1、专题二十五 简单的线性规划 考点55 考点56 考点57 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55二元一次不等式(组)表示的区域 1.(2013 安徽,理 9)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足|=|=2,则点集P|=+,|+|1,R所表示的区域的面积是()A.2 2B.2 3C.4 2D.4 3【答案】D 以 ,为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中,使 A,B 两点关于 x 轴对称,由已知|=|=2,可得出AOB=60,点 A(3,1),点 B(3,-1),点 D(2 3,0).考点55 考点56 考点57 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精
2、练 现设 P(x,y),则由 =+得(x,y)=(3,1)+(3,-1),即 3(+)=,-=.由于|+|1,R,可得-3 3,-1 1,画出动点 P(x,y)满足的可行域为如图阴影部分,故所求区域的面积为 2 32=4 3.考点55 考点56 考点57 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 2.(2013 北京,理 8)设关于 x,y 的不等式组 2-+1 0,+0表示的平面区域内存在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,求得 m 的取值范围是()A.-,43 B.-,13 C.-,-23 D.-,-53【答案】C 图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含 y=12x-1上的点,只
3、需要可行域的边界点(-m,m)在 y=12x-1 下方,也就是m-12m-1,即 m0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面),不包括边界直线;不等式Ax+By+C0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),使得Ax+By+C的值符号相同,也就是位于直线Ax+By+C=0某一侧的所有点,其坐标适合Ax+By+C0(Ax+By+C0),而位于直线Ax+By+C=0另一侧的所有点,其坐标适合Ax+By+C0).(3)可在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一点(x0,y0)(一般取特殊点,如(0,0),(0
4、,1),(1,0),从Ax0+By0+C的符号来判断Ax+By+C0(或Ax+By+C0)所表示的平面区域.(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的步骤(1)画线在平面直角坐标系中画出不等式所对应方程所表示的直线.(2)定侧将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号,异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧.若直线不过原点,特殊点常选取原点.(3)求“交”若平面区域是由不等式组决定的,则在确定了各个不
5、等式所表示的区域后,再求这些区域的公共部分.以上俗称为“直线定界,特殊点定域”.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 典例导引 1(1)设平面点集 A=(,)(-)-1 0,B=(x,y)|(x-1)2+(y-1)21,则 AB 所表示的平面图形的面积为 .(2)若不等式组 -0,2+2,0,+表示的平面区域是一个三角形,则 a的取值范围是 .试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57【解析】(1)平面点集 A 表示的平面区域就是不等式组-0,-1 0 与 -0,-1 0 表示的两块平面区域,而平面点集 B 表示的平面区域为以点(1,1
6、)为圆心,1 为半径的圆及圆的内部,作出它们所表示的平面区域如图所示,图中的阴影部分就是 AB 所表示的平面图形.由于曲线 y=1和圆均关于直线 y=x 对称,因此,阴影部分所表示的图形的面积为圆的面积的12,即为2.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57(2)不等式组-0,2+2,0表示的平面区域如图所示(阴影部分).解 =,2+=2得 A 23,23;解 =0,2+=2得 B(1,0).若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线 x+y=a 中的 a 的取值范围是 0 0,+0表示的平面区域内存在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2.则 m 的取值
7、范围是()A.-,43 B.-,13 C.-,-23 D.-,-53【答案】C 由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域,要使区域内存在点 P(x0,y0)使 x0-2y0=2 成立,只要点 A(-m,m)在直线 x-2y-2=0下方即可,即-m-2m-20,解得 m1)所表示平面区域的面积为 S,则-1的最小值等于()A.30B.32C.34D.36【答案】B 因为 S=1244k=8k,所以-1=82-1=8(-1)+2+1-1 8 2(-1)1-1+2=32,当且仅当 k=2 时取等号,所以选 B.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 4.已知不等式组 +-
8、2 0,-2 0,-+2 0表示的平面区域的面积等于 3,则 a 的值为 .【答案】12【解析】在平面直角坐标系内,画出直线 AB:x+y-2=0,直线AC:x-2=0,以及直线 BC:ax-y+2=0.由图可知,该平面区域为ABC,所以 S=122AC=3,所以 AC=3,即 C(2,3).又点 C 在直线 BC:ax-y+2=0 上,解得 a=12.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 考点56利用线性规划求目标函数的最值 1.(2017 课标,理 5)设 x,y 满足约束条件 2+3-3 0,2-3+3 0,+3 0,则 z=2x+y的最小值是()A.-1
9、5B.-9C.1D.9【答案】A 画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数z=2x+y的几何意义可得z在点B(-6,-3)处取得最小值,即zmin=-12-3=-15,故选A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 2.(2014 课标,理 9)设 x,y 满足约束条件 +-7 0,-3+1 0,3-5 0,则 z=2x-y 的最大值为()A.10B.8C.3D.2【答案】B 线性目标函数z=2x-y满足的可行域如图所示.将直线l0:y=2x平行移动,当直线l0经过点M(5,2)时,直线y=2x-z在y轴上的截距最小,也就是z取最大值,此时zmax=25
10、-2=8.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 3.(2013 课标,理 9)已知 a0,x,y 满足约束条件 1,+3,(-3).若z=2x+y 的最小值为 1,则 a=()A.14B.12C.1D.2【答案】B 由题意作出 1,+3所表示的区域如图阴影部分所示,作直线 2x+y=1,因为直线 2x+y=1 与直线 x=1 的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线 y=a(x-3)过点(1,-1),代入得 a=12,所以 a=12.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 4.(2017 课标,理 14)设 x,y 满足约束条件 +
11、2 1,2+-1,-0,则 z=3x-2y的最小值为 .【答案】-5 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57【解析】不等式组 +2 1,2+-1,-0表示的平面区域如图所示.由 z=3x-2y,得 y=32x-2.求 z 的最小值,即求直线 y=32x-2的纵截距的最大值.数形结合知当直线 y=32x-2过图中点 A 时,纵截距最大.由 2+=-1,+2=1,解得 A 点坐标为(-1,1),此时 z 取得最小值为3(-1)-21=-5.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 5.(2017 课标,理 13)若 x,y 满足约束条件-0
12、,+-2 0,0,则 z=3x-4y的最小值为 .【答案】-1【解析】画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点A(1,1)处取得最小值z=31-41=-1.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 6.(2016 课标,理 13)若 x,y 满足约束条件-+1 0,-2 0,+2-2 0,则 z=x+y 的最大值为 .【答案】32【解析】作出不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.因为 z=x+y,所以 y=-x+z.作直线 y=-x 并平移,由图知,当直线经过点 A 1,12 时,直线在 y 轴上的截距最大,即 z取得最大值.故 zm
13、ax=1+12=32.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 1.线性规划中的有关概念 名 称 意 义 约束条件 由变量 x,y 组成的不等式组 线性约束条件 由 x,y 的一次不等式组成的不等式组 目标函数 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 线性目标函数 关于 x,y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y)可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值(或最小值)问题 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 2.线性目标函数的最
14、值问题 求线性目标函数z=ax+by(ab0)的最值,当b0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴上截距最小时,z值最小;当b0,可作出可行域,如图阴影部分所示.由题意知,+1+1的最小值是14,即+1+1 min=0-(-1)3-(-1)=13+1=14.解得 a=1.【答案】(1)D(2)B(3)21(4)1 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 高招2巧用几何意义解决目标函数最值问题几何意义 解 读 适合题型 典例指引 截距 线性目标函数 z=ax+by 与 y 轴交点为 0,zb,z=b zb=b线性目标函数在 y 轴上的截距 形如 z=
15、ax+by 型 典例导引 2(1)两点之间距离 对形如 z=(x-a)2+(y-b)2 型的目标函数均可化为求可行域内的点(x,y)与点(a,b)间距离的平方的最值问题 形如z=(x-a)2+(y-b)2型 典例导引 2(2)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 几何意义 解 读 适合题型 典例指引 点线之间距离 对形如 z=|Ax+By+C|型的目标函数,可先变形为 z=A2+B2|Ax+By+C|A2+B2 的形式,将问题化为求可行域内的点(x,y)到直线Ax+By+C=0 的距离的 A2+B2倍的最值 形如z=|Ax+By+C|型 典例导引 2(3)斜率
16、形如 z=y+bx+a型的目标函数,可将问题化为求可行域内的点(x,y)与点(-a,-b)连线的斜率的最值 形如z=ay+bcx+d(ac0)=ac y-ba x-dc 型 典例导引 2(4)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 1.(2017 山西临汾五校三联)实数 x,y 满足-+1 0,+-3 0,2+-7 0,若 x-2ym恒成立,则实数 m 的取值范围是()A.(-,-3B.(-,-4C.(-,6D.0,6【答案】B x,y 满足的区域如图所示,设 z=x-2y,当经过图中的点 A时最小,由-+1=0,2+-7=0得 A(2,3),所以 z 的最小值为
17、 z=2-23=-4,所以实数 m 的取值范围是(-,-4,故选 B.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 2.(2017 湖南百所重点中学诊测)若变量 x,y 满足约束条件 +2 0,-0,-2+2 0,且 a(-6,3),则 z=-仅在点 A-1,12 处取得最大值的概率为()A.19B.29C.13D.49【答案】A z=-可以看作点(x,y)和点(a,0)的斜率,直线 AB 与 x 轴交点为(-2,0),当 a(-2,-1)时,z=-仅在点 A-1,12 处取得最大值,所以 P=-1-(-2)3-(-6)=19,故选 A.试做真题 高手必备 萃取高招 对
18、点精练 考点55 考点56 考点57 3.(2017 广东阶段测评)若实数 x,y 满足-2+3 0,1,则 z=2+2的最小值为()A.3B.5C.3D.2【答案】D 作出不等式组表示的平面区域,如图所示.目标函数z=2+2表示可行域内的点到原点的距离,显然是(1,1)到原点的距离最小,且最小值为 2.故选 D.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 4.(2017 四川自贡一诊)设实数 x,y 满足 +-7 0,-3+1 0,3-5 0,则 z=2x-y 的最大值为 .【答案】8 【解析】作出不等式组 +-7 0,-3+1 0,3-5 0表示的平面区域如图中阴
19、影所示.根据图形,得当直线 z=2x-y 经过点 B 时,z 取得最大值,由 +-7=0,-3+1=0,解得 =5,=2,即 B(5,2),zmax=52-2=8.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 考点57以可行域为载体与其他知识交汇问题 1.(2016 山东,理 4)若变量 x,y 满足 +2,2-3 9,0,则 x2+y2 的最大值是()A.4B.9C.10D.12【答案】C 如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|
20、2=10,故选C.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 2.(2016课标,理16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.【答案】216 000【解析】设生产产品 A x 件,生产产品 B y 件,由题意得 1.5+0.5
21、150,+0.3 90,5+3 600,N,即 3+300,10+3 900,5+3 600,N.目标函数 z=2 100 x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 作直线 y=-73x,当直线过 5x+3y=600 与 10 x+3y=900 的交点时,z取最大值,由 5+3=600,10+3=900,解得 =60,=100,所以 zmax=2 10060+900100=216 000.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 3.(2015 课标,理 15)若 x,
22、y 满足约束条件-1 0,-0,+-4 0,则 的最大值为 .【答案】3 【解析】画出约束条件对应的平面区域(如图),点 A 为(1,3),要使最大,则-0-0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点 A 时,max=3-01-0=3.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 用线性规划求解实际问题的一般步骤(1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据;(2)将影响该问题的主要因素作为决策量,设出未知量;(3)根据问题的特点,写出约束条件和目标函数;(4)准确作出可行域,并求出最优解或其他要求的解;(5)将求解出来的结论反馈到实
23、际问题当中,设计最佳方案.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 典例导引3(1)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲 乙 原料限额 A/吨 3 2 12 B/吨 1 2 8 A.12万元B.16万元 C.17万元D.18万元 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57(2)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载质量为10吨的甲型卡车和7辆载质量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少
24、72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z=()A.4 650元B.4 700元 C.4 900元D.5 000元 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57【解析】(1)假设每天生产甲、乙两种产品分别为x,y吨,由已知得 3+2 12,+2 8,0,0.利润z=3x+4y.由线性约束条件画出如图可行域,利用调整优值法(或者检验优值法),可知z在点A(2,3)处取得最大值,此时zmax=32+43
25、=18(万元).试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57(2)设派用甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,则 10+6 72,2+19,+12,0 8,0 7,N*.目标函数 z=450 x+350y.作出可行域为如图所示阴影部分包含的整点.当 =7,=5 时,zmax=4507+3505=4 900,故选 C.【答案】(1)D(2)C 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 高招3确定最优整数解的方法方法 解 读 典例指引 调整优值法 先根据基本方法求出目标函数的最值,若此时最优解是非整数最优解,将其代入目标函数 z中求出此时的值 z0
26、,再在可行域内将 z0 的值微调为大于(或小于)z0 的与 z0 最接近的整数 z1,在这条对应的直线上取可行域内的整点.如果没有整点,继续放缩,直到找到整点为止 典例导引 3(1)检验优值法 首先在边界交线顶点附近的小范围内搜索一个可行域内的整数点,然后过该点作一条斜率为-AB(其中 A,B 分别为目标函数中变量 x,y 的系数)的直线,与可行域的交线相交得到一个小范围的区域,最后在这个小范围区域内继续搜索全部最优整数解 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 方法 解 读 典例指引 逐点检验法 如果可行域中的整点数目很少,可采用逐个代入试解的方法 典例导引 3
27、(2)温馨提醒(1)明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件是否能够取到等号.(2)结合实际问题的实际意义,判断所设未知数 x,y 的取值范围,特别注意分析 x,y 是否为整数、是否为非负数等.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 典例导引 4(1)(2016 河南六市一模)若实数 x,y 满足 0,|+|1,使z=ax+y 取得最大值的最优解有两个,则 m=ax+y+1 的最小值为()A.0B.-2C.1D.-1(2)若 x,y 满足不等式组 +1,2-2,且 y+12x 的最大值为 2,则实数 m 的值为 .试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考
28、点55 考点56 考点57【解析】(1)如图所示,画出不等式组所表示的区域.z=ax+y 取得最大值的最优解有两个,-a=1,即 a=-1,当 x=1,y=0 或 x=0,y=-1 时,z=ax+y=-x+y 有最小值-1,ax+y+1 的最小值是 0.故选 A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57(2)设 z=y+12x,当 y+12x 取最大值 2 时,有 y+12x=2,作出不等式组 +1,2-2 对应的可行域,如图,由 +12 =2,2-=2,解得 =1,=32,A 1,32,代入直线 y=mx,得 m=32.【答案】(1)A(2)32试做真题 高手必备
29、 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 高招4探求含参线性规划的两个类型的处理规律类型 解 读 典例指引 目标函数中含有参数 目标函数中的参数往往与直线的斜率有关,这类问题还有另一个特征,就是其最优解是可知的(一个或者无穷多个),因此解题时可充分利用斜率的特征加以转化 典例导引4(1)约束条件中含有参数 约束条件中的参数影响平面区域的形状,这时含有参数的不等式表示区域的分界线是一条变动的直线,此时就要根据参数的取值确定这条直线的变化趋势,确定区域的可能形状,因此,增加了解题时画图分析的难度.求解这类问题时要有全局观念,结合目标函数逆向分析题意,整体把握解题的方向 典例导引4(2)试
30、做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 温馨提醒 无论是哪里含有参数,要善于利用分类讨论思想去考虑问题.如斜率的正负,直线的截距的正负等都是讨论的依据 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 1.(2017 河北石家庄质检)若 x,y 满足 +1,-0,3-2+2 0,且 z=3x-y 的最大值为 2,则实数 m 的值为()A.13B.23C.1D.2【答案】D 作出不等式组表示的平面区域,如图所示.由图知,令 z=2,联立 =3-2,3-2+2=0,得 A(2,4),直线 mx-y=0 经过点 A,即 2m-4=0,解得 m=2,故选
31、 D.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 2.(2017 山西临汾五校联考)已知实数 x,y 满足-+1 0,+-3 0,2+-7 0,若x-2ym 恒成立,则实数 m 的取值范围是()A.(-,-3B.(-,-4C.(-,6D.0,6【答案】B x,y 满足的区域如图所示.设 z=x-2y,当经过图中的点 A 时最小,由-+1=0,2+-7=0,得 A(2,3),所以 z 的最小值为 z=2-23=-4,所以实数 m 的取值范围是(-,-4,故选 B.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57 3.(2017 广东湛江调研)已知 x
32、,y 满足约束条件 +-2 0,-2-2 0,2-+2 0,若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为()A.12或-1B.12或 2C.1 或 2D.-1 或 2试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点55 考点56 考点57【答案】D 在平面直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的ABC,目标函数z=y-ax可变形为y=ax+z,z的几何意义为直线y=ax+z在y轴上的截距.因为z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,所以直线y=ax+z与区域三角形的某一边平行,当直线y=ax+z与边线x+y-2=0平行时,a=-1符合题意;当直线y=ax+z与边线x-2y-2=0平行时,a=不符合题意;当直线y=ax+z与边线2x-y-2=0平行时,a=2符合题意,综上所述,实数a的值为-1或2.故选D.12