1、1.3.3已知三角函数值求角学 习 目 标核 心 素 养1掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角(重点、难点)2熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间2，2上对应的角(重点)通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1已知正弦值，求角对于正弦函数ysin x，如果已知函数值y(y1,1)，那么在上有唯一的x值和它对应，记为xarcsin_y.2已知余弦值，求角对于余弦函数ycos x，如果已知函数值y(y1,1)，那么在0，上有唯一的x值和它对应，记为xarccos_y(其中1y1,
2、0x)3已知正切值，求角一般地，如果ytan x(yR)且x，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan xy，记为xarctan_y.思考：符号arcsin a(a1,1)arccos a(a1,1)，arctan a(aR)分别表示什么？提示arcsin a表示在区间上，正弦值为a的角，arccos a表示在区间上余弦值为a的角，arctan a表示在区间内，正切值为a的角1下列说法中错误的是()AarcsinBarcsin 00Carcsin(1)Darcsin 1C根据已知正弦值求角的定义知arcsin(1)，故C项错误2已知是三角形的内角，且sin ，则()A.B.
3、C.或 D.或D因为是三角形的内角，所以(0，)，当sin 时，或，故选D.3已知tan 2x且x0，则x_.或x0，2x0,2tan 2x，2x或2x，x或.已知正弦值求角【例1】已知sin x.(1)当x时，求x的取值集合；(2)当x0,2时，求x的取值集合；(3)当xR时，求x的取值集合思路探究尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解解(1)ysin x在上是增函数，且sin ，x，是所求集合(2)sin x0，x为第一或第二象限的角，且sin sin，在0,2上符合条件的角有x或x，x的取值集合为.(3)当xR时，x的取值集合为 .1给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范
4、围条件的约束作用2对于已知正弦值求角有如下规律：sin xa(|a|1)xx0,2xarcsin a0a11a0x1arcsin ax2arcsin ax1arcsin ax22arcsin a1已知sin ，根据所给范围求角.(1)为锐角；(2)R.解(1)由于sin ，且为锐角，即，所以arcsin .(2)由于sin ，且R，所以符合条件的所有角为12karcsin (kZ)，22karcsin (kZ)，即n(1)narcsin (nZ).已知余弦值求角【例2】已知cos x，(1)当x0，时，求值x；(2)当xR时，求x的取值集合思路探究解答本题可先求出定义arccos a的范围的角
5、x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合解(1)cos x且x0，xarccos.(2)当xR时，先求出x在0,2上的解cos x，故x是第二或第三象限角由(1)知xarccos是第二象限角，又coscos，且2arccos，所以，由余弦函数的周期性知，当xarccos2k或x2arccos2k(kZ)时，cos x，即所求x值的集合是 .cos xa(1a1)，当x0，时，则xarccos a，当xR时，可先求得0，2内的所有解，再利用周期性可求得：x|x2karccos a，kZ.2已知cos x且x0,2)，求x的取值集合解由于余弦函数值是负值且不为1，所以x是第二或第三
6、象限的角，由coscos ，所以在区间0,2)内符合条件的第二象限的角是x.又coscos ，所以在区间0,2)内符合条件的第三象限的角是x.故所求角的集合为.已知正切值求角【例3】已知tan 3.(1)若，求角；(2)若R，求角.思路探究尝试由arctan 的范围及给值求角的步骤求解解(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan 3的角只有一个，即arctan(3)(2)karctan(3)(kZ)1已知角的正切值求角，可先求出内的角，再由ytan x的周期性表示所给范围内的角2tan a，aR的解集为|karctan a，kZ3已知tan x1，写出在区间2，0内满足条件的x.解
7、tan x10，x是第二或第四象限的角由tantan 1可知，所求符合条件的第四象限角为x.又由tantan 1，得所求符合条件的第二象限角为x，在2，0内满足条件的角是与.三角方程的求解探究问题1已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？提示不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个2怎样求解三角方程？提示明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsin a或arccos a或arctan a表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角【例4】若cos xcos，求x的值思路探究
8、先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角解在同一个周期，内，满足cos xcos的角有两个：和.又ycos x的周期为2，所以满足cos xcos的x为2k(kZ)已知三角函数值求角的大致步骤：(1)由三角函数值的符号确定角的象限；(2)求出0，2)上的角；(3)根据终边相同的角写出所有的角.4已知sin x，且x0,2，则x的取值集合为_x0,2，且sin x0，x(0，)，当x时，ysin x递增且sin，x，又sinsin，x也适合题意x的取值集合为.(教师用书独具)1反正弦、反余弦、反正切的记法与取值范围名称反正弦反余弦反正切记法arcsin arccos arctan 取值范围0，2.已知三角函数值求角的步骤一、定象限，二、找锐角，三、写x0,2的角，四给答案3若求得的角是特殊角，最好用弧度表示1已知cos x，x2，则x()A.B.C. D.B因为x(，2)且cos x，x.2函数yarccos(2x3)的定义域是_由题意可得，解得1x，所以函数的定义域为.3等腰三角形的一个底角为，且sin ，用含符号arcsin x的关系式表示顶角_.2arcsin由题意，又sin ，所以，2，2，所以2arcsin.4求值：.解arcsin ，arccos，arctan()，原式1.