1、3.3一元二次不等式及其解法学 习 目 标核 心 素 养1.掌握一元二次不等式的解法(重点)2能根据三个“二次”之间的关系解决简单问题(难点)1.通过一元二次不等式解法的学习，体现了学生逻辑推理的素养2借助三个“二次”之间关系的研究，提升学生的直观想象的素养.1一元二次不等式的概念一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)(3)ax2bxc0(a0)(4)ax2bxc0(a0)3一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称
2、为这个一元二次不等式的解集4三个“二次”之间的关系设f(x)ax2bxc(a0)，方程ax2bxc0的判别式b24ac判别式000解不等式f(x)0或f(x)0的步骤求方程f(x)0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1x2没有实数解画函数yf(x)的示意图得等的集不式解集f(x)0x|xx1或xx2Rf(x)0x|x1xx25一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2bxc0(a0)恒成立.ax2bxc0(a0)恒成立.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：kf(x)恒成立kf(x)max；kf(x)恒成立kf(x)min.1函数y
3、的定义域是()Ax|x3Bx|4x0B0Cx10D20的解集为x|xR且x1；0的解集为x|xR且x0；20的解集为R.3设集合Mx|x2x0，Nx|x24，则M与N的关系为_MN因为Mx|x2x0x|0x1，Nx|x24x|2x2，所以MN.4二次函数yax2bxc(xR)的部分对应值如下表：x32101234y60466406则不等式ax2bxc0的解集是_x|x2或x3可根据图表求得两个零点为x12，x23，结合二次函数的图象(图略)求解解不含参数的一元二次不等式(组)【例1】解下列不等式：(1)2x25x30；(4)求函数y的定义域思路探究利用一元二次不等式的解法求解解(1)法一：49
4、0，方程2x25x30的两根分别为x13，x2，作出函数y2x25x3的图象，如图所示由图可得原不等式的解集为.法二：原不等式可化为(2x1)(x3)0，解方程3x26x20，得x1，x2.作出函数y3x26x2的图象，如图所示，由图可得原不等式的解集为. (3)法一：0，方程4x24x10有两个相等的实根，即x1x2.作出函数y4x24x1的图象，如图所示由图可得原不等式的解集为.法二：原不等式可化为(2x1)20，所以原不等式的解集为.(4)由题意得即故函数y的定义域为(，1)(1，3)2，)1利用相应一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集的情况可以归纳如下：一元二次不等式，a为正值来定
5、形；对应方程根求好，心中想想抛物线；大于异根两边倒，小于异根夹中间；大于等根根去掉，小于等根空集成；大于无根取全体，小于无根不可能；不等式若带等号，想想图象便知晓！2解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正(2)判别式对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式(3)求实根求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根(4)画草图根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图(5)写解集根据图象写出不等式的解集1解下列不等式：(1)2x2x60；(2)x23x50；(3)(5x)(x1)0.解(1)方程2x2x
6、60的判别式(1)24260，函数y2x2x6的图象开口向上，与x轴无交点原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x26x100，624040，原不等式的解集为.(3)原不等式可化为(x5)(x1)0，原不等式的解集为x|1x5解含参数的一元二次不等式【例2】解关于x的不等式x2ax2a20(aR)思路探究解原不等式转化为(x2a)(xa)0时，x1x2，不等式的解集为x|ax2a；(2)当a0时，原不等式化为x20，无解；(3)当a0时，x1x2，不等式的解集为x|2ax0时，x|ax2a；a0时，x；a0时，x|2axa1含参数的不等式的解题步骤(1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应
7、方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)2解含参数的一元二次不等式(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0与等于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论2解关于x的不等式：ax222xax(a0)解原不等式移项得ax2(a2)x20，化简为(x1)(ax2)0.a0，(x1)0.当2a0时，x1；当a2时，x1；当a2时，1x.综上所述，当2a0时，解集为；当a2时，解集为x|x1；当a2时，解集为.不
8、等式恒成立问题【例3】设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解(1)若m0，显然10恒成立；若m0，则4m0.m的取值范围为(4,0(2)法一：要使f(x)m5恒成立，就要使m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，g(x)maxg(3)7m6.7m60，解得m.0m.当m0时，60恒成立当m0时，g(x)在1,3上是减函数g(x)maxg(1)m60，解得m6，m0.综上所述，m的取值范围为.法二：f(x)m5恒成立，即m(x2x1)60，又m(x2x1)60，m.函数y在1,3上的最小值为
9、，只需m即可m的取值范围为.1解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法af(x)恒成立af(x)max(f(x)存在最大值)；af(x)恒成立af(x)min(f(x)存在最小值)2对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方3已知函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)a恒成立
10、，即x2ax3a0恒成立，必须且只需a24(3a)0，即a24a120，6a2.a的取值范围为6,2(2)f(x)x2ax323.当4时，f(x)minf(2)2a7，由2a7a，得a，故无解当22，即4a4时，f(x)minf3，由3a，得6a2.故4a2.当2，即a4时，f(x)minf(2)2a7，由2a7a，得a7，故7a0、y0时自变量x组成的集合，亦即二次函数yx22x3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合x|x3；同理，满足y0时x的取值集合为x|1x0(a0)或ax2bxc0)是函数yax2bxc(a0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y0时，函数yax2bxc
11、(a0)就转化为方程，当y0或y0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示方程x22x30的解集为1,3不等式x22x30的解集为x|x3，观察发现不等式x22x30解集的端点值恰好是方程x22x30的根这说明：一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|x1xx2(x1x2)，则即不等式的解集的端点值是相应方程的根【例4】若不等式ax2bxc0的解集是，求不等式cx2bxa0的解集为x|1x2，则不等式2x2bxa0的解集为()ABCx|2x1Dx|x1B法一：由题设条件知1,2是方程ax2bx20的两实根由一元二次方程根与系数的关系
12、，知解得则2x2x10的解集是.法二：由题设条件知1,2是方程ax2bx20的两实根分别把x1,2代入方程ax2bx20中，得解得则2x2x10(a0)或ax2bxc0)；()求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc图象的简图；()由图象得出不等式的解集代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当m0，则可得xn或xm；若(xm)(xn)0，则可得mx0，a0)，一根(0)，无根(x2，x1x2，x1x2.3有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参量的
13、不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参量的不等式求解1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)mx25x0，则一元二次不等式ax210无解()(3)x1是一元二次不等式x22x10的解()(4)x20为一元二次不等式()解析(1).当m0时，是一元一次不等式；当m0时，它是一元二次不等式(2).因为a0，所以不等式ax210恒成立，即原不等式的解集为R.(3).因为x1能使不等式x22x10成立故该说法正确(4).因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有，故该说法错误答案(1)(2)(3)(4)2不等式6x2x20的解集为()ABCDA因为6x2x20(2x1)(3x2)0，所以原不等式的解集为.3若不等式ax2bx20的解集为x|1x6；(2)4x24x10；(3)x27x6.解(1)由x25x6，得x25x60.x25x60的两根是x1或6.原不等式的解集为x|x6(2)4x24x10，即(2x1)20，方程(2x1)20的根为x，4x24x10的解集为.(3)由x27x6，得x27x60，而x27x60的两个根是x1或6.不等式x27x60的解集为x|1x6
