1、最新考纲 1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算第1讲 集合及其运算1元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、_、无序性(2)元素与集合的关系是_或_关系，用符号_ 或_表示(3)集合的表示法：列举法、_、图示法知 识 梳 理互异性属于不属于描述法2集合间的基本关系表示 关系 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同
2、AB 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 _ 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 _ 空集 空集是任何集合的_，是任何非空集合的真子集 AB A B子集3.集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 语言 符号 语言 AB_ _ AB_ _ UA_ _ x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA4.集合的运算性质并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABA_交集的性质：A；AAA；ABBA；ABA_补集的性质：A(UA)_；A(UA)_；U(UA)_BAABUA诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)若
3、Ax|yx2，B(x，y)|yx2，Cy|yx2，则 ABC.()(2)若x2，10，1，则 x0，1.()(3)已知集合 Ax|mx1，B1，2，且 AB，则实数m1 或 m12.()(4)含有 n 个元素的集合的子集个数是 2n，真子集个数是 2n1，非空真子集的个数是 2n2.()2(2014新课标全国卷)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A2，1 B1，2)C1，1 D1，2)解析 由不等式x22x30解得x3或x1，因此集合Ax|x1或x3，又集合Bx|2x2，所以ABx|2x1，故选A.答案 A3已知集合A(x，y)|x，yR，且x2y21，B(x，y)|x，yR
4、，且yx，则AB的元素个数为()A0 B1C2 D3 解析 集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线yx，据此画出图象，可得图象有两个交点，即AB的元素个数为2.答案 C4(人教A必修1P12A10改编)已知集合Ax|3x7，Bx|2x10，则(RA)B_ 解析 RAx|x3或x7，(RA)Bx|2x3或7x10 答案 x|2x3或7x105设集合Ax|x22x30，集合Bx|x22ax10，a0若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是_ 解析 Ax|x22x30 x|x1或x0，且f(0)10，即44a10，96a10，所以a34，a43.即34a43.答案 34，43考点一
5、 集合的含义【例1】(1)若集合AxR|ax2ax10中只有一个元素，则a()A4 B2C0 D0或4(2)已知 aR，bR，若a，ba，1 a2，ab，0，则 a2 016b2 016_答案(1)A(2)1解析(1)由 ax2ax10 只有一个实数解，可得当 a0 时，方程无实数解；当 a0 时，则 a24a0，解得 a4(a0不合题意舍去)(2)由已知得ba0 及 a0，所以 b0，于是 a21，即 a1 或a1，又根据集合中元素的互异性可知 a1 应舍去，因此 a1，故 a2 016b2 0161.规律方法(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白
6、集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性【训练1】(1)已知集合A0，1，2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3 C5 D9(2)已知集合Am2，2m2m，若3A，则m的值为_ 解析(1)xy2，1，0，1，2，其元素个数为5.(2)由题意得 m23 或 2m2m3，则 m1 或 m32，当m1 时，m23 且 2m2m3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当 m32时，m212，而 2m2m3，故 m32.答案(1)C(2)32考点二 集合间
7、的基本关系【例2】(1)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_(2)设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0，若(UA)B，则m_ 解析(1)当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，如图则m12，2m17，m12m1，解得2m4.综上，m的取值范围是(，4(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，则m1；若B2，则应有(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，这两式不能同时成立，B2；若B1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2，由这两
8、式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.答案(1)(，4(2)1或2深度思考 你会用这些结论吗？ABABA，ABAAB，(UA)BBA；你考虑到空集了吗？规律方法(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系常用数轴、Venn图来直观解决这类问题【训练2】(1)已知集合Ax|yln(x3)，Bx|x2，则下列结论正确的是()AABBABCABDBA(2)已知集合Ax|log2x2，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_ 解析(1)Ax|x3，B
9、x|x2，结合数轴可得：BA.(2)由log2x2，得0 x4，即Ax|0 x4，而Bx|xa，由于AB，如图所示，则a4.答案(1)D(2)(4，)考点三 集合的基本运算【例3】(1)(2014四川卷)已知集合Ax|x2x20，集合B为整数集，则AB()A1，0，1，2 B2，1，0，1C0，1 D1，0(2)(2015开封模拟)设集合UR，Ax|2x(x2)1，Bx|yln(1x)，则图中阴影部分表示的集合为()Ax|x1 Bx|1x2Cx|0 x1 Dx|x1解析(1)因为Ax|x2x20 x|1x2，BZ，所以AB1，0，1，2(2)易知Ax|2x(x2)1x|x(x2)0 x|0 x
10、2，Bx|yln(1x)x|1x0 x|x1，则UBx|x1，阴影部分表示的集合为A(UB)x|1x2答案(1)A(2)B规律方法(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化【训练3】(1)(2014浙江卷)设全集UxN|x2，集合AxN|x25，则UA()AB2C5 D2，5(2)设集合Mx|1x2，Ny|ya，若MN，则实数a的取值范围一定是()A1，2)B(，2C1，)D(1，)解析(1)因为 AxN|x 5或 x 5，所以UAxN|2
11、x 5，故UA2(2)借助数轴可知 a1，故选 D.答案(1)B(2)D微型专题 集合背景下的新定义问题以集合为背景的新定义问题，集合只是一种表述形式，实质上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解决新问题的数学能力解决此类问题，要从以下两点入手：(1)正确理解创新定义分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础(2)合理利用集合性质运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质
12、点拨 先理解集合的“长度”，然后求MN的“长度”的最小值【例 4】(2014青岛质检)设集合 Mxmxm34，Nxn13xn，且 M，N 都是集合0|0 x1的子集，如果把 ba 叫作集合x|axb的“长度”，那么集合 M N 的“长度”的最小值是()A.13B.23C.112D.512解析 由已知，可得m0，m341，即 0m14；n130，n1，即13n1，取 m 的最小值 0，n 的最大值 1，可得 M0，34，N23，1.所以 MN0，34 23，1 23，34.此时集合 MN的“长度”的最小值为3423 112.故选 C.答案 C点评 本题的难点是理解集合的“长度”，解题时紧扣新定义
13、与基础知识之间的相互联系，把此类问题转化成熟悉的问题进行求解.思想方法1在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确2求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏3对于集合的运算，常借助数轴、Venn图，这是数形结合思想的又一体现易错防范1集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简3Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心2空集不含任何元素，但它是存在的，在利用 AB 解题时，若不明确集合 A 是否为空集时应对集合 A 的情况进行分类讨论如例 2(1)“错解 1：由m12，2m17，解得3m4；错解 2：由m12m1，m12，2m17，解得 2m4，错因都是对集合 Bx|m1x2m1”认识不清