1、专题二 命题及其关系、充分条件 和必要条件 考点 考纲内容 高考示例 考查频度 考情分析 3.命题及其关系 1.理解命题的概念.2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2017 课标,理 3 5 年 1 考 1.高频考向:命题真假的判断.2.低频考向:充要条件的判断.3.特别关注:利用命题的真假、充分条件、必要条件等求参数的取值范围.4.充分条件和必要条件 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.5 年 0 考 考点3 考点4 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 1 则1=1+i=-i2+2R,考点3 考点4 试做真题 高手必备 萃取高招
2、 对点精练 2.(2014陕西,理8)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,假,真B.假,假,真 C.真,真,假D.假,假,假【答案】B 易知原命题为真命题,所以逆否命题也为真,设z1=3+4i,z2=4+3i,则有|z1|=|z2|,但是z1与z2不是共轭复数,所以逆命题为假,同时否命题也为假.考点3 考点4 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 3.(2013 天津,理 4)已知下列三个命题:若一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18;若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
3、直线 x+y+1=0 与圆 x2+y2=12相切,其中真命题的序号是()A.B.C.D.【答案】C 设球半径为 R,缩小后半径为 r,则 r=12R,而 V=43R3,V=43r3=43 12 3=18 43R3,所以该球体积缩小到原来的18,故为真命题;两组数据的平均数相等,它们的方差可能不相等,故为假命题;圆 x2+y2=12的圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d=1 2=22,因为该距离等于圆的半径,所以直线与圆相切,故为真命题.故选 C.考点3 考点4 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 4.(2017北京,理13)能够说明“设a,b,c是任意实数,若abc,则a+bc”是假命题
4、的一组整数a,b,c的值依次为 .【答案】-1,-2,-3(答案不唯一)【解析】答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,则abc,而a+b=-3=c,能够说明“设a,b,c是任意实数,若abc,则a+bc”是假命题.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4 1.四种命题 命 题 表述形式 原命题 若 p,则 q 逆命题 若 q,则 p 否命题 若p,则q 逆否命题 若q,则p 2.命题的否定与否命题的区别 若p表示命题,则“非p”叫做命题的否定.若原命题是“若p,则q”,则否命题是“若 p,则q”,而命题的否定是“若p,则q”,即只否定结论.试做真题 高手必备 萃取高招 对
5、点精练 考点3 考点4 3.四种命题间的关系 4.四种命题间的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同.(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题,它们的真假性没有关系.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4 典例导引1以下四个命题中,真命题的个数是()“若a+b2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题;存在正实数a,b,使得lg(a+b)=lg a+lg b;“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”;在ABC中,“AB”是“sin Asin B”的充分不必要条件;命题“若=,则cos=cos”的逆否命题为真命题.A.0B.1C.2D.3 试做真题 高手
6、必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4【解析】原命题的逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b2,而a=2,b=-2满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故是假命题;根据对数的运算性质,知当a=b=2时,lg(a+b)=lg a+lg b,故是真命题;“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”,是真命题;根据题意,结合边角的转换以及正弦定理,可知ABab(a,b分别为角A,B所对的边)2Rsin A2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)sin Asin B,故可知“AB”是“sin Asin B”的充要条件,故是假命题;因为命题“若=,则cos=cos”
7、为真命题,所以其逆否命题亦为真命题.【答案】D 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4 高招1判断命题真假的方法方法 解 读 典例指引 直接法 联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.对于含有逻辑联结词的命题的真假判断应利用真值表 典例导引1 间接法 利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.否定式语句表达的命题可转化为肯定式语句表达的等价命题判定 典例导引1 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4 1.(2017广西南宁一模)下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=4,则x=2”的否命题为“若x2=4,则x2”B.命题“xR,x2+2x-10”
8、C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D.若“pq”为真命题,则p,q至少有一个为真命题【答案】D 一个命题的否命题是对命题的条件和结论同时否定,对于A,只否定结论,未否定条件,故A错;对于B,命题“xR,x2+2x-11,x2-10”的否定是“x1,x2-10”B.“x=2”是“x2-x-2=0”的充分不必要条件 C.若“pq”为假命题,则p,q均为假命题 D.命题“若ab=0,则a=0或b=0”的否命题为“若ab0,则a0,且b0”【答案】C A中,由特称命题的否定为全称命题知A正确;B中,由x2-x-2=0,解得x=2或x=-1,所以“x=2”是“x2-x-2
9、=0”的充分不必要条件,故B正确;C中,若“pq”为假命题,则p,q中可能一真一假,也可能p,q均为假命题,故C错误;D中,由否命题的概念知,D正确,故选C.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4 考点4充分条件和必要条件 1.(2017北京,理6)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A m,n为非零向量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos 180=-|m|n|0.反过来,若mn0,则两向量的夹角为(90,180,并不一定
10、反向,即不一定存在负数,使得m=n,所以是充分而不必要条件.故选A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4 2.(2017 天津,理 4)设 R,则“-12 12”是“sin 12”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 当-12 12时,06,0sin 12.“-12 12”是“sin 12”的充分条件.当=-6时,sin=-12 12,但不满足-12 12.“-12 12”不是“sin 12”的必要条件.“-12 12”是“sin 2”是“x2+2x-80”成立的()A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D
11、.既不充分也不必要条件 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4【解析】(1)由S6=3S2,得a1(1+q+q2+q3+q4+q5)=3a1(1+q),即q5+q4+q3+q2-2-2q=0,(q+1)2(q-1)(q2+2)=0,解得q=1,所以“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件,故选C.(2)因为p:x+y-2,q:x,y不都是-1,所以 p:x+y=-2,q:x=-1,且 y=-1.因为 q p,但 pq,所以 q 是 p 的充分不必要条件,即 p 是 q 的充分不必要条件.故选A.(3)记集合A=x|x2,由x2+2x-80,得x2,记集合B=x|x2.因为AB
12、,所以“x2”是“x2+2x-80”成立的充分不必要条件.故选B.【答案】(1)C(2)A(3)B 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4 高招2灵活应用三法(定义法、等价法、集合法)判断充要条件方法 解 读 适合题型 典例指引 定义法 直接判断“若 p,则 q”,“若 q,则 p”的真假 定义法是判断充要条件最根本、最适用的方法 典例导引2(1)等价法 条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假 适用于直接正面判断不易的情况 典例导引2(2)集合法 若 AB,则“xA”是“xB”的充分条件或“xB”是“xA”的必要条件;若A=B,则“xA”是“xB”的充要条
13、件 适用于所描述的对象可以用集合表示的情况 典例导引2(3)温馨提醒 无论使用哪种方法,都要分清谁是条件,谁是结论,不能颠倒 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4 典例导引 3 已知条件 p:2x2-3x+10,条件 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0.若p 是q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是 .【解析】方法一(直接法):由 2x2-3x+10,得12x1.则 p 对应的集合为 12 1.由 x2-(2a+1)x+a(a+1)0,得 axa+1,则 q 对应的集合为x|axa+1.故 p 对应的集合 A=1,或 a+1,或 xlog2b”是“2a-b1”的
14、()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 因为log2alog2bab0,2a-b1ab,所以“log2alog2b”是“2a-b1”的充分不必要条件,故选A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4 2.(2017河北唐山模拟)已知数列an,bn满足bn=an+an+1,则“数列an为等差数列”是“数列bn为等差数列”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 若数列an为等差数列,设其公差为d1,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=
15、2d1,所以数列bn是等差数列;若数列bn为等差数列,设其公差为d2,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=d2,不能推出数列an为等差数列,故选A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4 3.(2016 安徽合肥一模)函数 f(x)=log2,0,-2+,0有且只有一个零点的充分不必要条件是()A.a0B.0a12C.12a1【答案】A 因为函数 f(x)的图象过点(1,0),所以函数 f(x)有且只有一个零点函数 y=-2x+a(x0)没有零点函数 y=2x(x0)的图象与直线 y=a 无交点.数形结合可得 a0 或 a1,即函数 f
16、(x)有且只有一个零点的充要条件是 a0 或 a1,应排除 D;当 0a12时,函数y=-2x+a(x0)有一个零点,即函数 f(x)有两个零点,应排除 B;同理,排除 C.故选 A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4 4.(2017 湖北襄阳四校联考)设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a20.q:实数 x 满足 x=12-1,其中 m(1,2).(1)若 a=14,且“pq”为真,求实数 x 的取值范围;(2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点3 考点4【解】(1)由已知,p:ax0),q:12x1.当 a=14时,p:14x34.pq 为真,p 真,且 q 真.14 34,12 1,得 12x34,即当“pq”为真时,实数 x 的取值范围为 12 34.(2)p 是 q 的充分不必要条件,即 p q,且 qp 等价于 qp,且 pq.记 A=12 1,B=x|ax0,则 AB,故 12,3 1,解得13a12,即实数 a 的取值范围为 13,12.