1、广东省惠州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.若复数（其中为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】化简得到，再计算共轭复数得到答案.【详解】，故选：【点睛】本题考查了复数的化简和共轭复数，属于简单题.2.设命题：，；则命题的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题得到答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题可知：命题的否定为，故选：【点睛】本题考查了特
2、称命题的否定，意在考查学生的推断能力.3.已知双曲线方程为，则其渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简得到标准形式为，再计算渐近线得到答案.【详解】双曲线方程标准形式为：，故渐近线为：故选：【点睛】本题考查了渐近线的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知，为虚数单位，则“”是“复数是纯虚数”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】分别判断充分性和必要性：且时，不是纯虚数，得到答案.【详解】当且时，不是纯虚数；若是纯虚数，则故“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件故选：【点睛】本题考查了必要不充分条件
3、，意在考查学生的推断能力.5.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过体重指标概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，列出所有情况再计算满足条件的情况，相除得到答案.【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只兔子中任取3只的所有取法有，共10种，其中恰有2只做过测试的取法有：，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为故选：【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.6.在正方体中，点E为上底面A1C1的中心，若，则x，y的值是（ ）A. ，B. ，C.
4、 ，D. ，【答案】A【解析】试题分析：根据题意，结合正方体的性质，可知,所以有，故选A考点：空间向量的分解7.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】确定，在直角中得到，即，计算得到答案.【详解】若是锐角三角形，则在直角中，即，所以得，又，所以故选：【点睛】本题考查了双曲线的离心率的取值范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定是解题的关键.8.已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以
5、A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值【详解】在直三棱柱ABCA1B1C1中， 以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B1（，1，2），B（），C1（0，2，2），设异面直线AB1与BC1所成角为，则cos，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为故选C【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力9.定长为3的线段的两个端点在抛物线上移动，为线段的中点
6、，则点到轴的最短距离为( )A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】如图所示，抛物线的准线为：，过、分别作、垂直于，垂足分别为、，得到得到答案.【详解】如图所示，抛物线的准线为：，过、分别作、垂直于，垂足分别为、.由抛物线定义知，.又为中点由梯形中位线定理得则到轴的距离（当且仅当过抛物线的焦点时取“”）所以，即点到轴的最短距离为1.故选： 【点睛】本题考查了抛物线距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.10.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】f（x）=ex（sinx+acosx）在上单调递增，f（x）=ex（1-a）s
7、inx+（1+a）cosx0在上恒成立，ex0在上恒成立，（1-a）sinx+（1+a）cosx0在上恒成立，a（sinx-cosx）sinx+cosx在上恒成立 ，设g（x）= g（x）在上恒成立，g（x）在上单调递减，g（x）=1，a1，故选A点睛：本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，利用导数研究函数的单调性，关键是分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，属于中档题，正确的构造函数和利用导数是解决问题的关键.二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.11.不透明的口袋内装有
8、红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是（ ）.A. 2张卡片都不是红色B. 2张卡片恰有一张红色C. 2张卡片至少有一张红色D. 2张卡片都为绿色【答案】ABD【解析】【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，逐一分析四个事件与事件“2张卡片都为红色”的关系，可得答案【详解】从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”，在选项给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡
9、片都为绿色”，其中“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥事件.故选ABD.【点睛】本题考查的知识点是互斥事件和对立事件的关系，属于基础题12.若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中错误的是（ ）A. 若为椭圆，则B. 若是双曲线，则其离心率有C. 若为双曲线，则或D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则【答案】AD【解析】【分析】依次判断每个选项：时表示圆，错误；变形，讨论和得到答案；讨论和得到双曲线；时表示焦点在轴上的椭圆，错误；得到答案.【详解】若，方程即为，它表示圆，A错；对于选项B，若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；，若，则方程可变形为，它表示焦点在轴
10、上的双曲线；，故正确；对于选项C，若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线，故正确；对于选项D，若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；若，则，故表示焦点在轴上椭圆，则错；故选：【点睛】本题考查了根据圆锥曲线的类型求参数，离心率的取值范围，意在考查学生的综合应用能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分.13.空间向量，若，则_【答案】2.【解析】【分析】直接利用向量垂直公式计算得到答案.【详解】由得，即，解得故答案为：【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.14.已知两个事件和互斥，记事件
11、是事件的对立事件，且，则_【答案】.【解析】【分析】先计算，再根据计算得到答案.【详解】得，且事件与互斥，则故答案为：【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件概率的计算，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.15.定义域为函数满足，且的导函数，则不等式的解集为 _【答案】.【解析】【分析】设，得到故为单调增函数，再利用单调性解得答案.【详解】令，因为，所以.所以为单调增函数.因为，所以.所以当时，即，得，解集为故答案为：【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数是解题的关键.16.椭圆上的一点到两焦点的距离的乘积为，则的最大值为_，此时点的坐标为_【答案】 (1). 25. (2).
12、.【解析】【分析】根据，利用均值不等式计算得到答案.【详解】，当且仅当时，取最大值25，即点在短轴顶点时成立所以点的坐标为时，的最大值为25.故答案为：；【点睛】本题考查了椭圆的性质，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的定义域为，关于的不等式（其中）的解集为（1）求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据定义域直接计算得到答案.（2）计算，根据题意得到是的真子集，故或计算得到答案.详解】（1）由题意得，解得定义域（2）不等式得，且因，解得即，由已知有是的真子
13、集或得所以实数的取值范围是【点睛】本题考查了函数的定义域，根据集合的包含关系计算参数，意在考查学生的综合应用能力.18.已知函数，曲线在点处的切线方程为（1）求实数的值；（2）求函数在上的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求导得到，根据切线方程得到，计算得到答案.（2）求导得到，得到函数在上单调递增，在上单调递减，得到最大值.【详解】（1），则，即解得（2）由（1）知，则，在区间上，解得；，解得.所以函数在上单调递增；在上单调递减所以函数在区间上的最大值为【点睛】本题考查了函数的切线，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.19.惠州市某学校需要从甲、乙两名学生中选1人参加数学
14、竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的分数，统计结果如下表：第一次第二次第三次第四次第五次甲8085719287乙9076759282（1）若从甲、乙两人中选出1人参加数学竞赛，你认为选谁合适？请说明理由.（2）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中答题方案如下：每人从5道备选题中随机抽取3道作答，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.假设被选中参赛的学生只会5道备选题中的3道，求该学生能进人复赛的概率.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）分别计算甲乙的平均成绩和方差，得到答案.（2）5道备选题中会的3道分别记为，不会的2道分别记为，列出所有情况，再计算满足条件的情况，相除得到答
15、案.【详解】（1）选派乙参赛比较合适，理由如下：甲的平均成绩为；乙的平均成绩为，甲的成绩方差；乙的成绩方差为；由于，乙的成绩较稳定，故选派乙参赛比较合适.（2）5道备选题中会的3道分别记为，不会的2道分别记为，.学生从5道备选题中任意抽出3道的结果共10种，分别是：，.抽中至少2道会的备选题的结果共7种，分别是：，所以学生能进入复赛的概率.【点睛】本题考查了平均值和方差，概率的计算，意在考查学生的应用能力.20.矩形中，点为中点，沿将折起至，如下图所示，点在面的射影落在上.（）求证：；（）求二面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：（）根据射影可得面面垂直，再有面面垂直的性质
16、得线面垂直，从而；（）以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系利用空间向量计算二面角试题解析：（）由条件，点在平面的射影落在上平面平面，易知平面，而平面（）以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系则，设平面的法向量为则，即，令，可得设平面的法向量为则，即，令，可得考虑到二面角为钝二面角，则二面角的余弦值为点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求垂直或平行关系，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得
17、的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析21.已知椭圆与抛物线y2x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求AOB的面积【答案】（1）；（2）【解析】试题分析:(1)先求椭圆焦点得c，再根据离心率列方程组可得a2，b22 (2)将OP视为底，根据三角形面积公式得S |OP|x1x2|，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简得|x1x2|，最后根据解出k，代入解得AOB的面积试题解析：解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意可得c，又e，a2.b2a2c22，椭圆的标准方程
18、为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得设直线AB的方程为ykx1，代入椭圆方程整理，得(2k21)x24kx20，x1x2，x1x2.将x12x2代入上式整理可得， 2，解得k2.AOB的面积S|OP|x1x2|.22.已知函数，. （）求函数的极值；（）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.【答案】（）极大值为，无极小值；（）1.【解析】【分析】()由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；()结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.【详解】()设，令，则；，则；在上单调递增，上单调递减，无极小值.()由，即在上恒成立，在上恒成立，设，则，显然，设，则，故在上单调递减由，由零点定理得，使得，即且时，则，时，. 则在上单调递增，在上单调递减，又由，则由恒成立，且为整数，可得的最小值为1.【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.