1、最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题第2讲 空间点、线、面的位置关系1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过_的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线知 识 梳 理两点不在一条直线上一个(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面推论2：经过两条_直线有且只有一个平面推论3：经过两条_直线有且只有一个平面2空间中两直线
2、的位置关系(1)位置关系的分类共面直线_异面直线：不同在_一个平面内相交平行平行相交任何(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：_(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于_的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_锐角(或直角)同一条直线相等或互补0，23空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有_、_、_三种情况(2)平面与平面的位置关系有_、_两种情况相交平行在平面内平行相交1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)梯
3、形可以确定一个平面()(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面()(3)已知a，b，c，d是四条直线，若ab，bc，cd，则ad.()(4)两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线()诊 断 自 测2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a，b为异面直线相矛盾答案 C3下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面梯形可以确定一个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A
4、0 B1 C2 D3解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说明三个交点是否共线，不正确答案 C4(2014广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定解析 构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1l4，当取l4为BB1时，l1l4，故排除A，B，C，选D.答案 D5(20
5、15成都诊断)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为_解析 如图，连接 B1D1，D1C，B1C.由题意知 EF 是A1B1D1 的中位线，所以 EFB1D1，又 A1BD1C，即B1D1C(或其补角)为异面直线 A1B 与EF 所成的角因为D1B1C 为正三角形，所以B1D1C3.故 A1B 与 EF所成角的大小为3.答案 3考点一 平面基本性质的应用【例1】(1)以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直
6、线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1C2 D3(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是()A三角形B四边形C五边形D六边形解析(1)正确，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线；不正确，从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在同一个平面上，如空间四边形(2)如图所示，作RGPQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线
7、交于M，且QP反向延长线与CD延长线交于N，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面与正方体的交线，同理连接NG交DD1于F，连接QF，FG，则QF，FG为截面与正方体的交线，截面为六边形PQFGRE.答案(1)B(2)D规律方法(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置【训练1】如图所示是正方体和
8、正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是_解析 可证中的四边形PQRS为梯形；中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；中，可证四边形PQRS为平行四边形；中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面答案 考点二 空间两条直线的位置关系【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析 把正四面体的平面展开图还原如图所示，
9、GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案 规律方法 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决【训练2】(1)(2014余姚模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，M
10、N是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析(1)如图，连接C1D，BD，AC，在C1DB中，MNBD，故C正确；CC1平面ABCD，CC1BD，MN与CC1垂直，故A正确；ACBD，MNBD，MN与AC垂直，故B正确；A1B1与BD异面，MNBD，MN与A1B1不可能平行，故D错误，选D.(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以在图中GH与MN异面答案(1)D(2)考点三 求异面直线所成的角【例3】如图，在四棱锥PABCD中，底面是
11、边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值解(1)在四棱锥PABCD中，PO面ABCD，PBO是PB与面ABCD所成的角，即PBO60，在RtABO中，AB2，OAB30，BOABsin 301，PO面ABCD，OB面ABCD，POOB，在 RtPOB 中，POBOtan 60 3，底面菱形的面积 S2 34 222 3.四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD132 3 32.(2)取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，EFPA，DEF为异面直
12、线DE与PA所成角(或其补角)在 RtAOB 中，AOABcos 30 3OP，在RtPOA 中，PA 6，EF 62.在正ABD 和正PDB 中，DFDE 3，在DEF 中，由余弦定理，得 cosDEFDE2EF2DF22DEEF规律方法 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移（3）2622（3）22 3 62643 2 24.即异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 24.【训练3】(2014潍坊一模)已知在三棱锥ABCD中，ABCD，且点M，N分别是BC，AD的中点(1)若直线AB与C
13、D所成的角为60，则直线AB和MN所成的角为_(2)若直线ABCD，则直线AB与MN所成的角为_所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角则MPN60或MPN120，若MPN60，解析(1)法一 如图，取 AC 的中点 P，连接PM，PN，则 PMAB，且 PM12AB，PNCD，且 PN12CD，深度思考 求异面直线所成的角常采用“平移直线法”，你是不是用的这种方法？但还可以有一种不错的方法：补形法将该三椎锥放在长方体中，不妨用这种方法试一试本题第(1)问？因为PMAB，所以PMN(或其补角)是AB与MN所成的角又因为ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN
14、所成的角为60.若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上直线AB和MN所成的角为60或30.法二 由ABCD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1C1CD1D中进行考虑，如图，由M，N分别是BC，AD的中点，所以MNAA1，即BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角连接A1B1交AB于O，所以A1B1CD，即AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角所以AOA160或120，由矩形AA1BB1的性质可得BAA160或30.所以直线AB和MN所成的角为60或30.由于ABCD，所以MPN90.又ABCD，所以PMPN，从而PMN45，即AB与MN所成
15、的角为45.答案(1)60或30(2)45(2)取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PM 綉12AB，所以MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角，思想方法1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解易错防范1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件4两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角3两条异面直线所成角的范围是0，2.
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