1、山东平邑一中西校2022届高三初考数学试题及详细答案一选择题（共8小题）1已知集合，集合，则A，BC，D，2命题“对，都有”的否定为A对，都有B对，都有C，使得D，使得3已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，则A1B5CD4函数的部分图象如图所示，若的面积为，则A1B2C4D5已知如表是某品牌的研发投入（万元）与销售额（万元）的一组数据：456789687580838490由散点图可知，销售额与研发投入之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则可以预测，当时，的值为A104B103C102D1006定义域为的函数满足，且当，时，则当，时，的最小值是ABCD07如图所示，在直角梯形中，
2、分别是，上的点，且（如图，将四边形沿折起，连结、（如图在折起的过程中，下列说法中正确的个数平面；、四点可能共面；若，则平面平面；平面与平面可能垂直A0B1C2D38已知当时，不等式恒成立，则正实数的最小值为A1BCD二多选题（共4小题）9在平面直角坐标系中，动点与两个定点，和，连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，则A的方程为B的离心率为C的渐近线与圆相切D满足的直线有2条10将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是A点是函数图象的对称中心B函数的图象与函数的图象相同C函数在上单调递减D直线是函数图象的一条对称轴11某
3、班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，且，下列说法正确的有A该圆台轴截面面积为B该圆台的体积为C该圆台的母线与下底面所成的角为D沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为12若二项式展开式中二项式系数之和为，展开式的各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为，则下列结论正确的是AB存在，使得C的最小值为2D三填空题（共4小题）13在的展开式中，一次项的系数为 14已知等差数列，的前项和分别为，若，则15已知，若存在实数，满足且，则的取值范围为 ；的最大值为 16已知平面内不同的三点，满足，若，的最小值为，则四解答题（共6小题）17设等差数列的前项和为，已知，（1）求数列的通项
4、公式；（2）记，数列是否存在最大项？若存在，求出这个最大项；如不存在，请说明理由18已知中，角、所对的边分别为、，且（1）若，求外接圆的面积；（2）若，求的面积192020年年底，铁人中学新址建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取若干市民对该项目进行评分（评分均为整数，最低分40分，最高分100分），绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为“基本满意”的市民有680人（）求频率分布于直方图中的值，并依据频率分布直方图估计评
5、分等级为“不满意”的人数；（）在（）所得评分等级为“不满意”的市民中，老年人占，青年人占，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中随机选取3人组成整改督导组，用表示督导组中青年人的人数，求的分布列及数学期望20如图（1），平面四边形中，将沿边折起如图（2），使为四面体外接球的直径，点，分别为，中点（1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值21已知函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若存在两个极值点，证明：22如图，过抛物线上任意一点（不是顶点）作切线，交轴于点（1）求证：线段的中垂线过定点；（2）过直线上任意一点作抛物
6、线的两条切线，切点分别为、，为抛物线上、之间到直线的距离最大的点，求面积的最小值参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1已知集合，集合，则A，BC，D，解：集合，集合，故选：2命题“对，都有”的否定为A对，都有B对，都有C，使得D，使得解：全称命题的否定是特称命题，命题“对，都有”的否定为：，使得；故选：3已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，则A1B5CD解：复数与为共轭复数，解得，故选：4函数的部分图象如图所示，若的面积为，则A1B2C4D解：根据函数的部分图象，可得，求得点，而，的面积为，故选：5已知如表是某品牌的研发投入（万元）与销售额（万元）的一组数据：45678968758083
7、8490由散点图可知，销售额与研发投入之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则可以预测，当时，的值为A104B103C102D100解：由题意可得，因为线性回归方程必过样本中心，则，解得，所以，当时，故选：6定义域为的函数满足，且当，时，则当，时，的最小值是ABCD0解：当时，又，即，当时，有最小值为（1），且，综上，的最小值是故选：7如图所示，在直角梯形中，分别是，上的点，且（如图，将四边形沿折起，连结、（如图在折起的过程中，下列说法中正确的个数平面；、四点可能共面；若，则平面平面；平面与平面可能垂直A0B1C2D3解：对，在图中，连接，交于点，取中点，连接，则为平行四边形，即，所
8、以平面，故正确；对，如果、四点共面，则由平面，可得，又，所以，这样四边形为平行四边形，与已知矛盾，故不正确；对，在梯形中，由平面几何知识易得，又，平面，即有，平面，则平面平面，故正确；对，在图中，延长至，使得，连接，由题意得平面平面，四点共面过作于，则平面，若平面平面，则过作直线与平面垂直，其垂足在上，矛盾，故错误故选：8已知当时，不等式恒成立，则正实数的最小值为A1BCD解：由题意，原不等式可变形为，即，设，则当时，恒成立，因为，所以函数在，上单调递减，在上单调递增，因为，所以，因为在上单调递增，所以要使，只需，两边取对数，得因为，所以；令，因为，所以在，上单调递增，所以（e），所以，则，故
9、正实数的最小值为，故选：二多选题（共4小题）9在平面直角坐标系中，动点与两个定点，和，连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，则A的方程为B的离心率为C的渐近线与圆相切D满足的直线有2条解：设由题意可得，由题意可得：，整理可得：，故不正确；可得，所以，所以双曲线的离心率，所以不正确；渐近线的方程为：，即，圆心到渐近线的距离，所以正确；联立方程组整理可得，所以，所以弦长，由题意可得，整理可得：，解得：（与双曲线无交点）或，所以有两条直线满足条件，所以正确故选：10将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是A点是函数图象的对称
10、中心B函数的图象与函数的图象相同C函数在上单调递减D直线是函数图象的一条对称轴解：函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象对于：当时，故错误；对于：函数，故正确；对于：当，故，故函数在该区间上单调递增，故错误；对于：当时，函数取得最大值为1，故正确故选：11某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，且，下列说法正确的有A该圆台轴截面面积为B该圆台的体积为C该圆台的母线与下底面所成的角为D沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为解：由，且，可得，高，则圆台轴截面面积为，故正确；圆台的体积为，故正确；圆台的母线与下底面所成的角
11、为，其正弦值为，所以，故错误；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角为，设的中点为，连接，可得，则，所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确故选：12若二项式展开式中二项式系数之和为，展开式的各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为，则下列结论正确的是AB存在，使得C的最小值为2D解：二项式展开式中二项式系数之和为，令，可得展开式的各项系数之和为，令，可得各项系数的绝对值之和为，故正确；当时，存在，使得，故正确；，故错误；，故错误，故选：三填空题（共4小题）13在的展开式中，一次项的系数为 解：一次项系数为故答案为：32414已知等差数列，的前项和分别为，
12、若，则解：因为，所以故答案为：15已知，若存在实数，满足且，则的取值范围为 ；的最大值为 解：由题意，函数的大致图象如图所示，由图象知，；由，关于对称，可得，可得，那么，构造新函数，；则，；在区间，单调递增，可得，在区间，单调递减，可得数区间，单调递增，单调递减，当时，取得最大值为故答案为，；16已知平面内不同的三点，满足，若，的最小值为，则解：由题设，如图1，若，则，即，即若是关于的对称点，则，即，如图2，当且仅当，三点共线时最小，即，此时在中，而，且为锐角，故答案为：四解答题（共6小题）17设等差数列的前项和为，已知，（1）求数列的通项公式；（2）记，数列是否存在最大项？若存在，求出这个最
13、大项；如不存在，请说明理由解：（1）设等差数列的公差为，由，得；又，得，即，联立解得，所以（2）由可知：当时，；当时，所以当时，又，所以当时，有最大项且最大项为18已知中，角、所对的边分别为、，且（1）若，求外接圆的面积；（2）若，求的面积解：（1）因为，所以，所以，又，所以外接圆的面积（2）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以192020年年底，铁人中学新址建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取若干市民对该项目进行评分（评分均为整数，最低分40分，最高分100分），绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于6
14、0分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为“基本满意”的市民有680人（）求频率分布于直方图中的值，并依据频率分布直方图估计评分等级为“不满意”的人数；（）在（）所得评分等级为“不满意”的市民中，老年人占，青年人占，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中随机选取3人组成整改督导组，用表示督导组中青年人的人数，求的分布列及数学期望解：（1）由频率分布直方图知，由，解得，设总共调查了个人，则基本满意的为，解得人，不满意的频率为，所以共有人，即不满意的人数为120人（2）评分等级为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取6
15、人，则青年人抽取4人分别记为，老年人抽取2人分别记为，从6人中选取3人担任整改督导员，的所有取值为1，2，3，故的分布列为：12320如图（1），平面四边形中，将沿边折起如图（2），使为四面体外接球的直径，点，分别为，中点（1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值解：（1）为四面体外接球的直径，则，可得，又由，且，平面，所以平面，因为，分别为，中点，可得，所以平面（2）以为原点，射线为轴建立如图直角坐标系，则，0，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，故二面角的余弦值21已知函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）讨论的
16、单调性；（3）若存在两个极值点，证明：1）解：因为，则，当时，所以（1），则在处的切线方程为；（2）解：函数的定义域为，且，令，且，当时，恒成立，此时，则在上单调递减；当时，判别式，当时，即，所以恒成立，此时函数在上单调递减；当时，令，解得，令，解得或，所以在，上单调递增，在和，上单调递减综上所述，当时，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在和，上单调递减（3）证明：由（2）可知，则，则，故问题转化为证明即可，即证明，则，即证，即证在上恒成立，令，其中（1），则，故在上单调递减，则（1），即，故，所以22如图，过抛物线上任意一点（不是顶点）作切线，交轴于点（1）求证：线段的中垂线过定点；（2）过直线上任意一点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为抛物线上、之间到直线的距离最大的点，求面积的最小值解：（1）有，求导，设，且，则直线的方程为：，化简得，当，则，则，所以线段的中点坐标为，则中垂线的方程为，即，所以线段的中垂线过定点；（2）设，由（1）可知，切线，切线，将分别代入，得，所以，为方程的两个根，则，直线的方程为，化简得，即，所以，抛物线上、之间到直线的距离最大的点为平行于的切线的切点，设，则，所以，则，到直线的距离，则当时，则面积的最小值