1、近三年来，本专题考查的题型、分值与难度相对稳定，直接考查三角函数与平面向量的题有“一大二小”，分值 22 分左右；与其他知识点交汇考查的约两小题，约 10 分左右每年三角函数都有一道解答题，主要考查三角函数图像与性质、解三角形、简单的三角恒等变换，分值 12 分，难度不大，考题排序靠前小题主要考查三角公式、图像与性质、平面向量或解三角形平面向量的考查比较广泛，主要有向量的线性运算、基本定理、坐标运算、平行与垂直、数量积的两种形式、向量沟通代数与几何的联系工具等第3讲 三角变换及三角函数的图像与性质1考题展望纵观全国各地“三角变换与三角函数图像与性质”的综合大题，主要有三种形式：(1)已知三角函
2、数图像，求解析式，再求其性质，形如 2015 年湖北卷第18 题(2)已知三角函数表达式，要通过恒等变形化简成 f(x)Asin(x)，再求其性质，如周期性，单调性等，如 2015 年重庆卷第 18 题(3)已知部分三角式的值，求相关的三角式的值，考查三角恒等变形，如2015 年广东卷第 16 题三角变换及三角函数的图像与性质还会有一小题，考查范围较宽，但难度不大2高考真题考题 1(2015 天津)已知函数 f(x)sin xcos x(0)，xR.若函数 f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图像关于直线 x 对称，则 的值为_【解析】2 先化简三角函数关系式，再结合三角函数的图
3、像和性质求解 f(x)sin xcos x 2sinx4，因为 f(x)在区间(，)内单调递增，且函数图像关于直线 x 对称，所以 f()必为一个周期上的最大值，所以有 4 2k2，kZ，所以 24 2k，kZ.又()22，即 22，所以 24，所以 2.【命题立意】本题主要考查辅助角公式及三角函数的图像和性质考题 2(2015 全国)函数 f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为()A.k 14，k 34，kZB.2k 14，2k 34，kZC.k14，k34，kZD.2k14，2k34，kZ【解析】选 D 由已知图像可求得 与 的值，然后利用余弦函数的单调区间求
4、解 由图像知周期 T25414 2，2 2，.由142，得 4，f(x)cosx4.由 2kx4 2k，得 2k14x2k34，kZ，f(x)的单调递减区间为2k14，2k34，kZ.故选 D.考题 3(2015 安徽)已知函数 f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，2 上的最大值和最小值【解析】(1)因为 f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2x 2sin2x4 1，所以函数 f(x)的最小正周期为 T22.(2)由(1)的计算结果知，f(x)2sin2x4 1.当 x0，2
5、 时，2x4 4，54，由正弦函数 ysin x 在4，54上的图像知，当 2x4 2，即 x8 时，f(x)取得最大值 21；当 2x4 54，即 x2 时，f(x)取得最小值 0.综上，f(x)在0，2 上的最大值为 21，最小值为 0.【命题立意】本题主要考查三角恒等变换、周期公式、三角函数的图像与性质考题 4(2015 福建)已知函数 f(x)10 3sin x2cos x210cos2x2.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)将函数 f(x)的图像向右平移6 个单位长度，再向下平移 a(a0)个单位长度后得到函数 g(x)的图像，且函数 g(x)的最大值为2.求函数 g(x)的
6、解析式；证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g(x0)0.【解析】(1)因为 f(x)10 3sin x2cos x210cos2x2 5 3sin x5cos x5 10sin(x6)5，所以函数 f(x)的最小正周期 T2.(2)将 f(x)的图像向右平移6 个单位长度后得到y10sin x5 的图像，再向下平移 a(a0)个单位长度后得到 g(x)10sin x5a 的图像 又已知函数 g(x)的最大值为 2，所以 105a2，解得 a13.所以 g(x)10sin x8.要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g(x0)0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x
7、0，使得 10sin x080，即 sin x045.由45 32 知，存在 003，使得 sin 045.由正弦函数的性质可知，当 x(0，0)时，均有 sin x45.因为 ysin x 的周期为 2，所以当 x(2k0，2k0)(kZ)时，均有 sin x45.因为对任意的整数 k，(2k0)(2k0)203 1，所以对任意的正整数 k，都存在正整数 xk(2k0，2k0)，使得 sin xk45.即存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g(x0)0.【命题立意】本题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1，11，1R周期性T
8、2T2T奇偶性奇函数偶函数奇函数Zk,2kxR,xx且对称性对称中心(k，0)对称轴xk 2(kZ)对称中心(k 2，0)对称轴xk(kZ)对称中心(k，0)(kZ)单调性递增区间2k 2，2k 2 递减区间2k 2，2k 32(kZ)递增区间2k ，2k 递减区间2k，2k (kZ)在每一个区间k 2，k 2(kZ)内都是增函数注意：(1)三角函数的图像包括：ysin x，ycos x，ytan x 的图像；“五点法”画出 yAsin(x)的简图；利用平移和伸缩变换得到 yAsin(x)的图像(2)三角函数的性质包括：奇偶性和对称性，单调性，周期性，最值注意三角不等式与单调性的联系(3)对三
9、角函数性质的考查总是与三角变换相结合一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为“三个一(一个角、一种三角函数、一次方)”形式的三角函数(即 yAsin(x)等)的形式，再利用图像法或整体代换法转化为对基本三角函数性质的研究2基本公式(1)两角和差公式sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan()tan tan 1tan tan .(2)二倍角公式sin 2 2sin cos ；cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2；tan 2 2tan 1tan2.3构造辅助角(1)辅助角公式asin bcos a2b2 s
10、in()其中tan ba.(2)常见的构造辅助角sin cos 2sin4；sin 3cos 2sin3；3sin cos 2sin6.4常用公式变形(1)降幂、升角公式sin cos 12sin 2；cos2 1cos 22；sin2 1cos 22.(2)配方公式(升幂、降角公式)1sin sin2 cos22；1cos 2cos22；1cos 2sin22.(3)tan tan tan()(1tan tan )5角的灵活拼拆2()，()，xx4 4 等1三角变形例1(2015 重庆)若 tan 13，tan()12，则tan ()A.17B.16C.57D.56【解析】选 A 将所求角用
11、已知角表示为()，运用两角差的正切公式求解 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 12131121317.例2(2015 广东)已知 tan 2.(1)求 tan4 的值；(2)求sin 2sin2 sin cos cos 2 1的值【解析】(1)tan4 tan tan 41tan tan 4 211213.(2)sin 2sin2sin cos cos 21 2sin cos sin2sin cos 2cos2 2tan tan2tan 2 224221.例3(2015 四川)已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2 的值是_【解析】1 先求出 tan，
12、再将所求式子化为含有 tan 的形式后代入求解 由 sin 2cos 0，得 tan 2.所以2sincoscos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan21 4141 1.2三角函数的图像与性质例4(2015 湖北)某同学用“五点法”画函数 f(x)Asin(x)0，|0)或向右(0)，将 yAsin(x)的图像上的所有点的横坐标变为原来的1(纵坐标不变)要明确上面两步的先后顺序函数 yAsin(x)图像向左平移 h(h0)个单位所对应的函数为 yAsin(xh)，不是 yAsin(xh)2三角函数性质中最小正周期、最值、奇偶性、对称性、单调区间是高考命题的一个热点注意
13、：(1)函数 yAsin(x)，yAcos(x)，最小正周期 T2|；函数 yAtan(x)，最小正周期 T|；特别地，y|sin x|，y|cos x|，最小正周期 T，但 y|tan x|，最小正周期 T.(2)函数 yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，其基本思想是换元法，把 x 看作一个整体，解不等式，比如：由 2k 2 x2k 2(kZ)解出 x 的范围，所得区间即为增区间若函数 yAsin(x)中 A0，0，在函数 y2sin x 与 y2cos x 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 3，则 _【解析】2 联立方程组y2sin x，y2cos x，设出距离最短的
14、两个交点，利用两点间距离公式求解 由y2sin x，y2cos x得 sin xcos x，tan x1，xk4(kZ)0，xk 4(kZ)设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取 x1 4，x254，则|x2x1|54 4.又 结 合图形 知|y2 y1|2 22 2 222 2，且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为 2 3，(x2x1)2(y2y1)2(2 3)2，2(2 2)212，2.4要得到函数 ysin(4x3)的图像，只需将函数ysin 4x 的图像()A向左平移12个单位B向右平移12个单位C向左平移3 个单位D向右平移3 个单位【解析】选 B 根
15、据三角函数图像的变换关系求解 由ysin4x3 sin 4x12 得，只需将ysin 4x的图像向右平移12个单位即可，故选 B.5若 sin 513，且 为第四象限角，则 tan 的值等于()A.125B125C.512D 512【解析】选 D 根据同角三角函数的关系式或三角函数的定义求解 解法一：因为为第四象限的角，故 cos 1sin21（513）21213，所以 tan sin cos 5131213 512.解法二：因为 是第四象限角，且 sin 513，所以可在 的终边上取一点 P(12，5)，则 tan yx 512.故选 D.6已知函数 ycos x 与函数 ysin(2x)(
16、0)，它们的图像有个横坐标为3 的交点，则 的值是_【解析】6 由 cos3 sin23 即 sin23 12 23 2k6 或232k56(kZ)又 0.6.7如图，某港口一天 6 时到18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6 x k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_【解析】8 分析三角函数图像，根据最小值求 k，再求最大值 根据图像得函数的最小值为 2，有3k2，k5，最大值为 3k8.8已知 cos6 sin 45 3，则 sin76的值是_【解析】45 cos6 sin 45 3，32 cos 32sin 45 3.312cos 32 sin 45 3.3si
17、n6 45 3.sin6 45.sin76 sin6 sin6 ，sin76 45.9已知函数 f(x)sin x2 3sin2x2.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，23上的最小值【解析】(1)因为 f(x)sin x 3cos x 3 2sinx3 3，所以 f(x)的最小正周期为 2.(2)因为 0 x23，所以3 x3.当 x3，即 x23 时，f(x)取得最小值 所以 f(x)在区间0，23上的最小值为 f23 3.10已知函数 f(x)12sin 2x 3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数 f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图像当x2，时，求 g(x)的值域【解析】(1)f(x)12sin 2x 3cos2x 12sin 2x 32(1cos 2x)12sin 2x 32 cos 2x 32 sin2x3 32，因此 f(x)的最小正周期为，最小值为2 32.(2)由条件可知 g(x)sinx3 32.当 x2，时，有 x3 6，23，从而 ysinx3 的值域为12，1，那么 ysinx3 32 的值域为1 32，2 32.故g(x)在 区 间2，上 的 值 域 是1 32，2 32.