1、理科数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合A,再求交集.【详解】由题意知，所以，故选:D.【点睛】本题考查求分式不等式和集合求交集，属于基础题.2. 瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：（i为虚数单位），根据此公式可知，若，则的一个可能值为（ ）A. 0B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件由可得，即且，可得答案.【详解】根据条件由则，所以且所以故选:C.【点睛】本题考查复数的相等，考查新定义，属于基础题.3.
2、 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由两角差的余弦函数，可得，故选4. 已知双曲线的方程为，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的方程求得右焦点的坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意知，双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即，所以点到渐近线的距离，故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5. 我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，
3、其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁? （ ）A. 38B. 35C. 32D. 29【答案】B【解析】【分析】由题意，将九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄为首项，公差为的等差数列，根据等差数列的求和公式列出方程，即可求出结果.【详解】由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄为首项，公差为的等差数列，所以，解得，故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，考查等差数列前项和公式的基本量运算，属于基础题型.6. 为了更好地配合我市“文明城市
4、”的创建工作，我校开展了”文明行为进班级”的评比活动，现对甲.乙两个年级进行评比，从甲.乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图所示的茎叶图，通过基叶图比较甲、乙两个年级成绩的平均数及方差大小（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】由茎叶图中数据可分别计算求得平均数，根据数据分散程度可确定方差大小.【详解】，；由茎叶图可知，甲年级的成绩集中在多分，即集中在平均分附近，而乙年级的成绩比较分散，所以.故选：.【点睛】本题考查根据茎叶图比较平均数和方差的大小关系问题；比较方差大小的关键是明确数据越集中，则方差越小，属于基础题.7.
5、 若是以O为圆心，半径为1圆的直径，C为圆外一点，且.则（ ）A. 3B. C. 0D. 不确定，随着直径的变化而变化【答案】A【解析】【分析】将通过向量加法的三角形法则用表示出来即可.【详解】如图，故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，关键是将用知道模的向量来表示，是基础题.8. 已知圆M的方程为，过点的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为，弦长最长的弦为，则四边形的面积为（ ）A. 30B. 40C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】由题可知点在圆内，则最短的弦是以为中点的弦，过最长的弦为直径，求出后即可求出四边形面积.【详解】圆M的标准方程为，即圆是以为圆心，5为半
6、径的圆，且由，即点在圆内，则最短的弦是以为中点的弦，所以，所以，过最长的弦为直径，所以，且，故而.故选：B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题.9. 正四面体的俯视图为边长为1的正方形，则正四面体的外接球的表面积为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，该正四面体可以看成边长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体，则正四面体的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，从而可求出球的半径，得出球的表面积.【详解】如图，该正四面体可以看成棱长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体，所以正四面体的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，所以外接球的半径为
7、，则该外接球的表面积为，故选：C.【点睛】本题主要考查求几何体外接球的表面积，属于常考题型.10. 已知，下列结论中错误的是（ ）A. 即是奇函数也是周期函数B. 的最大值为C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点中心对称【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义及判定，可判定A是正确的；根据函数的对称性，可判定C、D是正确的；由，令，利用求导方法求函数的最值，即可判定B选项错误.【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，又由，所以是奇函数；且，所以又是周期函数，所以A是正确的；由，即，所以关于直线对称，所以C是正确的；由，所以关于点对称，所以D是正确的；由，令，令，的单调递减区间是
8、，的单调递增区间是，的极大值为，所以的最大值为，即函数的最大值为，故B选项错误.故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的函数的基本性质的判定及应用，其中解答中熟记函数的周期性、对称性，以及三角函数的基本关系式和应用导数求最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.11. 已知抛物线C：，为的焦点，过焦点且倾斜角为的直线与交于、两点，则下面陈述不正确的为（ ）A. B. C. D. 记原点为，则【答案】D【解析】【分析】设，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，代入选项中进行整理可知正确；，知错误.【详解】设直线，由得：，故正确；当时，当时，经检验亦成立，故正确；，故正确；当时，,当时，经检验亦成立
9、，故错误.故选：.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线焦半径公式的应用、抛物线中三角形面积问题的求解等知识；本题中的各个选项属于抛物线问题中与过焦点的直线有关的常用结论，熟记结论可减少计算证明时间.12. 下列四个命题：，其中真命题为（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和性质比较即可，构造函数，求导根据函数的单调性可判断的正误.【详解】由，故正确；由，考察函数，所以当时，即函数在上单调递增，所以，故错误；令，所以，所以，即，故正确；由，所以，由，所以，即，故错误，故选：B.【点睛】本题考查对数的运算和对数的性质的应用，考查分析推理能
10、力和计算能力，属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若x，y满足约束条件，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】先由约束条件，画出可行域，根据表示平面区域内的点与坐标原点的连线斜率，结合图形，即可得出结果.【详解】画出约束条件所表示的平面区域如下，由表示平面区域中的点与原点的连线斜率，由图像可得，的斜率即为的最大值，由，解得则的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查求分式型目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.14. 二项式展开式的二项式系数之和为64，则二项式展开式中的常数项为_【答案】【解析】【分析】根据二项式系数之和，求出，由二项展
11、开式的通项公式写出展开式的通项，进而可求出结果.【详解】由展开式的二项式系数之和为，可得，解得，则二项式为，其展开式的第项为，令，则故展开式中的常数项为.故答案为：.【点睛】本题主要考查求二项展开式中的常数项，考查由二项式系数之和求参数，属于常考题型.15. 边长为1的正方体，点P为面对角线上一点，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】将对角面与平面放到同一个平面，化曲为直，连接，取的中点I，在利用勾股定理即得【详解】如图甲，将等边沿向后旋转到与面共面，得到等边，则的最小值即为图乙中线段的长，取的中点I，由题意知：等边的边长为，四边形是以，的矩形，所以.【点睛】本题考查空间距离的最小问题，考查
12、转化思想，计算能力，空间想象能力，属于基础题16. 中，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据数量积的概念代入可得，由余弦定理和基本不等式结合可得的最小值，由三角恒等式即可得结果.【详解】由题意知，同理，故由已知，即，由，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量数量积的概念、余弦定理的应用、基本不等式的应用以及三角函数的以值求值，属于中档题.三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调查问卷，并从我校随机选择了55名男生，45
13、名女生进行问卷调查.问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占：女生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占.根据调查结果制作了如下列联表.更擅长理科其他合计男生女生合计附：，其中.P（）0.0500.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828（1）请将的列联表补充完整，并判断能否有的把握认为文理科偏向与性别有关；（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，若所选的2人中更擅长理科的人数为X，求随机变量X的分布
14、列及期望.【答案】（1）表格见解析，有的把握；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）由题意列出的列联表，计算出，结合临界值得出结论；（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科，所以X的可能取值为0，1，2，利用古典概型概率公式计算，并列出分布列求出期望【详解】（1）补充的列联表如下：更擅长理科其他合计男生223355女生93645合计3169100所以，所以有的把握认为文理科偏向与性别有关.（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科，所以X的可能取值为0，1，2，故，所以X的分布列为X012P所以.【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查离散
15、型分布列和期望的应用，考查古典概型，属于中档题18. 如图，在等腰梯形中，将沿着翻折，使得点D到点P，且.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过证明和可证平面，即可得证；（2）取的中点E，连接，以，为x，y，z轴的空间直角坐标系，利用向量法即可求出.【详解】（1）证明：由等腰梯形，则，又，所以，又，则，所以，又，所以平面，所以平面平面.（2）如图，取的中点E，连接，则为菱形，且，则，记垂足为O，由（1）知，平面平面，又，所以平面，同理，平面，所以，两两垂直，如图，建立分别以，为x，y，z轴的空间直角坐标系，则，所以，所以，设平
16、面的法向量为，所以即，令，得所以平面的一个法向量为；设平面的法向量为，所以即令，得所以平面的一个法向量为；令二面角为，由题意知为钝角，所以，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查向量法求二面角，属于中档题.19. 设数列满足，当.（1）计算，猜想的通项公式，并加以证明.（2）求证：.【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用递推关系可直接计算出，根据前几项的规律可猜想出通项公式，并用数学归纳法证明；（2）根据，再利用裂项相消求和即可证明.【详解】（1）解：由，所以，.猜想：，证明：当时，由，故成立；假设（）时成立，即，所以，即当时成立，综上所述
17、，.（2）证明：由（1）知，所以 ，证毕.点睛】本题考查数学归纳法求通项公式，考查裂项相消法求和，属于中档题.20. 已知点，点P满足：直线的斜率为，直线的斜率为，且（1）求点的轨迹C的方程；（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，问在x轴上是否存在点Q，使得为定值?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在.【解析】【分析】（1）由点，运用直线的斜率公式，结合，化简可得轨迹C的方程；（2）假设在x轴上存在点，使得为定值，当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，令，表示出，代入韦达定理计算可得定值，并检验斜率不存在时也成立【详解】（1）由题意知：，
18、由，即，整理得点的轨迹C的方程为：.（2）假设在x轴上存在点，使得为定值.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立方程消去y得，令，则，由，所以，将看成常数，要使得上式为定值，需满足，即，此时；当直线l的斜率不存在时，可得，所以，综上所述，存在，使得为定值.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题的应用，考查数量积的坐标表示，属于中档题21. 已知，（1）若，求的最大值；（2）若恒成立，求b的取值范围【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】（1）先求导并根据其正负判断函数单调性，求其最值即可；（2）先化简原不等式即，再对求导研究其单调性，得到最值即得结果.【详解】解：（1）由题
19、意知，所以，易见在上递增，且，所以，当，即在上单调递减，当，即在上单调递增，故，所以的最小值为0；（2）原不等式等价于，即，在上恒成立等价于，在上恒成立.令，所以，令，则为上的增函数，又当，所以在存在唯一的零点，即，由，又有函数在上单调递增，上式即所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了利用导数解决恒成立问题，属于难题.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）.（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C有不同的两个交点分别为A，
20、B，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由，可得曲线C直角坐标方程；消去参数t可得直线l的直角坐标方程；（2）写出过点的直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，利用韦达定理结合，的几何意义可求得答案【详解】（1）由，所以曲线C的直角坐标方程为，由（t为参数），消去t得直线l的直角坐标方程为.（2）由题意知，过点的直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程得，又，所以方程有两个不同的解，又，所以，有，的几何意义可知，.【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题23. 已知函数.（1）求函数的最小值M；（2）若，且，证明：.【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由绝对值三角不等式，即可求解的最小值.（2）由（1）知，得出，化简，再结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由绝对值三角不等式，可得，当且仅当时，两个不等式同时取等号，所以的最小值.（2）由（1）知，则，所以，当且仅当，不等式取等号，所以.【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，以及不等式的证明，其中解答中熟记绝对值的三角不等式，以及合理应用基本不等式是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.
