1、高考资源网（） 您身边的高考专家课时跟踪检测（十七） 空间向量与空间角一、题组对点训练对点练一异面直线所成的角1已知直线l1的一个方向向量为a(1，2,1)，直线l2的一个方向向量为b(2，2,0)，则两直线所成角的余弦值为()A1 B. C. D.解析：选Dcosa，b.2如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选A设CB1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，1(0,2，1)，1(2,2,1)cos1，1.3(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1
2、中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，1)，则(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为.对点练二直线与平面所成的角4若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60 C30 D以上均错解析：选Cl的方向向量与平面的法向量的夹角为12
3、0，它们所在直线的夹角为60，则直线l与平面所成的角为906030.5正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析：选D建系如图，设正方体棱长为1，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，则1(0,0,1)B1D平面ACD1，1(1,1,1)为平面ACD1的法向量设BB1与平面ACD1所成的角为，则sin ，cos .6如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，ACBC，且ACBC.(1)求证：AM平面EBC；(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小解：四边形ACDE是正方形，EAAC，AMEC
4、.平面ACDE平面ABC，EA平面ABC.可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设EAACBC2，则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)M是正方形ACDE的对角线的交点，M(0,1,1)(1)证明：(0,1,1)， (0,2,0)(0,0,2)(0,2，2)，(2,2,0)(0,2,0)(2,0,0)，0，0.AMEC，AMCB.又ECCBC，AM平面EBC.(2)AM平面EBC，为平面EBC的一个法向量(0,1,1)，(2,2,0)，cos，.，60.直线AB与平面EBC所成的角为
5、30.对点练三二面角7如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面AC，若EA1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A120 B45C135 D60解析：选B以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1，0)，(1,0，1)，(1,1，1)设平面BCE的法向量为n(x，y，z)，则有可取n(1,0,1)又平面EAD的法向量为(1,0,0)，所以cosn，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45.8平面的法向量为(1,0，1)，平面的法向量为(0，1，1)，则平面与平面所成二
6、面角的大小为_解析：设u(1,0，1)，v(0，1,1)与所成二面角的大小为.则cos |cos u，v|.或.答案：或9.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为梯形，ABDC，PAD是等边三角形，平面PAD平面ABCD，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M，N分别为AD，PC的中点，求证：MN平面PAB; (2)求二面角APBD的余弦值解：(1)证明：如图，取BC的中点Q，连接MQ，NQ.在PBC中 ，由N为PC的中点，知NQPB，而NQ平面PAB，PB平面PAB，所以NQ平面PAB.在梯形ABCD中，由M为AD的中点，知MQAB，而MQ平面PAB，AB平面PAB，所以MQ平面PAB.
7、又MQ，NQ为平面MNQ内的两条相交直线，所以平面MNQ平面PAB.又MN平面MNQ，所以MN平面PAB.(2)在ABD中，因为AD4，BD8，AB4，所以AD2BD2AB2，故ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，于是建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(4,0,0)，P(2,0,2)，B(0,8,0)，(2，8,2)，(4,8,0)，(0,8,0)设平面PAB的法向量n(x1，y1，z1)，由得令y11，则x12，z1，所以n为平面PAB的一个法向量设平面PBD的法向量m(x2，y2，z2)，由得令x2
8、，则y20，z21，所以m(，0,1)为平面PBD的一个法向量又cos n，m，由题图可知二面角APBD为锐角，所以二面角APBD的余弦值为.二、综合过关训练1在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，可知CB1C160，DC1D145，设B1C11，CC1DD1.C1D1，则有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)(0,1，)，(，0，)cos， .2已知直角ABC中，C90，B30，AB4，D为AB的中点，沿中线将ACD折
9、起使得AB，则二面角ACDB的大小为()A60 B90 C120 D150解析：选C取CD中点E，在平面BCD内过B点作BFCD，交CD延长线于F.据题意知AECD，AEBF，EF2，AB.且，为二面角的平面角，由2()2得1333423cos，cos，.，120.即所求的二面角为120.3.如图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是面A1B1C1D1的中心，则BO到平面ABC1D1所成角的正弦值为_解析：建立坐标系如图，则B(1,1,0)，O，1(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量又，BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为.答案：4(2019浙江高考)如图，已知三棱柱ABCA
10、1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值解：(1)证明：连接A1E.因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC.以E为坐标原点，分别以射线EC，EA1为y轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.不妨设AC4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F，C(0,2,0)因此，(，1,0)由0，得EFBC.(2)设直
11、线EF与平面A1BC所成角为.由(1)可得(，1,0)，(0,2，2)设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)由得取n(1，1)，故sin |cos，n|，所以cos .因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.5.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小解：(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120，所以CBP30.(2)以B为坐标原点
12、，分别以BE，BP，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)，设m(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.由图知二面角EAGC为锐角，故所求二面角EAGC的大小为60.6(2019全国卷)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC
13、60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的二面角B CG A的大小解：(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，所以AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)作EHBC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2，EBC60，可求得BH1，EH.以H为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，(1,0，)，(2，1,0)设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(3,6，)又平面BCGE的法向量可取m(0,1,0)，所以cosn，m.因此二面角BCGA的大小为30.高考资源网版权所有，侵权必究！