1、最新考纲 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.第5讲 二项分布与正态分布 1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做_，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)_(P(A)0)知 识 梳 理P（AB）P（A）在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A)n（AB）n（A）.条件概率(2)条件概率具有的性质：_；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC)|A)_2事件的相互独立性(
2、1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)_，P(AB)P(B|A)P(A)_(4)若P(AB)_，则A与B相互独立(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与B，A与 B，_也都相互独立0P(B|A)1P(B|A)P(C|A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)A与B3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设
3、每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)_，此时称随机变量X服从_，记为_，并称p为成功概率Cknpk(1p)nk(k0，1，2，n)二项分布XB(n，p)4正态分布(2)正态曲线的性质：曲线位于x轴_，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线_对称；(1)正态曲线：函数 ，(x)12，x(，)，其中 和 为参数(0，R)，我们称函数 ，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线曲线在_处达到峰值12；上方xx曲线与x轴之间的面积为_；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着_的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；_，曲线越“矮胖
4、”，表示总体的分布越分散，如图乙所示1越小越大(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)_，则称随机变量X服从正态分布，记作_正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)_；P(2X2)_；P(3c1)P(Xc1)，则c等于()A1 B2 C3 D4答案 B解析 2，由正态分布的定义知其图象关于直线 x2对称，于是c1c122，c2.5(人教 A 选修 23P55 练习 3 改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为_解析 记在国庆期间“甲去北京旅
5、游”为事件 A，“乙去北京旅游”为事件 B，又 P(A B)P(A)P(B)1P(A)1P(B)113 114 12，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，所求概率为 1P(AB)11212.答案 12考点一 条件概率【例1】(1)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()(2)已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A.18B.14C.25D.12A.1127B.
6、1124C.827D.924解析(1)法一(1)P(A)C23C22C25 41025，P(AB)C22C25 110，由条件概率公式，得 P(B|A)P（AB）P（A）11041014.法二 n(A)C23C224，n(AB)1，P(B|A)n（AB）n（A）14.答案(1)B(2)C(2)设从 1 号箱取到红球为事件 A，从 2 号箱取到红球为事件 B.由题意，P(A)42423，P(B|A)318149，P(AB)P(B|A)P(A)2349 827，所以两次都取到红球的概率为 827.规律方法 条件概率的求法：(1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)P（AB）P
7、（A）.这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n(AB)，得 P(B|A)n（AB）n（A）.【训练1】已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A.310B.29C.78D.79答案 D解析 法一 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”，事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口灯泡”，则 P(A)310，P(A
8、B)31079 730，则所求概率为 P(B|A)P（AB）P（A）73031079.法二 第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡，其中有 7只卡口灯泡，故第 2 次抽到卡口灯泡的概率为C17C1979.考点二 相互独立事件同时发生的概率【例2】(2013陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)
9、X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X2”的事件概率解(1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”，B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手”，则 P(A)C12C2323，P(B)C24C3535.事件 A 与 B 相互独立，A 与B相互独立则 AB表示事件“甲选中 3 号歌手，且乙没选中 3 号歌手”P(AB)P(A)P(B)P(A)1P(B)2325 415，(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”，则 P(C)C24C3535，依题意，A，B，C 相互独立，A，B，C相互独立，且 ABC，ABC，ABC，ABC 彼此互斥又 P(X2)P(ABC)P(ABC)P(AB
10、C)2335252325351335353375，P(X3)P(ABC)2335351875，P(X2)P(X2)P(X3)337518751725.规律方法(1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性(3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解【训练2】甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率解 记“甲射击一
11、次，击中目标”为事件 A，“乙射击一次，击中目标”为事件 B.“两人都击中目标”是事件 AB；“恰有 1 人击中目标”是 ABAB；“至少有 1 人击中目标”是 ABABAB.(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件 AB，又由于事件 A 与 B 相互独立，P(AB)P(A)P(B)0.80.80.64.(2)“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即 AB)，另一种是甲未击中乙击中(即AB)根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件 AB与AB 是互斥的，所以所求概率为PP(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.8(10
12、.8)(10.8)0.80.160.160.32.(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为 PP(AB)P(AB)P(AB)0.640.320.96.考点三 独立重复试验与二项分布【例 3】(2014四川卷节选)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘
13、出现音乐的概率解(1)X 可能的取值为 10，20，100，200.根据题意，有 P(X10)C13121112238，P(X20)C23122112138，P(X100)C33123112018，P(X200)C03120112318.所以X的分布列为X1020100200P38381818(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1，2，3)，则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18.所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)11831 1512511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.规律方法 利用独立重复试验概
14、率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式 Pn(k)Cknpk(1p)nk的三个条件：(1)在一次试验中某事件 A 发生的概率是一个常数 p；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率【训练3】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3)求比赛局数的分布列解(1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获
15、胜的概率都是12.记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A，则 P(A)C3412312431218.(2)记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B.乙以 4 比 2获胜的概率为 P1C35123125312 532，乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2C36123126312 532，所以P(B)P1P2 516.(3)设比赛的局数为 X，则 X 的可能取值为 4，5，6，7.P(X4)2C4412418，P(X5)2C3412312431214，P(X6)2C35123125312 516，P(X7)2C36123126312 516.比赛局数的分布列为X4567 P1814516516
16、考点四 正态分布【例4】已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X4)0.8，则P(0X2)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解析 由P(X4)0.8，得P(X4)0.2，由题意知正态曲线的对称轴为直线x2，P(X0)P(X4)0.2，答案 CP(0X4)1P(X0)P(X4)0.6，P(0X2)12P(0X4)0.3.规律方法(1)求解本题关键是明确正态曲线关于x2对称，且区间0，4也关于x2对称(2)关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值；充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.【训练4】在某次数学考试中，考生的成绩X服
17、从正态分布，即XN(100，100)，已知满分为150分若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试不及格(小于90分)的人数解 由 XN(100，100)知 100，10.P(90X110)P(10010X10010)0.682 6，P(X90)12(10.682 6)0.158 7，不及格人数为 2 0000.158 7317(人).思想方法1古典概型中，A 发生的条件下 B 发生的条件概率公式为P(B|A)P（AB）P（A）n（AB）n（A），其中，在实际应用中 P(B|An（AB）n（A）是一种重要的求条件概率的方法2相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率
18、互不影响，计算式为P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B)3二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k次的概率是 P(Xk)Cknpkqnk.其中 k0，1，n，q1p.4若X服从正态分布，即XN(，2)，要充分利用正态曲线的关于直线X对称和曲线与x轴之间的面积为1.易错防范1运用公式P(AB)P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立2独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件3独立重复试验中的概率公式 Pn(k)Cknpk(1p)nk 表示的是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率，p 与(1p)的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件 A 有 k 次不发生的概率了.