1、第5讲 解三角形及三角函数模型的应用1考题展望历年来，解三角形部分考查一个小题或一个大题的一小问，分值 5 或 6 分，为中档题或容易题型，重点考查正弦余弦定理，预计以后会继续这种状态三角函数模型的应用部分，从近三年高考来看，尚未出现这方面的考题2高考真题考题 1(2015 重庆)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2，cos C14，3sin A2sin B，则 c_【解析】4 先根据正弦定理得 3a2b，进而结合条件 a2 求出 b的值，然后由余弦定理求出 c 的值 3sin A2sin B，3a2b.又 a2，b3.由余弦定理可知 c2a2b22abcos C，
2、c2223222314 16，c4.【命题立意】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形考题 2(2015 广东)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a2，c2 3，cos A 32 且bc，则 b()A3 B2 2C2 D.3【解析】选 C 利用余弦定理求解 由 a2b2c22bccos A，得 4b2126b，解得 b2 或 4.又 bc，b2.【命题立意】本题主要考查余弦定理的应用考题 3(2015 全国)ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD2DC.(1)求sin Bsin C；(2)若BAC60，求B.【解析】(1)由正弦定理，得 ADsin B
3、BDsinBAD，ADsin CDCsinCAD.因为 AD 平分BAC，BD2DC，所以sin Bsin CDCBD12.(2)因为C180(BACB)，BAC60，所以 sin Csin(BACB)32 cos B12sin B.由(1)知 2sin Bsin C，所以 tan B 33，所以B30.【命题立意】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理以及和角公式的应用考题 4(2015 全国)已知 a，b，c 分别为ABC内角 A，B，C 的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若 ab，求 cos B；(2)设 B90，且 a 2，求ABC 的面积【解析】(1)由题设及正弦定理可
4、得 b22ac.又 ab，可得 b2c，a2c.由余弦定理可得 cos Ba2c2b22ac14.(2)由(1)知 b22ac.因为 B90，由勾股定理得 a2c2b2，故 a2c22ac，进而可得 ca 2.所以ABC 的面积为12 2 21.【命题立意】本题主要考查正弦定理、余弦定理及勾股定理在解三角形中的应用1在ABC 中，ABC，sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，sinAB2cosC2.2正弦定理：asin Absin Bcsin C2R.(2R 为ABC 外接圆的直径)3余弦定理：a2b2c22bccos A，cos Ab2c2a22bc；b2a2c22accos
5、B，cos Ba2c2b22ac；c2a2b22abcos C，cos Ca2b2c22ab.4面积公式：SABC12bcsin A12absin C12acsin B.5在模型 yAsin(x)b 中，最大值最小值2b，最大值最小值2A.1正弦余弦定理的直接应用例1(2015 湖南)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，abtan A.(1)证明：sin Bcos A.(2)若 sin Csin Acos B34，且 B 为钝角，求 A，B，C.【解析】(1)证明：由 abtan A 及正弦定理，得sin Acos Aabsin Asin B，在ABC 中，sin A0，所
6、以 sin Bcos A.(2)因为 sin Csin Acos Bsin180(AB)sin Acos Bsin(AB)sin Acos Bsin Acos BcosAsin Bsin Acos Bcos Asin B，所以 cos Asin B34.由(1)知 sin Bcos A，因此 sin2B34.又 B 为钝角，所以 sin B 32，故 B120.由 cos Asin B 32，知 A30.从而 C180(AB)30.综上所述，A30，B120，C30.例2(2015 山东)ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 cos B 33，sin(AB)69，ac2
7、 3，求 sin A 和 c 的值【解析】在ABC 中，由 cos B 33，得 sin B 63，因为 ABC，所以 sin Csin(AB)69.因为 sin Csin B，所以 CB，可得 C 为锐角，所以 cos C5 39，因此 sin Asin(BC)sin Bcos CcosBsin C 63 5 39 33 69 2 23.由asin Acsin C，可得 acsin Asin C 2 23 c692 3c.又 ac2 3，所以 c1.2正弦定理、余弦定理与面积公式的综合应用例3(2015 天津)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为
8、3 15，bc2，cosA14.(1)求 a 和 sin C 的值；(2)求 cos2A6 的值【解析】(1)在ABC 中，由 cos A14，可得 sin A 154.由 SABC12bcsin A3 15，得 bc24.又由 bc2，解得 b6，c4.由 a2b2c22bccos A，可得 a8.由asin Acsin C，得 sin C 158.(2)cos2A6 cos 2Acos6 sin 2Asin6 32(2cos2A1)122sin Acos A 157 316.3三角函数模型的应用例4某班设计一个凸八边形的班徽(如图)，它的中间是一个正方形，外面是四个腰长为 1，顶角为 2
9、的等腰三角形(1)若 223，求该八边形的面积；(2)写出 的取值范围，当 取何值时，该八边形的面积最大？最大面积为多少？【解析】(1)如图所示，若 223，则等腰EAD 中，AD 3AE 3.SAED12AEEDsin23 34，S正方形ABCDAD2(3)23.S4SAEDS 正方形 33.(2)该几何图形为凸八边形，BADFABEAD，0EAD4，2 2，4 2.过 E 点作 EPAD，垂足为 P.则AEP，AE1，APAEsin sin，AD2sin，S 正方形AD24sin2.SAED12AEEDsin 212sin 2.SS 正方形4SAED4sin22sin 2 2(1cos 2
10、)2sin 2 2 2sin24 22 2.2 2，4 24 Bab.(2)ABC 以及由此得到的一些结论：AB Csin(AB)sin C，cos(AB)cos C；AB22 C2sin AB2cos C2，cosAB2sinC2.3三角函数模型的应用题，实质是要熟练掌握三角函数表达式、三角函数图像、三角函数的列表法之间的对应转换，从一种形式的已知能写出另两种形式，熟练掌握三种形式中的“五点法”，即能发现五个特殊点1在ABC 中，AB 6，A75，B45，则 AC_.【解析】2 由三角形的内角和求得C 的大小，再由正弦定理求解即可 C180754560，由 正 弦 定 理 得 ABsin C
11、 ACsin B，即6sin 60 ACsin 45，解得 AC2.2在ABC 中，内角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，若 3a2b，则2sin2Bsin2Asin2A的值为()A19B.13C1D.72【解析】选 D 由已知2sin2Bsin2Asin2A2b2a2a22ba2172.3ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 表示ABC 的面积，若 acos Bbcos Acsin C，S14b2c2a2，则 B()A30B45C60D90【解析】选 B4如图，已知树顶 A 离地面212 米，树上另一点 B 离地面112 米，某人在离地面32米的 C 处看此树
12、，则当该人移动到离此树_米时看 A，B 的视角最大【解析】65江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船 M、N，两船与炮台底部 O 点在同一水面上，由炮台顶部 A 点测得 M、N 的俯角分别为 45和 60，而且两条船 M、N 与炮台底部O 成 角，且 cos 33，则两条船相距_m.【解析】10 6 如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 30 33 3010 3(m)，由余弦定理得，MN90030023010 3 33 60010 6(m)6在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 tan4 A 2.(1)求sin 2Asin 2Acos2A的值；(2
13、)若 B4，a3，求ABC 的面积【解析】(1)由 tan(4 A)2，得 tan A13，所以sin 2Asin 2Acos2A 2tan A2tan A125.(2)由 tan A13，A(0，)，得 sin A 1010，cos A3 1010.由 a3，B4 及正弦定理asin Absin B，得 b3 5.由 sin Csin(AB)sin(A4)，得 sin C2 55.设ABC 的面积为 S，则 S12absin C9.7在ABC 中，已知 AB2，AC3，A60.(1)求 BC 的长；(2)求 sin 2C 的值【解析】(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A
14、 49223127，所以 BC 7.(2)由正弦定理知，ABsin C BCsin A，所以 sin CABBCsin A2sin 607 217.因为 ABBC，所以 C 为锐角，则 cos C 1sin2C1372 77.因此 sin 2C2sin Ccos C2 217 2 77 4 37.8ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m(a，3b)与 n(cos A，sin B)平行(1)求 A；(2)若 a 7，b2，求ABC 的面积【解析】(1)因为 mn，所以 asin B 3bcos A0，由正弦定理，得 sin Asin B 3sin Bcos A0，又 s
15、in B0，从而 tan A 3.由于 0A，所以 A3.(2)解法一：由余弦定理，得 a2b2c22bccos A，而 a 7，b2，A3，得 74c22c，即c22c30.因为 c0，所以 c3.故ABC 的面积为12bcsin A3 32.解法二：由正弦定理，得7sin 32sin B，从而 sin B 217.又由 ab，知 AB，所以 cos B2 77.故 sin Csin(AB)sinB3 sin Bcos3 cos Bsin3 3 2114.所以ABC 的面积为12absin C3 32.9已知 A，B，C 为ABC 的内角，tan A，tan B 是关于 x 的方程 x2 3
16、pxp10(pR)的两个实根(1)求 C 的大小；(2)若 AB3，AC 6，求 p 的值【解析】(1)由已知，方程 x2 3pxp10 的判别式(3p)24(p1)3p24p40，所以 p2 或 p23.由韦达定理，有 tan Atan B 3p，tan Atan B1p，于是 1tan Atan B1(1p)p0，从而 tan(AB)tan Atan B1tan Atan B 3pp 3.所以 tan Ctan(AB)3，所以 C60.(2)由正弦定理，得 sin BACsin CAB 6sin 603 22，解得 B45或 B135(舍去)于是 A180BC75.则 tan A tan 75 tan(45 30 )tan 45tan 301tan 45tan 301 331 332 3.所以 p 13(tan Atan B)13(2 31)1 3.
