1、2020-2021学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.1双曲线1的渐近线方程为（）Axy0Bxy0Cx2y0D2xy02已知抛物线方程为x22y，则其准线方程为（）Ay1Bx1CD3复数（）AiBiCiDi4抛物线y24x上一点P（x0，y0）到焦点F的距离为6，则x0（）A3B4C5D65曲线f（x）xlnx+2x在点（1，f（1）处的切线方程为（）Ay2xBy2x+1Cy3x1Dy4x26函数f（x）x的递增区间为（）AB（0，1）CD（1，+）7函数f（x）（x21）e|x|+1的图象大致为（）ABCD8若函数f（x）x3+ax
2、2+ax1有两个极值点，则a的取值范围是（）A（，0）（3，+）B（0，3）C（3，+）D（，0）9曲线C的参数方程为（t为参数），则C的普通方程为（）Ax2+1Bx2+1Cx2+Dx2+10已知F1、F2为双曲线E：的左，右焦点，点M在E的右支上，F1MF2为等腰三角形，且MF2F1120，则E的离心率为（）A+1B1CD11抛物线E：y24x的焦点为F，E的准线l与x轴交于点A，M为E上的动点则的最小值为（）A1BCD12函数f（x）1x（x0），g（x）若f（x1）g（x2），则x2x1的最小值为（）A1BCe1De二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13若x函数f（x）s
3、inxax的一个极值点，则a 14抛物线C：y22px（p0）焦点为F，若曲线y与抛物线C相交于点P，且PFx轴，则p 15古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作圆锥曲线论中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），且两个圆锥的底面半径均为2，母线长均为4，记过两圆锥轴的平面ABCD为平面（平面与两个圆锥面的交线为AC，BD）用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线E的一部分，且E的两条渐近线分别平行于AC，BD，则E的离心率为 16若关于x的不等式lnxax+1恒成立，则a的最小值是 三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明
4、、证明过程或演算步骤。17在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，求|AB|18解答下列两个小题：（1）双曲线E：离心率为，且点在双曲线E上，求E的方程；（2）双曲线C实轴长为2，且双曲线C与椭圆1的焦点相同，求双曲线C的标准方程19某公司为改进生产方式，提升产品品质，现随机抽取了100名顾客体验产品，顾客体验结束后对产品体验效果进行评分（满分100分），记体验评分低于85分为“一般”，不低于85分为“良好”（1）将下面22的列联表补充
5、完整；通过计算判断，有没有90%的把握认为顾客体验评分为“良好”与性别有关？一般良好合计男20女2060合计（2）根据（1）中列联表的数据，在评分为“良好”的顾客中按照性别用分层抽样的方法抽取了6个顾客若从这6个顾客中随机选择2个赠送其产品的“体验月卡”，求所抽取的2个顾客中恰好有1个男顾客的概率附表及公式：P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635其中K2，na+b+c+d20已知函数f（x）ax+2a，其中a0（1）当a1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数yf（x）只有1个零点，求a的取值范围21抛物线E：y22px
6、（p0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线l与抛物线E的第一象限交于点A，且AOF（O为坐标原点）的面积为1（1）求E的方程；（2）设C，D为抛物线E上异于点A的两个动点，且直线AC，AD的斜率互为相反数，求证：直线CD的斜率为定值，并求出该定值22已知函数f（x）exalnx（1）ae时，求f（x）的极值；（2）若f（x）alna，求a的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1双曲线1的渐近线方程为（）Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0解：双曲线1的a2，b，则渐近线方程为yx，即xy0，故选：B2已知抛物线
7、方程为x22y，则其准线方程为（）Ay1Bx1CD解：抛物线x22y的准线方程为：y，故选：D3复数（）AiBiCiDi解：故选：D4抛物线y24x上一点P（x0，y0）到焦点F的距离为6，则x0（）A3B4C5D6解：因为抛物线y24x上一点P（x0，y0）到焦点F的距离为6，由抛物线的定义可知，x0+16，则x05故选：C5曲线f（x）xlnx+2x在点（1，f（1）处的切线方程为（）Ay2xBy2x+1Cy3x1Dy4x2解：由f（x）xlnx+2x，得f（x）lnx+3，f（1）ln1+33，又f（1）2，曲线f（x）xlnx+2x在点（1，f（1）处的切线方程为y23（x1），即y3
8、x1故选：C6函数f（x）x的递增区间为（）AB（0，1）CD（1，+）解：f（x）x的定义域为0，+），f（x）1，令f（x）0，可得0x，所以函数f（x）x的递增区间为（0，）故选：A7函数f（x）（x21）e|x|+1的图象大致为（）ABCD解：f（x）（x）21e|x|+1（x21）e|x|+1f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，当x0时，f（x）（x21）ex+1，函数的导数f（x）2xex+（x21）exex（x2+2x1），当x0时，由f（x）0得x2+2x10，即x1+或x1，此时x1+，由f（x）0得x2+2x10，即0x1+，此时为减函数，即当x0时
9、只有一个极小值点，排除B，故选：D8若函数f（x）x3+ax2+ax1有两个极值点，则a的取值范围是（）A（，0）（3，+）B（0，3）C（3，+）D（，0）解：f（x）3x2+2ax+a，因为函数f（x）x3+ax2+ax1有两个极值点，所以f（x）0，有两个不等实数根，所以（2a）243a4a212a0，得a0或a3，故选：A9曲线C的参数方程为（t为参数），则C的普通方程为（）Ax2+1Bx2+1Cx2+Dx2+解：由（t为参数），得，两式平方作和，可得，x1故C的普通方程为（x1）故选：D10已知F1、F2为双曲线E：的左，右焦点，点M在E的右支上，F1MF2为等腰三角形，且MF2F1
10、120，则E的离心率为（）A+1B1CD解：因为F1MF2为等腰三角形，且MF2F1120，所以MF1F230，所以|MF2|F1F2|2c，过点F2作F2HMF1，垂足为H，所以|MF1|2|HF1|2|F1F2|cos3022c2c，由双曲线的定义可得|MF1|MF2|2a，所以2c2c2a，所以e，故选：D11抛物线E：y24x的焦点为F，E的准线l与x轴交于点A，M为E上的动点则的最小值为（）A1BCD解：由题意可得焦点F（a，0），准线xa，过点M作MH准线，所以cosAMH，因为HMAF，所以cosAMHcosMAF（MAF（0，），求cosMAF的最小值等价于求MAF的最大值，设
11、M（x，y），tanMAF1，所以tanMAF（0，1，所以MAF（0，当MAF时，cosMAF最小值为，所以最小值为故选：C12函数f（x）1x（x0），g（x）若f（x1）g（x2），则x2x1的最小值为（）A1BCe1De解：因为f（x1）g（x2），所以1x1+x223x2+1，所以x1+x223x2，所以x2x1x2+x223x2+x222x2，令h（x）+x22x，x0，所以x2x1的最小值为h（x）的最小值，h（x）+2x2（x1）（+2），所以当x1时，h（x）0，h（x）单调递增，当0x1时，h（x）0，h（x）单调递减，所以h（x）minh（1）+12e1，所以x2x1的最
12、小值为e1，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13若x函数f（x）sinxax的一个极值点，则a解：f（x）cosxa，由题意可得f（）cosa0，解得a故答案为：14抛物线C：y22px（p0）焦点为F，若曲线y与抛物线C相交于点P，且PFx轴，则p2解：由抛物线的方程可得其焦点坐标为，则点P的横坐标为，利用点P在抛物线上可得：，利用点P在曲线 上可得：，从而有：，p2（p2舍去）故答案为：215古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作圆锥曲线论中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），且两个圆锥的底面半径均为2，母线长均
13、为4，记过两圆锥轴的平面ABCD为平面（平面与两个圆锥面的交线为AC，BD）用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线E的一部分，且E的两条渐近线分别平行于AC，BD，则E的离心率为 解：两个圆锥的底面半径为r2，母线长均为l4，可得圆锥的高为h2，所以四边形ABCD为矩形，对角线AC，DB长为8，所以直线AC，BD的夹角为60，由双曲线的两条渐近线yx分别平行与AC，BD，所以，所以e，故答案为：16若关于x的不等式lnxax+1恒成立，则a的最小值是解：法一：由于x0，则原不等式可化为，设，则，当x（0，e2）时，f（x）0，f（x）递增；x（e2，+），f（x）0，f（x）
14、递减，可得f（x）在xe2处取得极大值，且为最大值所以，则a的最小值为法二：直线yax+1过定点（0，1），由题，当直线yax+1与曲线ylnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，设切点（x0，lnx0），切线斜率为，则切线方程为，过点（0，1），则，解得，切线斜率为，所以a的最小值为故答案为：三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，求|AB|解：（1）由4cos，得
15、24cos，将xcos，ysin代入，得到曲线C的直角坐标方程为x2+y24x0；（2）将直线l的参数方程代入x2+y24x0，得，即，设A，B两点对应参数分别为t1，t2，则，t1t23，所以18解答下列两个小题：（1）双曲线E：离心率为，且点在双曲线E上，求E的方程；（2）双曲线C实轴长为2，且双曲线C与椭圆1的焦点相同，求双曲线C的标准方程解：（1）由，得，即，又，即ab，双曲线E的方程即为，将点坐标代入得，解得a22所以，双曲线E的方程为（2）椭圆的焦点为（2，0），设双曲线C的方程为，所以2a2，且a2+b24，所以，双曲线C的方程为19某公司为改进生产方式，提升产品品质，现随机抽取
16、了100名顾客体验产品，顾客体验结束后对产品体验效果进行评分（满分100分），记体验评分低于85分为“一般”，不低于85分为“良好”（1）将下面22的列联表补充完整；通过计算判断，有没有90%的把握认为顾客体验评分为“良好”与性别有关？一般良好合计男20女2060合计（2）根据（1）中列联表的数据，在评分为“良好”的顾客中按照性别用分层抽样的方法抽取了6个顾客若从这6个顾客中随机选择2个赠送其产品的“体验月卡”，求所抽取的2个顾客中恰好有1个男顾客的概率附表及公式：P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635其中K2，na+b
17、+c+d解：（1）列联表为：一般良好合计男生202040女生204060合计4060100所以，故有90%的把握认为顾客体验评分为“良好”与性别有关（2）由条件知，6个顾客中有2个男生，记为A，B；4个女生，记为a，b，c，d；则从这6个顾客中随机选择2个，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种可能，其中恰好有1个男顾客的基本事件为Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，共8种可能，所以所抽取的2个顾客中恰好有1个男顾客的概率为20已知函数f（x）ax+2a，其中a0（1）当a1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数yf（x
18、）只有1个零点，求a的取值范围解：（1）当a1时，f（x）x+2，f（x）x21，令f（x）0，可得x1或x1，令f（x）0，可得1x1，所以f（x）在（，1），（1，+）上单调递增，在（1，1）上单调递减（2）f（x）x2a，令f（x）0，可得x或x，令f（x）0，可得x，所以f（x）在（，），（，+）上单调递增，在（，）上单调递减，所以f（x）在x处取得极大值为f（）2a（+1）0，在x处取得极小值为f（）2a（1），因为函数yf（x）只有1个零点，所以f（）2a（1）0，解得a9，故a的取值范围是（9，+）21抛物线E：y22px（p0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线l与抛物线E的
19、第一象限交于点A，且AOF（O为坐标原点）的面积为1（1）求E的方程；（2）设C，D为抛物线E上异于点A的两个动点，且直线AC，AD的斜率互为相反数，求证：直线CD的斜率为定值，并求出该定值【解答】（1）解：由题意可知，直线l：，则，所以AOF的面积，解得p2，所以E的方程为y24x；（2）证明：由题意可知，A（1，2），因为直线CD斜率存在，则设直线CD的斜率为k，由题意可知k0，设直线CD方程为ykx+b，与抛物线方程联立可得k2x2+（2bk4）x+b20，则，则，因为直线AC，AD的斜率互为相反数，所以，则2kxCxD+（b2k）（xC+xD）2（b2）0，联立，得k2+（b1）k+b
20、20，所以k1或k2b，若k2b，则CD的方程为ykx+2kk（x1）+2，恒过点A（1，2），不合题意；所以k1，故直线CD的斜率为定值122已知函数f（x）exalnx（1）ae时，求f（x）的极值；（2）若f（x）alna，求a的取值范围解：（1）ae时，f（x）exelnx，x0，则，可知f（x）为（0，+）的增函数，且f（1）0，当0x1，f（x）0，f（x）单调递减，当x1，f（x）0，f（x）单调递增，所以x1时，f（x）取得极小值f（1）e，无极大值（2）由题知x0，a0，可知f（x）在区间（0，+）上单调递增，且当x0时，f（x）0，当x+时，f（x）0，所以，存在x0（0，+），使得f（x0）0，即，当x（0，x0）时，f（x）0，f（x）在（0，x0）上单调递减，当x（x0，+）时，f（x）0，f（x）在（x0，+）上单调递增，所以，即，由，得，即lnalnx0+x0，所以，即，由于为（0，+）的单调递增函数，且u（1）0，则有0x01，因为v（x）xex为（0，1上的增函数，则当x（0，1时，v（x）（0，e，故a的取值范围为（0，e