1、2015-2016学年四川省达州市高级中学高一（下）3月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1下列等式正确的是（）A =+B =C=D +=2cos24cos36sin24sin36的值等于（）ABCDcos123若四边形ABCD满足： =且|=|，则四边形ABCD的形状是（）A等腰梯形B矩形C正方形D菱形4在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线， =（2，4），=（1，3），则等于（）A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4）5已知sin=，且为第一象限角，则cos（+）=（）ABCD6设=（1，2），=（3，4），=（3，2），则（2+）=（）A3B3C
2、0D117已知向量，若，则实数m的值为（）A3B3C2D28若tan=2，则sincos的值为（）ABCD9已知tan（+）=3，tan（）=5，则tan（2）的值为（）ABCD10已知与为相互垂直的单位向量， =2， =+，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A（）B（，）C（，2）（2，）D（2，）（，+）11函数y=2cos2（），x0，2的递减区间为（）A0，B，C，D，12已知O为ABC所在平面内一点，且满足，则O点的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知A（1，1），B（1，2），则=14已知|=，|=2，且与
3、的夹角为30，则|+|=15若sin2cos=0，则tan=16若cos（+）=，cos（）=，则tantan=三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，共70分）17如图，ABCD是一个梯形，ABCD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=， =，试用、分别表示、18已知为第二象限角，且sin=，求（1）sin2；（2）19平面内给定三个向量，（1）求满足的实数m，n；（2）若，求实数k20求证： =21已知函数f（x）=sin（x）2cos2x+1（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调区间和最大值22如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q
4、分别为边AB、DA上的点，当APQ的周长为2时，求PCQ的大小2015-2016学年四川省达州市高级中学高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1下列等式正确的是（）A =+B =C=D +=【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据平面向量的线性运算法则，对选项中的命题进行分析、判断即可【解答】解：因为=，故A、B选项错误；又=+=2，故C错误；由+=，命题D正确故选：D2cos24cos36sin24sin36的值等于（）ABCDcos12【考点】两角和与差的正弦函数【分析】直接运用两角和与差的余弦函数求得答案【解答】解：cos2
5、4cos36sin24sin36=cos（24+36）=cos60=，故选A3若四边形ABCD满足： =且|=|，则四边形ABCD的形状是（）A等腰梯形B矩形C正方形D菱形【考点】相等向量与相反向量【分析】由=，利用向量相等的意义可得：四边形ABCD是平行四边形又|=|，即可得出【解答】解：由=，可得四边形ABCD是平行四边形又|=|，则四边形ABCD是菱形故选：D4在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线， =（2，4），=（1，3），则等于（）A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4）【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用平行四边形对边平行相等，结合向量的运算法则，求解即可【解答】解
6、：，=（3，5）故选：C5已知sin=，且为第一象限角，则cos（+）=（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数【分析】运用同角的平方关系，求得cos，再由两角和的余弦公式，即可得到所求值【解答】解：sin=，且为第一象限角，cos=，cos（+）=coscossinsin=，故选：B6设=（1，2），=（3，4），=（3，2），则（2+）=（）A3B3C0D11【考点】平面向量的坐标运算【分析】容易求出向量的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可求出的值【解答】解：；故选：A7已知向量，若，则实数m的值为（）A3B3C2D2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】根据，则x1y2x2y
7、1=0，建立等式关系，解之即可求出所求【解答】解：x1y2x2y1=0即1（1m）（2）（1+m）=0解得m=3故选B8若tan=2，则sincos的值为（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由同角三角函数的商数关系，结合tan=2得sin=2cos，再由平方关系算出cos2=，从而得到sincos=2cos2=【解答】解：tan=2，=2，得sin=2cos又sin2+cos2=14cos2+cos2=1，得cos2=因此，sincos=2cos2=故选：A9已知tan（+）=3，tan（）=5，则tan（2）的值为（）ABCD【考点】两角和与差的正切函数【分析】由关系式2=
8、（+）+（）及两角和的正切公式代入已知即可求值【解答】解：tan（+）=3，tan（）=5，tan（2）=tan（+）+（）= = =，故选：A10已知与为相互垂直的单位向量， =2， =+，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A（）B（，）C（，2）（2，）D（2，）（，+）【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得， =0，再根据0且与不共线，求得实数的取值范围【解答】解：知与为相互垂直的单位向量， =2， =+，且与的夹角为锐角，=0，=（2）（+）=+（2）2=120，且与不共线，即，即2综上可得，实数的取值范围为：且2，故选：C11函数y=2cos2（），x0，2的递减区间为
9、（）A0，B，C，D，【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的图象【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性求得该函数的递减区间【解答】解：函数y=2cos2（）=cos（x）+1=sinx+1，根据正弦函数的减区间可得该函数的递减区间为2k+，2k+（kZ）和x0，2得到函数y=2cos2（），x0，2的递减区间为：，故选：D12已知O为ABC所在平面内一点，且满足，则O点的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【考点】轨迹方程【分析】把用表示，代入已知向量等式整理得答案【解答】解：，、，由，得=，即，则OCAB，OABC，OBACO是ABC的垂心故选
10、：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知A（1，1），B（1，2），则=（0，3）【考点】平面向量的坐标运算【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可【解答】解：A（1，1），B（1，2），则=（0，3）故答案为：（0，3）14已知|=，|=2，且与的夹角为30，则|+|=【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得=3，再根据|+|=，计算求得结果【解答】解：由题意知|=，|=2，且与的夹角为30，=2cos30=3，则|+|=，故答案为：15若sin2cos=0，则tan=【考点】二倍角的正切【分析】求出半角的正切函数值，利用二倍角的正切函数化简求解即可【解答】解：si
11、n2cos=0，则tan=2tan=故答案为：16若cos（+）=，cos（）=，则tantan=【考点】两角和与差的余弦函数；弦切互化【分析】先由两角和与差的公式展开，得到，的正余弦的方程组，两者联立解出两角正弦的积与两角余弦的积，再由商数关系求出两角正切的乘积【解答】解：由已知，coscos=，sinsin=故应填三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，共70分）17如图，ABCD是一个梯形，ABCD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=， =，试用、分别表示、【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据梯形ABCD的下底等于上底的2倍，得=由向量的
12、加法法则，得化简得=+，同理结合M、N分别是DC、AB的中点算出=【解答】解：ABCD，且AB=2CD=因此， =+=+M、N分别是DC、AB的中点，=+=18已知为第二象限角，且sin=，求（1）sin2；（2）【考点】三角函数的化简求值【分析】（1）由同角的平方关系计算可得余弦值，再由二倍角的正弦公式，即可得到所求值；（2）运用两角差的正弦公式和二倍角的余弦公式，计算化简即可得到所求值【解答】解：（1）为第二象限角，且sin=，则cos=，即有sin2=2sincos=2（）=；（2）=19平面内给定三个向量，（1）求满足的实数m，n；（2）若，求实数k【考点】向量的线性运算性质及几何意义
13、；平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】（1）由题意和向量的坐标运算求出m+n的坐标，再由向量相等的条件列出方程组，求出m和n的值；（2）由题意和向量的坐标运算求出+k和2的坐标，再由向量共线的条件列出方程求出k的值【解答】解：（1）向量，m+n=m（1，2）+n（4，1）=（m+4n，2m+n），=m+n，（3，2）=（m+4n，2m+n），即，解得m=，n=，（2）由题意得， +k=（3，2）+k（4，1）=（3+4k，2+k），2=2（1，2）（3，2）=（5，2），（+k）（2），2（3+4k）+5（2+k）=0，解得k=20求证： =【考点】三角函数恒等式的证明【分析】利用“切化弦”
14、的思想，把左边化成等于右边即可【解答】证明：由=左边=右边得证21已知函数f（x）=sin（x）2cos2x+1（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调区间和最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）首先通过三角恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，利用正弦函数的周期公式可求最小正周期（2）利用正弦函数的值域可求函数最大值，令：+2kx+2k（kZ），即可解得函数的递增区间，令+2kx+2k（kZ），即可解得函数的递减区间【解答】解：（1）f（x）=sin（x）2cos2x+1=sin（x）coscos（x）sincosx=sinxcosx=sin（x
15、），最小正周期为：T=8（2）f（x）=sin（x），函数的最大值为：，令：+2kx+2k（kZ），解得：8kx8k+（kZ）函数的递增区间为：x8k，8k+（kZ）令： +2kx+2k（kZ），解得：8k+x8k+（kZ）函数的递减区间为：x8k+，8k+（kZ）22如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、DA上的点，当APQ的周长为2时，求PCQ的大小【考点】两角和与差的正切函数【分析】设AQ=x，AP=y，利用直角三角形中的边角关系求得tanDCQ=1x，tanBCP=1y，再两角和的正切公式求得tan（DCQ+BCP）=1，可得DCQ+BCP=45，从而求得PCQ=45【解答】解：设AQ=x，AP=y，则DQ=1x，PB=1y，（0x1，0y1），则tanDCQ=1x，tanBCP=1y，tan（DCQ+BCP）= 在RtAPQ中，PQ2=AQ2+AP2=x2+y2，又PQ=2（x+y），（2xy）2=x2+y2，即 xy=2（x+y）2 把代入可得tan（DCQ+BCP）=1，DCQ+BCP=45，PCQ=452016年11月27日
