1、课时跟踪检测（十） 抛物线的简单几何性质一、题组对点训练对点练一抛物线的方程及其几何性质1设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，) B6，)C(3，) D3，)解析：选D抛物线的焦点到顶点的距离为3，3，即p6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，)对点练二焦点弦问题2过抛物线y24x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条B有两条C有无穷多条D不存在解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|x1x2p527.又直线AB
2、过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min2p4，所以这样的直线有两条故选B.3过抛物线y22px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOAkOB的值为()A4 B4 Cp2 Dp2解析：选BkOAkOB，根据焦点弦的性质x1x2，y1y2p2，故kOAkOB4.4过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，则|AB|_.解析：|AB|x1x2p628.答案：85线段AB是抛物线y2x的一条焦点弦，且|AB|4，则线段AB的中点C到直线x0的距离为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y
3、2)，由于|AB|x1x2p4，x1x24，中点C(x0，y0)到直线x0的距离为x0.答案：对点练三直线与抛物线的位置关系6已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点解析：选C直线ykxkk(x1)，直线过点(1,0)又点(1,0)在抛物线y22px的内部当k0时，直线与抛物线有一个公共点；当k0时，直线与抛物线有两个公共点7设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2C1,1 D4,4解析：选C准线x
4、2，Q(2,0)，设l：yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20.当k0时，即交点为(0,0)，当k0时，0，1k0或00)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，求此抛物线的方程解：过A、B分别作准线的垂线AA、BD，垂足分别为A、D，则|BF|BD|，又2|BF|BC|，在RtBCD中，BCD30.又|AF|3，|AA|3，|AC|6，|FC|3.F到准线距离p|FC|.y23x.二、综合过关训练1设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A. Bp C2p D无法确定解析：选C当AB垂直于对称轴时，|AB
5、|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p.2已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1 Cx2 Dx2解析：选B抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，代入y22px得y22pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y24x，准线方程为x1.3过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则A1FB1等于()A45 B90 C60 D120解
6、析：选B如图，由抛物线定义知|AA1|AF|，|BB1|BF|，所以AA1FAFA1.又AA1FA1FO，所以AFA1A1FO，同理BFB1B1FO.于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1，故A1FB190.4已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A. B. C D解析：选D由得x25x40，x1或x4.不妨设A(4,4)，B (1，2)，则|5，|2，(3,4)(0，2)8.cosAFB.5已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k_.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)
7、，易知x10，x20，y10，y20，由得k2x2(4k28)x4k20，x1x24，|FA|x1x12，|FB|x2x22，且|FA|2|FB|，x12x22.由得x21，B(1,2)，代入yk(x2)，得k.答案：6抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析：抛物线的焦点坐标F，准线方程为y.代入1得|x|.要使ABF为等边三角形，则tan ，解得p236，p6.答案：67已知AOB的一个顶点为抛物线y22x的顶点，点A，B都在抛物线上，且AOB90，证明：直线AB必过一定点证明：设OA所在直线的方程为ykx，则直线OB的方程为
8、yx，由题意知k0.由解得或即点A的坐标为，同样由解得点B的坐标为(2k2，2k)故AB所在直线的方程为y2k(x2k2)，化简并整理，得yx2.不论实数k取任何不等于0的实数，当x2时，恒有y0.故直线过定点P(2,0)8如图，已知两条抛物线E1：y22p1x(p10)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点(1)证明：A1B1A2B2；(2)过原点O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值解：(1)证明：设直线l1
9、，l2的方程分别为yk1x，yk2x(k1，k20)，则由A1，由A2，同理可得B1，B2，所以2p1，2p2，故，所以A1B1A2B2.(2)由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，A1C1A2C2，所以A1B1C1A2B2C2，因此2，又由(1)中的A2B2知，故.9(2019北京高考)已知抛物线C：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解：(1)由抛物线C：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，1)设直线l的方程为ykx1(k0)，由消去y，得x24kx40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24.直线OM的方程为yx.令y1，得点A的横坐标xA.同理得点B的横坐标xB.设点D(0，n)，则，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，得n1或n3.所以以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3)