1、2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（湖南卷）数学（理科）考生注意事项：1 答题前，务必在试题卷答题卡规定填写自己的姓名座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位2 答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3 答第卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷
2、草稿纸上答题无效4 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交参考公式：椎体体积，其中为椎体的底面积，为椎体的高若（x，y），（x，y），（x，y）为样本点，为回归直线，则 ，说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算第卷 一选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1若，则（ ）A B C D2若集合，则（ ）A B C D3已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：）（ ） 正视图 侧视图 俯视图A B C D4对于每一个实数是和这两个函数中的较小者，则的最大值是（
3、）A1 B2C0 D25抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积是（ ）A BC D 6已知抛物线，直线为曲线的两切线，切点为令甲：若在上，乙：；则甲是乙（ ）条件A充要 B充分不必要 C必要不充分 D既不充分也不必要7，则实数等于（ ）AB C D8为考察喜欢黑色的人是否易患抑郁症，对91名大学生进行调查，得到如下22列联表：患抑郁症未患抑郁症合计喜欢黑色153247不喜欢黑色143044合计296291由，得附表：0050001000013841663510828则（ ）认为喜欢黑色与患抑郁症有关系A有99%把握 B有95%把握 C有90%把握D不能 第卷 二填空题：（本大题共8
4、小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上）一选做题（请考生在第91011三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9已知曲线的极坐标方程为：，其中为正数，以极点为坐标原点，极轴为正半轴，建立平面直角坐标系，在此坐标系下，曲线的方程为（为参数）若曲线与曲线相切，则 10则的最小值为 11如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则 二必做题（1216题）12已知数列的前项和为，现从前项：，中抽出一项（不是，也不是），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是第 项13已知中，点的坐标依次是边上的高为，则的坐标是： 14如果执行右面的程序框图，那么输出的 15
5、甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 ，其中 ，若 ，就称甲乙“心有灵犀” 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 16在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第项：由此得相加，得类比上述方法，请你计算“”，其结果为 三解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17（本题满分12分）设向量，函数（1）求函数的最大值与单调递增区间；（2）求使不等式成立的的取值集合18（本题满分12分）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：版
6、本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510（1）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；（2）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望19（本题满分12分）如图，已知斜三棱柱的侧面底面，=，又，=（1）求侧棱与底面所成的角的大小；（2）求侧面与底面所成二面角的大小；（3）求点到侧面的距离20（本题满分13分）2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定的翻
7、腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误（1）求这个抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误?请通过计算说明理由；21（本题满分13分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为为上任一点，是圆的一条直径，若与平行且在轴上的截距为的直线恰好与圆相切（1）已知椭圆的离心率；（2）若的最大值为49，求椭圆的方程22（本题满分13分）已知函数的定义域为，值域为，并且在，上为减函数（
8、1）求的取值范围；（2）求证：；（3）若函数，的最大值为，求证： 2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（湖南卷）数学（理科） 一选择题1-5CCBAD 6-8ABD二填空题（一）选做题9 10 11（二）必做题128 13（-1，2） 142550 15 16三解答题17（1）当时，取得最大值由，得（2）由，得由，得，则，即使不等式成立的的取值集合为18（1）从50名教师随机选出2名的方法数为， 选出2人使用版本相同的方法数为，故2人使用版本相同的概率为 （2）的所有可能取值为0，1，2， 的分布列为012P19（1）侧面底面ABC， 在平面ABC上的射影是AC与底面ABC所成的
9、角为， =45（2）作AC于O，则平面ABC，再作OEAB于E，连结，则，所以就是侧面与底面ABC所成二面角的平面角在Rt中， 60（3）设点C到侧面的距离为x，（*）， 又，又由（*）式，得20（1）由题设可设抛物线方程为，且，即且，得且，所以解析式为：（2）当运动员在空中距池边的水平距离为米时，即时， 所以此时运动员距水面距离为，故此次跳水会出现失误21（1）由题意可知直线l的方程为，因为直线与圆相切，所以，即从而 （2）设圆的圆心记为，则（0），又=当k当但故舍去综上所述，椭圆的方程为 22（1）按题意，得即 又关于x的方程在（2，+）内有二不等实根x=关于x的二次方程在（2，+）内有二异根故（2）令，则（3），当（，4）时，；当（4，）是又在，上连接，在，4上递增，在4，上递减故，09a0若M1，则，矛盾故0M1