1、最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.第1讲 直线的方程1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l_方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_；范围：直线的倾斜角的取值范围是_知 识 梳 理向上00，)(2)直线的斜率斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2
2、)的直线的斜率公式为k_定义：当直线 l 的倾斜角 2 时，其倾斜角 的正切值 tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即 k_；tan y2y1x2x12直线方程的五种形式名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 _ 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 _ 两点式 过两点 _ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 _ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 AxByC0(A2B20)所有直线 ykxb yy0k(xx0)yy1y2y1 xx1x2x1xayb13.线段的中点坐标公式若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段
3、 P1P2的中点 M 的坐标为(x，y)，则x_，y_，此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(3)直线的斜率为tan，则其倾斜角为.()(4)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(5)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()诊 断 自 测A30B60C150D120答案 B2直线 3xya0(a
4、为常数)的倾斜角为()解析 直线的斜率为 ktan 3，又因为 0180，所以60.3如果AC0，且BC0，在 y 轴上的截距CB0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限A3x4y140 B3x4y140C4x3y140 D4x3y140答案 A4已知直线 l 经过点 P(2，5)，且斜率为34，则直线 l 的方程为()解析 由点斜式，得 y534(x2)，即 3x4y140.5(人教A必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为_解析 当截距为0时，直线方程为3x2y0；答案 3x2y0或xy50当截距不为 0 时，设直线方程为xaya1，则2a3a1，解得 a
5、5.所以直线方程为 xy50.考点一 直线的倾斜角与斜率【例1】(1)设直线l的方程为xycos 30(R)，则直线l的倾斜角的范围是()(2)经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的范围是_A0，)B.4，2C.4，34D.4，2 2，34解析(1)当 cos 0 时，方程变为 x30，其倾斜角为2；当 cos 0 时，由直线方程可得斜率 k1cos.cos 1，1且 cos 0，k(，11，)，即 tan(，11，)，又 0，)，4，2 2，34.综上知，倾斜角的范围是4，34，故选 C.(2)法一 如图所示，kPA2（1）10
6、1，kPB1（1）201，由图可观察出：直线 l 倾斜角 的范围是34，0，4.法二 由题意知，直线l存在斜率设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y1kx，即kxy10.A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，(k21)(2k11)0，即2(k1)(k1)0，1k1.直线 l 的倾斜角 的范围是34，0，4.深度思考 第(2)小题同学们的解法应该多数是求kPA，kPB，再根据图象观察出倾斜角的范围，但是还有一种方法不妨试一试，在线性规划中提到过 答案(1)C(2)34，0，4规律方法(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数 yt
7、an x 在0，)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在0，)上并不是单调的；(2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为2 时，直线无斜率【训练1】(1)直线xsin y10的倾斜角的变化范围是()(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1，1)和Q(2，2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_解析(1)直线xsin y10的斜率是ksin，又1sin 1，1k1，A.0，2B(0，)C.4，4D.0，4 34，当 0k1 时，倾斜角的范围是0，4；当1k0 时，倾斜角的范围是34，.(2)如图所示，直线 l：xmym0过定点 A(0，1
8、)，当 m0 时，kQA32，kPA2，kl1m，1m2 或1m32，解得 0m12或23m0；当m0时，直线l的方程为x0，与线段PQ有交点实数m的取值范围为23m12.答案(1)D(2)23，12考点二 直线方程的求法【例2】根据所给条件求直线的方程：(2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式(1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为 1010；设倾斜角为，则 sin 1010(00；当 k0 时，直线为 y1，符合题意，故 k0.(3)解 由题意可知 k0，再由 l 的方程，
9、得 A12kk，0，B(0，12k)依题意得12kk0，解得 k0.S12|OA|OB|1212kk|12k|12（12k）2k124k1k412(224)4，等号成立的条件是 k0 且 4k1k，即 k12，Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40.思想方法2求斜率可用ktan(90)，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”1要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：ky2y1x2x1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率当 x1x2，y1y2 时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90.3求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法易错防范1求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.