1、第7讲 概率及应用1考题展望高考对概率内容的考查，往往以实际情况为背景，新课程高考对涉及有关概率的一些计算要求降低，但在试题中具有一定的灵活性、机动性对概率考查重点为互斥事件和古典概率，往往以统计为载体的解答题的形式出现几何概型是近年来新增加的热点内容之一，有关几何概型的题目难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题，在高考中多以选择题或填空题的形式出现2高考真题考题 1(2015 全国)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.12
2、0【解析】选 C 列举出所有结果，并分析其中的勾股数，根据古典概型求解 从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为 110.故选 C.【命题立意】本题主要考查古典概型考题 2(2015 广东)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品，现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为()A0.4 B0.6 C0.8 D1【解析】选 B 写出基本事件空间，
3、列出满足条件的基本事件，之后用古典概型求概率 记 3 件合格品为 a1，a2，a3，2 件次品为 b1，b2，则任取 2 件构成的基本事件空间为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共 10 个元素 记“恰有 1 件次品”为事件 A，则 A(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共 6 个元素 故其概率为 P(A)6100.6.考题 3(2015 山东)在区间0，2上随机地取一个数x，则事件“1log12(x12)1”
4、发生的概率为()A.34B.23C.13D.14【解析】选 A先利用对数函数的单调性解出不等式，再根据几何概型的概率公式求出概率不等式1log12(x12)1可化为 log122log12(x12)log1212，即12x122，解得0 x32，故由几何概型的概率公式得 P3202034.【命题立意】本题主要考查对数函数性质的应用和几何概型1随机事件的概率(1)概率的几个性质0P(A)1；若事件为必然事件，则 P(A)1；若事件为不可能事件，则 P(A)0.(2)互斥事件的概率加法公式若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)(3)对立事件若事件 A 与事件 B 对立，则 P
5、(AB)1，即 P(A)1P(B)2古典概型(1)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同(2)求古典概型的概率的基本步骤：算出所有基本事件的个数 n;求出事件 A 包含的所有基本事件数 m;代入公式 P(A)mn，求出 P(A).3几何概型(1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.(2)几何概型中，事件 A 的概率计算公式P(A)().A构成事件 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)1互斥事件、对
6、立事件例1为进行某项调查研究，学校决定从全校高一、高二、高三共 60 个班级中随机抽取 3 个班级，那么下列事件中，互斥而不对立的两个事件是()A“至少有一个高一班级”与“都是高一班级”B“至少有一个高二班级”与“没有一个高二班级”C“至少有一个高三班级”与“至多有一个高三班级”D“恰有一个高三班级”与“恰有两个高三班级”【解析】选 D【点评】判断两事件是否互斥或对立，要在充分理解事件自身的含义的基础上，运用研究集合的关系的方法来进行分析2古典概型与几何概型例2(2015 山东)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团 未参加书法社团
7、 参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求A1 被选中且 B1 未被选中的概率【解析】(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人，故至少参加上述一个社团的共有 453015(人)，所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P154513.(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1
8、人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共 15 个 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的 事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共 2 个 因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P 215.3概率与其它知识的综合例3(2015 安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工根据这50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)
9、，其中样本数据分组区间为：40，50)，50，60)，80，90)，90，100(1)求频率分布直方图中 a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；(3)从评分在40，60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人的评分都在40，50)的概率【解析】(1)因为(0.004a0.0180.02220.028)101，所以 a0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.0220.018)100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4.(3)受访职工中评分在50，60)的有：500.006103(
10、人)，记为 A1，A2，A3；受访职工中评分在40，50)的有：500.004102(人)，记为 B1，B2.从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，它们是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2又因为所抽取 2 人的评分都在40，50)的结果有 1 种，即B1，B2，故所求的概率为 110.例4(2015 四川)一辆小客车上有 5 个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客 P1，P2，P3，P4，P5 的座位号分别为 1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车乘客 P1
11、 因身体原因没有坐自己的 1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这 5个座位的剩余空位中任意选择座位(1)若乘客 P1 坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；乘客P1P2P3P4P5 座位号3 2145 32451 (2)若乘客 P1 坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就座，求乘客 P5 坐到 5 号座位的概率【解析】(1)余下两种坐法如下表所示：乘客P1P2P3P4P5 座位号32 4 1 5 32541(
12、2)若乘客 P1 坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为：于是，所有可能的坐法共 8 种 设“乘客 P5 坐到 5 号座位”为事件 A，则事件 A中的基本事件的个数为 4，所以 P(A)4812.故乘客 P5 坐到 5 号座位的概率是12.乘客P1P2P3P4P5 座位号21 3 4 5 23145 23415 23451 23541 24315 24351 25341 1互斥事件、对立事件的概率计算问题的常用方法有直接法与间接法直接法是将所求事件分解成互斥事件的和，再用概率加法公式；间接法是先确定所求事件的对立事件的概率，再用减法公式具体问题中的策略是“正难则
13、反”2解决古典概型问题的关键是求出基本事件的总个数和事件 A 包含的基本事件数用列举法把基本事件一一列举出来，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序，做到不重复、不遗漏3解决几何概型问题的关键是构造出事件对应的几何图形根据具体情况，合理设置变量参数，某区间上的一元实参数问题一般转化为长度型几何概型，二元实参数问题一般转化为面积型几何概型1投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A，“骰子向上的点数是 3”为事件 B，则事件 A、B 中至少有一件发生的概率是()A.512B.12C.712D.34【解析】选 C2已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%.现采用
14、随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1，2，3，4 表示命中，5，6，7，8，9，0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A0.35 B.0.15 C.0.20D.0.25【解析】选 D3已知圆 C：x2y212，直线 l：4x3y25，圆 C上任意一点 A 到直线
15、l 的距离小于 2 的概率为()A.16B.13C.12D.14【解析】选 A4甲、乙两人计划本周星期天下午 1 点至 6 点之间到学校图书馆自习，且甲连续自习 2 小时，乙连续自习 3 小时假设这两人各自随机到达图书馆，则下午 5 点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是()A.19B.16C.13D.12【解析】选 B 据题意，甲、乙应分别在下午 4 点、3 点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为 x，y，则1x41y3，所对应的矩形区域的面积为 6.若下午 5 钟点时甲、乙两人都在自习，则3x42y3，所对应的正方形区域的面积为 1.所以 P16，选 B.5在区间0，1上随机取两
16、个数 x，y，记 p1 为事件“xy12”的概率，p2 为事件“xy12”的概率，则()Ap1p212Bp212p1C.12p2p1Dp112p2【解析】选 D 点(x，y)的活动空间为正方形 OBCA，故本题属于几何概型中的“面积比”型分别画出两事件对应的图形，估算概率 如图，满足条件的 x，y 构成的点(x，y)在正方形OBCA 内，其面积为 1.事件“xy12”对应的图形为阴影ODE，其面积为12121218，故 p11812，事件“xy12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故 p212，则 p112p2，故选 D.6如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B的
17、坐标为(1，0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)x1，x0，12x1，x0的图像上若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12【解析】选 B 先求 C 点的坐标，再求 D 点与 A 点的坐标，进而求得矩形面积与阴影部分图形的面积，代入几何概型概率公式求解 因为 f(x)x1，x0，12x1，x0，B 点坐标为(1，0)，所以 C 点坐标为(1，2)，D 点坐标为(2，2)，A点坐标为(2，0)，故矩形 ABCD 的面积为 236，阴影部分的面积为123132，故 P32614.7袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1只白球，1
18、只红球，2 只黄球从中一次随机摸出 2只球，则这 2 只球颜色不同的概率为_【解析】56 设白球为 A，红球为 B，2 个黄球分别为 C、D.则从中一次随机摸出 2 只球的基本事件有 AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 个，其中为 2 只颜色不同的事件有：AB，AC，AD，BC，BD，5 个，则所求的概率 P56.8在区间0，5上随机地选择一个数 p，则方程x22px3p20 有两个负根的概率为_【解析】23 先根据方程有两个负根求得 p 的取值范围，然后利用几何概型求概率 方程 x22px3p20 有两个负根，4p24（3p2）0，x1x22p0，解得23p1 或p2.故所求概率 P
19、123（52）523.9随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下：日期12345678910 天气晴雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴晴晴 日期1112 13 14 15 16 17 181920 天气阴晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨阴阴 日期2122 23 24 25 26 27 282930 天气晴阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴晴雨(1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率【解析】(1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份任选一天
20、，西安市不下雨的概率为26301315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3 日等)这样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.10(2015 福建)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如下表所示.组号分组频数 14，5)225，6)836，7)747，
21、83(1)现从融合指数在4，5)和7，8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在7，8内的概率；(2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数【解析】解法一：(1)融合指数在7，8内的“省级卫视新闻台”记为 A1，A2，A3；融合指数在4，5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1，B2.从融合指数在4，5)和7，8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共 10 个 其中，至少有 1 家融合指数在7，
22、8内的基本事件是：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，共 9个 所以所求的概率 P 910.(2)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 45 2205.5 8206.5 7207.5 3206.05.解法二：(1)融合指数在7，8内的“省级卫视新闻台”记为 A1，A2，A3；融合指数在4，5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1，B2.从融合指数在4，5)和7，8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有的基本事件是：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共 10个 其中，没有 1 家融合指数在7，8内的基本事件是：B1，B2，共 1 个 所以所求的概率 P1 110 910.(2)同解法一