1、专题三十二 椭 圆 考 点 考纲内容 高考示例 考查频度 考情分析 74.椭圆的定义与标准方程 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质.5 年 0 考 1.高频考向:椭圆的几何性质的应用.2.低频考向:椭圆的定义的应用.3.特别关注:(1)椭圆几何性质的内容很丰富,离心率及其范围是每年高考的热点.(2)利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值.75.椭圆的几何性质 2016 课标,理 112014 课标,理 20 5 年 2 考 考点74 考点75 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74椭圆的定义与标准方程 1.(2014 大纲,理 6)已知椭圆 C:22+2
2、2=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为 33,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若AF1B 的周长为4 3,则 C 的方程为()A.23+22=1B.23+y2=1C.212+28=1D.212+24=1【答案】A 22+22=1(ab0)的离心率为 33,=33.又过 F2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,AF1B 的周长为 4 3,4a=4 3,a=3.b=2,椭圆方程为23+22=1,选 A.考点74 考点75 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 2.(2014 安徽,理 14)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+22=1(0bb0);(2)焦点在 y
3、 轴上:22+22=1(ab0).注意:焦点的位置由x2,y2项系数分母的大小决定,焦点在系数分母大的项对应的坐标轴上.(3)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定是哪种标准方程时,可设方程为_(m,n0,mn),可以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).2+2=1 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 3.焦点三角形 以椭圆上一点P与椭圆的两焦点为顶点的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|,通过整体代入可求其面积.常见的结论如下:(1)当 P 为短轴端点时,F1PF2 最大.(2)12=1
4、2|PF1|PF2|sinF1PF2=sin121+cos12b2=b2tan122=c|y0|.当 y0=b,即 P 为短轴端点时,12有最大值 bc.(3)焦点三角形的周长为 2(a+c).试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 典例导引 1(1)设 P 是椭圆225+29=1 上一点,M,N 分别是两圆:(x+4)2+y2=1 和(x-4)2+y2=1 上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12(2)(2017 河南开封模拟)如图,已知圆 E:(x+3)2+y2=16,点F(3,0),P 是圆 E 上任意一
5、点.线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q.则动点 Q 的轨迹 的方程为 .试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75(3)(2017 湖南郴州二模)如图,已知圆 E:x2+-12 2=94经过椭圆C:22+22=1(ab0)的左、右焦点 F1,F2,与椭圆 C 在第一象限的交点为 A,且 F1,E,A,三点共线,则椭圆 C 的方程为 .试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 24 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75(3)因为 F1,E,A 三点共线,所以 F1A 为圆 E 的直径,且 AF1=3.所以 AF2F1F2.由
6、x2+0-12 2=94,得 x=2,所以 c=2.因为|AF2|2=|AF1|2-|F1F2|2=9-8=1,所以|AF2|=1.所以 2a=|AF1|+|AF2|=4,a=2.因为 a2=b2+c2,所以 b=2.所以椭圆 C 的方程为24+22=1.【答案】(1)C(2)24+y2=1(3)24+22=1试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 高招1应用椭圆定义解题应 用 解 读 典例指引 求方程 通过对题设条件分析、转化后,能够明确动点满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程 典例导引 1(2)求焦点三角形 利用定义求焦点三角形的周长和面积.解决焦点三角形问题常利用椭
7、圆的定义、正弦定理或余弦定理.其中|PF1|+|PF2|=2a两边平方是常用技巧 典例导引 1(3)求最值(1)抓住|PF1|与|PF2|之和为定值,可联系到基本不等式求|PF1|PF2|的最值;(2)利用定义|PF1|+|PF2|=2a 转化或变形,借助三角形性质求最值 典例导引 1(1)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 典例导引 2(1)ABC 的两个顶点为 A(-4,0),B(4,0),周长为 18,则点 C的轨迹方程为()A.225+29=1(y0)B.225+29=1(y0)C.216+29=1(y0)D.216+29=1(y0)(2)已知椭圆 C1:24+
8、y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率.求椭圆 C2 的方程.(1)【解析】(定义法)由 A,B 坐标可知|AB|=8,由ABC 的周长为 18 可知|AC|+|BC|=10,由椭圆的定义可知,点 C 在焦点为A(4,0),B(-4,0),长半轴长为 5 的椭圆上运动,则椭圆方程为225+29=1.当点 C 在 x 轴上时,点 A,B,C 共线,不能构成三角形,所以 y0,故点 C 的轨迹方程为225+29=1(y0).【答案】A 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75(2)【解】方法一(待定系数法):由已知可设椭圆 C2 的方程为22+2
9、4=1(a2),其离心率为 32,则 2-4=32,解得 a=4,故椭圆 C2 的方程为216+24=1.方法二(椭圆系法):由椭圆 C2 与 C1 有相同的离心率,且焦点在 y轴上,则设 C2:24+x2=k(k0),即24+2=1.由椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,则 k=4,故 C2 的方程为216+24=1.高招2求椭圆标准方程的方法方法 解 读 适合题型 典例指引 定义法 根据题目的条件,判断是否满足椭圆的定义,若满足,求出相应的a,b,c 的值,即可求得方程 涉及到两焦点的距离问题 典例导引 2(1)待定系数法(1)若已知椭圆的中心在原点,且确定焦点所在位置,则可先设出相应形式
10、的标准方程,再根据条件确定关于 a,b,c 的方程组,解出 a2,b2,从而写出椭圆的标准方程;(2)当焦点位置不确定时,可以分类讨论,也可以设椭圆方程为mx2+ny2=1(m,n0,且 mn)先根据共同特征设出椭圆的标准方程,再根据其他条件确定方程 能够明确椭圆的焦点位置 典例导引 2(2)方法一 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 方法 解 读 适合题型 典例指引 椭圆系法(1)与x2a2+y2b2=1(a0,b0,且 ab)共焦点的椭圆方程可设为 x2a2-k+y2b2-k=1(ka2,kb0)有相同离心
11、率的椭圆方程可设为x2a2+y2b2=k1(k10,焦点在 x 轴上,ab0)或y2a2+x2b2=k2(k20,焦点在 y 轴上,ab0)具有某共同特征的椭圆求标准方程 典例导引 2(2)方法二 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 1.(2017湖南长沙一模)椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为()A.22+2 2=1B.22+y2=1C.24+22=1D.24+22=1【答案】C 由条件可知 b=c=2,a=2,所以椭圆方程为24+22=1,故选 C.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考
12、点74 考点75 2.(2017 江西上饶一模)设 F1,F2 分别为椭圆 C1:2 12+212=1(a1b10)与双曲线 C2:222 222=1(a20,b20)的公共焦点,它们在第一象限内交于点 M,F1MF2=90.若椭圆的离心率 e1=34,则双曲线 C2 的离心率e2 的值为()A.92B.3 22C.32D.54【答案】B 设 m=|MF1|,n=|MF2|,所以 +=21,-=22,所以 =1+2,=1-2.由F1MF2=90,得(2c)2=m2+n2=(a1+a2)2+(a1-a2)2=2(12+22),2c2=12+22.2=12+222=122+222=112+122.
13、e1=34,e2=3 22.故选 B.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 3.(2017 湖南五市十校联考)已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的离心率为35,过左焦点 F 且垂直于长轴的弦长为325.则椭圆 C 的标准方程为 .【答案】225+216=1【解析】由题意可知 =35,22=325,2=2+2,解得 =5,=4,=3,可得椭圆 C 的标准方程为225+216=1.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 考点75椭圆的几何性质 1.(2017 浙江,2)椭圆29+24=1 的离心率是()A.133B.53C.23D.59【答案】B e=
14、9-43=53,故选 B.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 2.(2016 课标,理 11)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:22+22=1(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左、右顶点.P 为 C 上一点,且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34【答案】A 由题意,不妨设直线 l 的方程为 y=k(x+a),k0,分别令x=-c 与 x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设 OE 的中点为 G,由OBGFBM,得1
15、2|=|,即2(-)=+,整理,得=13,故椭圆的离心率 e=13,故选 A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 3.(2012 课标,理 4)设 F1,F2是椭圆 E:22+22=1(ab0)的左、右焦点,P为直线 x=32 上一点,F2PF1 是底角为 30的等腰三角形,则 E 的离心率为()A.12B.23C.34D.45【答案】C 设直线 x=32 与 x 轴交于点 M,则PF2M=60,在RtPF2M 中,PF2=F1F2=2c,F2M=32-c,故 cos 60=22=32-2=12,解得=34,故离心率 e=34.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考
16、点74 考点75 4.(2014 课标,理 20)设 F1,F2 分别是椭圆 C:22+22=1(ab0)的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34,求 C 的离心率;(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.【解】(1)根据 c=2-2及题设知 M,2 ,2b2=3ac.将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得=12,=-2(舍去).故 C 的离心率为12.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75(2)由题意,原点 O 为 F1F2
17、的中点,MF2y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点,故2=4,即 b2=4a.由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|,设 N(x1,y1),由题意知 y1b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQPF1.(1)若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75【解】(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故 a=2.设椭圆的半焦距为 c,由已知
18、 PF1PF2,因此2c=|F1F2|=|1|2+|2|2=(2+2)2+(2-2)2=2 3,即 c=3,从而 b=2-2=1.故所求椭圆的标准方程为24+y2=1.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75(2)解法一:如图,设点 P(x0,y0)在椭圆上,且 PF1PF2,则022+022=1,02+02=c2,求得 x0=2-22,y0=2.由|PF1|=|PQ|PF2|得 x00,从而|PF1|2=2-22+2+42=2(a2-b2)+2a 2-22=(a+2-22)2.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.试做真题 高手必备 萃取
19、高招 对点精练 考点74 考点75 从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由 PF1PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=2|PF1|,因此(2+2)|PF1|=4a,即(2+2)(a+2-22)=4a,于是(2+2)(1+22-1)=4,解得 e=12 1+42+2-1 2=6 3.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 解法二:如解法一中的图,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由 PF1P
20、Q,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=2|PF1|,因此,4a-2|PF1|=2|PF1|,得|PF1|=2(2-2)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-2)a=2(2-1)a.由 PF1PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此 e=|1|2+|2|22=(2-2)2+(2-1)2=9-6 2=6 3.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 椭圆的几何性质标准方程 x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)图形 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 标准方程 x2a2+y2b2=1(
21、ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)性质 范围-axa-byb-bxb-aya 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a);B1(-b,0),B2(b,0)轴 长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b 焦距|F1F2|=2c 离心率 e=ca(0,1)a,b,c 的关系c2=a2-b2 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 典例导引 3(1)若椭圆22+22=1(ab0)的右焦点 F 是抛物线 y2=4x的焦点,两曲线的一个交点为 P,且|PF|=4
22、,则该椭圆的离心率为()A.7-23B.2+13C.23D.12(2)若以椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点 F1,F2 为直径的圆与椭圆有且仅有两个公共点,则椭圆的离心率为()A.33B.22C.32D.53(3)过椭圆22+22=1(ab0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为椭圆的右焦点,若F1PF2=60,则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75【解析】(1)(公式法)设 P(x,y),由题意,得 F(1,0),|PF|=x+1=4,所以 x=3,y2=12,则 92+122=1,且 a2-
23、1=b2,解得 a2=11+4 7,即 a=7+2,则该椭圆的离心率 e=1 7+2=7-23.故选 A.(2)(公式法)因为以椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点 F1,F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=c2,又该圆与椭圆有且仅有两个交点,所以c=b,即=1,所以 e=11+2=22.故选 B.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75(3)(构造法)由题意,可设 P-,2 .因为在 RtPF1F2 中,|PF1|=2,|F1F2|=2c,F1PF2=60,所以|12|1|=22=3.因为 b2=a2-c2,所以 3c2+2ac-3a2=0,即 3e2+2e-3=0,
24、解得 e=33 或 e=-3.又 e(0,1),所以 e=33.故选 B.【答案】(1)A(2)B(3)B 高招3求椭圆离心率的方法方法 解 读 适合题型 典例指引 公式法 先直接求出 a,c,再利用公式 e=ca求解;若已知 a,b,可利用公式 e=ca=1-ba 2求解;若已知 b,c,可利用公式 e=ca=11+bc 2求解 易求比值ca,ba 或bc 典例导引3(1)(2)构造法 根据题设条件,先借助 a,b,c 之间的关系,构造出 a,c 的齐次等式,再通过等式两边同时除以 a2,进而得到关于 e 的方程,通过解方程得出离心率e 的值.最后根据 e(0,1)进行取舍 求得的等式为a,
25、c 的齐次式,如Aa2+Bac+Cc2=0A+Be+Ce2=0 典例导引 3(3)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 典例导引 4(1)已知 F1,F2 分别是椭圆 C:22+22=1(ab0)的左、右焦点,若椭圆 C 上存在点 P,使得线段 PF1 的中垂线恰好经过焦点 F2,则椭圆 C 离心率的取值范围是()A.23,1 B.13,22 C.13,1 D.0,13(2)已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆22+22=1(ab0)的两个焦点,点P 在椭圆上且满足1 2 =c2,则该椭圆离心率的取值范围
26、是()A.33,1 B.33,22 C.13,12 D.0,22 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75【解析】(1)(几何法)如图所示.线段 PF1 的中垂线经过点 F2,|PF2|=|F1F2|=2c,即椭圆上存在一点 P,使得|PF2|=2c.由2 b0),y2=b2-22x2,-axa,1 =(-c-x,-y),2 =(c-x,-y).所以1 2 =x2-c2+y2=1-22 x2+b2-c2=22x2+b2-c2.因为-axa,所以 b2-c21 2 b2.所以 b2-c2c2b2,所以 2c2a23c2,所以 33 22.故选 B.【答案】(1)C(2)B 试做
27、真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 高招4求椭圆离心率范围的方法方法 解 读 适合题型 典例指引 几何法 利用椭圆的几何性质,设 P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点,则|x0|a,a-c|PF1|a+c 等,建立不等关系,或者根据几何图形的临界情况建立不等关系 题设条件有明显的几何关系 典例导引 4(1)直接法 根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系,直接转化为含有 a,b,c 的不等关系式 题设条件直接有不等关系 典例导引 4(2)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 1.(2017 四川四市联考)椭圆22+22=1
28、(ab0)的一个焦点为 F,该椭圆上有一点 A,满足OAF 是等边三角形(O 为坐标原点),则椭圆的离心率是()A.3-1B.2-3C.2-1D.2-2【答案】A 不妨设 F 为椭圆的右焦点,点 A 在第一象限内,则由题意,得 A 2,32 ,代入椭圆方程,得 242+3242=1,结合 b2=a2-c2,化简整理,得 c4-8a2c2+4a4=0,即 e4-8e2+4=0,解得 e=3-1,故选 A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点74 考点75 2.(2017 湖南郴州一测)已知椭圆22+22=1(ab0)的左焦点 F(-c,0)关于直线 bx+cy=0 的对称点 M 在椭圆上,则椭圆的离心率是()A.24B.34C.22D.33【答案】C 设点 M 的坐标为(m,n),则+-=-1,(-)2+2=0,解得 =2-32+2,=222+2,代入椭圆方程整理,得(2e2-1)2e2+4e4=1,令 e2=t(0t1),得 4t3+t-1=0-12(4t2+2t+2)=0t=12,解得 e=22,故选 C.