1、专题五 解析几何第3讲 圆锥曲线的综合问题一、选择题1(2015湖南卷)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：由双曲线的渐近线过点(3，4)知， .又b2c2a2， ，即e21， e2， e.答案：D2(2016衡水模拟)已知椭圆1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为()A3 B4 C5 D15解析：在椭圆中，由a5，b4，得c3，故焦点为(3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(3，0)由椭圆的定义得|PB|PC|10，|PA|PB|10|PA|PC|，|PA|PC|AC|5，当点P，A，C三
2、点共线时，|PA|PB|取得最大值15.答案：D3抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线方程为()Ay26x By28xCy216x Dy2x解析：依题意，设M(x，y)，|OF|，|MF|2p，即x2p，解得x，yp，又MFO的面积为4，p4，解得p4，抛物线方程为y28x.答案：B4(2016湖南师大附中月考)设双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0，若x01，则双曲线C的离心率e的取值范围是()A. B(，)C(1，) D.解析：双曲线C：1的一条渐近线为yx，联立消去y，
3、得x2x.由x01，知1，b2a2.e22，因此1e0，解得k，即k的取值范围为.答案：D6在直线y2上任取一点Q，过Q作抛物线x24y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为()(导学号 53130137)A(0，1) B(0，2)C(2，0) D(1，0)解析：设Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为yx2，则yx，则在点A处的切线方程为yy1x1(xx1)，化简得yx1xy1，.同理，在点B处的切线方程为yx2xy2，又点Q(t，2)的坐标适合这两个方程，代入得2x1ty1，2x2ty2，这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程2xty，即
4、直线AB的方程为y2tx，因此直线AB恒过点(0，2)答案：B二、填空题7已知直线l过椭圆8x29y272的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，则弦|MN|的长为_解析：由得11x218x90.由根与系数的关系，得xMxN，xMxN.由弦长公式|MN|xMxN| .答案：8(2016山东卷)已知双曲线E：1(a0，b0)矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_解析：由已知得|AB|CD|，|BC|AD|F1F2|2c.2|AB|3|BC|，6c，2b23ac.，则2(e21)3e.又e1，解得e2.答案：29(2016安徽
5、安庆二模)已知抛物线C：x28y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则的最小值为_解析：如图，|2|21.由抛物线的定义知：|d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，|min2，的最小值为3.答案：3三、解答题10(2016珠海调研)如图，椭圆E：1(ab0)，经过点A(0，1)，且离心率为.(导学号 53130138)(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值(1)解：由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a，椭圆的方程为y21.(2)
6、证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2.从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.因此，直线AP与AQ的斜率之和为定值2.11(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点(导学号 53130139)(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解：(1)由题设可得M(2，a
7、)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，点P(0，a)符合题意12(2016佛山质检)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为. (导学号 53130140)(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由条件可得a2，c，b1，故椭圆C的方程x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2.设OAB的面积为S，由x1x20.yt在t3，)上单调递增，t，0，S.
