1、考点 1 圆锥曲线的定义及标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2ab0)，由已知可得抛物线的焦点为(1,0)，所以 c1，又离心率 eca12，解得a2，b2a2c23，所以椭圆方程为x24y231，故选 A.技法领悟 求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法(2)待定系数法 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为 y22ax 或x22ay(a0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时 a 不具有 p 的几何意义 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x2my2n1(m0，n0)双曲线方程可设为x2
2、my2n1(mn0)这样可以避免讨论和烦琐的计算 对于x2a2y2b21 和x2a2y2b21 来说，抓住 a、b、c 间的关系是关键1已知椭圆中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A.x28y261 B.x216y261C.x28y241 D.x216y241解析：设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由点(2，3)在椭圆上得 4a2 3b21.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即 2a22c，ca12.又 c2a2b2，联立得 a28
3、，b26.即椭圆方程为x28y261.答案：A2如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2 3x解析：如图，分别过点 A，B 作AA1l 于点 A1，BB1l 于点 B1.由抛物线的定义知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60.连接 A1F，则AA1F 为等边三角形，过 F 作FF1AA1 于点 F1，则点 F1 为 AA1 的中点，设 l 交 x 轴于点 K，则|KF|A1F1
4、|12|AA1|12|AF|，即 p32，故选 C.答案：C考点 2 圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中，a，b，c 之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为 eca1ba2；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为 eca1ba2.2双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系例 2(1)(2017全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为()A.63 B.33C.23D.13(2)(2017山东卷)在平面直角
5、坐标系 xOy 中，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x22py(p0)交于 A，B 两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_Ay 22 x【解析】(1)由题意知以 A1A2 为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a.又直线 bxay2ab0 与圆相切，圆心到直线的距离 d2aba2b2a，解得 a 3b，ba 13，eca a2b2a1ba2 1132 63.故选 A.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由 x2a2y2b21，x22py，得 a2y22pb2ya2b20，y1y22pb2a2.又|AF|BF|4|OF|，y1p2y
6、2p24p2，即 y1y2p，2pb2a2 p，即b2a212，ba 22，双曲线的渐近线方程为 y 22 x.技法领悟(1)求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a，c 代换，求ca的值(2)焦点三角形的作用借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题3(2017武汉市武昌区调研)双曲线 C：y2a2x2b21(a0，b0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为 3，则 C 的实轴长等于_解析：因为 eca54，所以 c54a，设双曲线的一条渐近线方
7、程为 yabx，即 axby0，焦点为(0，c)，所以bca2b2b3，所以 a c2b22516a29，所以 a216，即 a4，故 2a8.答案：84抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，其准线与双曲线x23y231相交于 A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则 p_.解析：在等边三角形 ABF 中，AB 边上的高为 p，AB2 33 p，所以 B 33 p，p2.又因为点 B 在双曲线上，故p233 p243 1，解得 p6.答案：6考点 3 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y的
8、方程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数例 3(2017全国卷)设 A，B 为曲线 C：yx24上两点，A 与 B的横坐标之和为 4.(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程【解析】(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，y1x214，y2x224，x1x24，于是直线 AB 的斜率 ky1y2x1x2x1x241.(2)由 yx24，得 yx2.设 M(x3，y3)
9、，由题设知x321，解得 x32，于是 M(2,1)设直线 AB 的方程为 yxm，故线段 AB 的中点为 N(2,2m)，|MN|m1|.将 yxm 代入 yx24得 x24x4m0.当 16(m1)0，即 m1 时，x1,222 m1.从而|AB|2|x1x2|4 2m1.由题设知|AB|2|MN|，即 4 2m12(m1)，解得 m7.所以直线 AB 的方程为 yx7.技法领悟解决直线与圆锥曲线位置关系问题，主要有方程组法，和“点差法”对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交5(201
10、7广东省综合测试)设 A，B 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线 y 33 x2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D，使OM ON tOD，求 t 的值及点 D 的坐标解析：(1)由题意知 a2 3，又一条渐近线为 ybax，即 bxay0.由焦点到渐近线的距离为 3，得|bc|b2a2 3.又c2a2b2，b23，双曲线的方程为x212y231.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则 x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程 y 33 x2 代入双曲线方程x212y231 得 x216 3x840，则 x1x216 3，y1y2 33(x1x2)412.x0y04 33，x2012y2031.解得x04 3，y03.t4，点 D 的坐标为(4 3，3)
