2 11，故选 B.3右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4，腰长为 4 的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A6B8C12D24【解析】选 C 该几何体为圆台，设展开图的“虚扇形”的半径为 l，则 ll424，l4，所以侧面积为 S12(42)412.4已知一个几何体是由一个长方体截去一个三棱锥
14、所得到的，其三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A48 cm3B98 cm3C88 cm3D78 cm3【解析】选 B 由三视图知该几何体为一个长方体截掉一个三棱锥，故体积 V63613124531081098.5如图，三棱锥 V-ABC 的底面为正三角形，侧面 VAC 与底面垂直且 VAVC，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为()A.32B.33C.34D.36【解析】选 B 由题知，侧面 VAC 与底面垂直，故正视图与侧视图为等高的三角形，其面积比为1 32，故侧视图面积为23 32 33，选 B.6一个几何体的三视图如下图所示，且其侧视图是 一 个 等 边 三 角 形，则 这 个 几 何 体 的 体 积 为_【解析】（8）36 由题知，该几何体左边是以 1 为底面半径，3为高的半圆锥，右边是四棱锥，由体积公式可求7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为_.【解析】12 设底面三角形另一直角边长为 x，几何体的高为y，有 x2y26，V16xy16x2y2212.8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为_【解析】4 3 由三视图知，该几何体为四棱锥，根据其特点可将其补形为棱长为 2 的正方体，再求其外接球体积.