1、第2课时直线方程的一般式1掌握直线的一般式方程2会进行直线方程不同形式的转化1直线方程的一般式我们把方程AxByC0(A2B20)(*)叫做直线的一般式方程(1)当B0时，方程(*)可化为yx它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线(2)当B0时，由于A，B不同时为零，必有A0，于是方程(*)可化为x它表示一条与y轴平行或重合的直线2一般式与几种特殊式的区别与联系(1)联系：都反映了确定直线方程需要两个独立条件(2)区别：几种特殊式主要揭示直线的几何特征，一般式主要揭示坐标平面内的直线与二元一次方程的关系1如何理解直线的一般式方程AxByC0中要求A2B20？解：如果A2B20，则AB0，此时Ax
2、ByC0变为C0，而C0不能表示直线方程2根据下列条件写出直线方程，并把它化成一般式：(1)过点A(2，3)，斜率为；(2)在x轴，y轴上的截距分别为3和4解：(1)由直线的点斜式可得直线方程为y3(x2)，化为一般式为3x5y90(2)由直线方程的截距式，得1，代为一般式，得4x3y120求直线的一般式方程根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程(1)斜率为2，且在y轴上的截距为1；(2)经过点P1(2，1)，P2(3，2)两点；(3)在x轴、y轴上的截距分别为3、5；(4)经过点P(4，3)，且垂直于x轴【解】(1)由题意知，直线的斜截式方程为y2x1，化为一般式方程为2xy10(2)由
3、题意知，直线的两点式方程为，化为一般式方程为x5y70(3)由题意知，直线的截距式方程为1，化为一般式方程为5x3y150(4)由题意知，直线方程为x4，化为一般式方程为x40根据已知条件求直线方程的解题策略在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程，一般选用规律为： (1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式；(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式；(3)已知直线上两点坐标时，选用两点式；(4)已知直线在x轴，y轴上的截距时，选用截距式已知直线x2y40，(1)把该直线方程化成斜截式，并求其斜率；(2)把该直线方
4、程化成截距式，并求其在坐标轴上的截距解：(1)把该直线化成斜截式，得yx2，所以该直线的斜率为；(2)把该直线化成截距式，得1，故直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2直线方程的应用已知直线l：5ax5ya30(1)求证：不论a为何值，直线l恒过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围【解】(1)证明：将直线l的方程整理得ya(x)，所以l的斜率为a，且过定点A(，)，而点A(，)在第一象限，故直线l恒过第一象限(2)直线OA的斜率为k3因为l不经过第二象限，结合图象可知a3针对这个类型的题目，灵活地把一般式AxByC0进行变形是解决这类问题的关键在求参量取值范围时，巧妙地利
5、用数形结合思想会使问题简单明了 1已知直线kxyk0与射线3x4y50(x1)有交点，求实数k的取值范围解：kxyk0过定点Q(1，0)且斜率为k，点S为射线3x4y50的端点因为kQS，结合图象知，若要有交点，则k或k，所以k0BA0，B0，C0CAB0，C0解析：选D通过直线的斜率和截距进行判断3直线x2y10在x轴上的截距为解析：令y0，得x1答案：14经过点P(3，2)且在两坐标轴的截距互为相反数的直线方程为答案：yx或xy10学生用书P113(单独成册)A基础达标1在x轴和y轴上截距分别是2，3的直线方程是()A2x3y60B3x2y60C3x2y60 D2x3y60解析：选C直线的
6、截距式方程为1，化为一般式方程为3x2y602已知直线l的方程为9x4y36，则l在y轴上的截距为()A9 B9C4 D4答案：B3已知直线AxByC0在两坐标轴上的截距相等，则系数A、B、C满足的条件是()AAB B|A|B|且C0CAB或C0 DAB且C0答案：C4不论m为何值，直线(m1)xy2m10恒过定点()A B(2，0)C(2，3) D(2，3)解析：选D直线化为点斜式为y3(m1)(x2)，所以直线恒过定点(2，3)，故选D5等边PQR中，P(0，0)、Q(4，0)，且R在第四象限内，则PR和QR所在直线的方程分别为()AyxBy(x4)Cyx和y(x4)Dyx和y(x4)解析
7、：选D易知R(2，2)，由两点式知D正确6已知ABC0，则直线AxByC0必过定点解析：令xy1，得ABC0，所以过定点(1，1)答案：(1，1)7直线(2a27a3)x(a29)y3a20的倾斜角为45，则实数a解析：由题意斜率存在，倾斜角为45，即k1所以1，解得a或3当a3时，2a27a3与a29同时为0，所以应舍去，所以a答案：8直线(2t3)x2yt0不经过第二象限，则t的取值范围是解析：由题意得直线的斜率k0，且在y轴上的截距0，解得0t答案：9已知直线l：kxy12k0(kR)(1)求证：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围解：(1)证明：直线l的方程可变形为
8、y1k(x2)令得所以无论k取何值，直线总经过定点(2，1)(2)当k0时，直线l为y1，符合条件当k0时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k0综上可知，k的取值范围是k|k010菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程解：设菱形的四个顶点为A、B、C、D，如图所示根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A、B、C、D在坐标轴上，且A、C关于原点对称，B、D也关于原点对称所以A(4，0)，C(4，0)，B(0，3)，D(0，3)，由截距式，得直线AB的方程为1，即3x4y120；直线BC的方程为1
9、，即3x4y120；直线AD的方程为1，即3x4y120；直线CD的方程为1，即3x4y120B能力提升11已知ab0，bc0，则直线axbyc通过()A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限解析：选C把直线方程化为斜截式，得yx，因为ab0，bc0，0所以直线经过第一、三、四象限12已知直线l：x2y0和两个定点A(1，1)，B(2，2)，点P为直线l上的一动点，则使|PA|2|PB|2取得最小值的P点坐标为解析：设P点坐标为P(x，y)，则x2y，所以|PA|2|PB|2(x1)2(y1)2(x2)2(y2)210(y)2，所以当y时，|PA|2|PB|
10、2最小，最小值为，此时x2y2，所以P点坐标为(，)答案：(，)13设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)，(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解：(1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴的截距为零，显然相等，所以当a2时，方程为3xy0；当a2时，由a2，解得a0，所以直线l的方程为xy20综上所述，所求直线l的方程为3xy0或xy20(2)将直线l的方程化为y(a1)xa2，所以解得a1所以a的取值范围为a114(选做题)已知实数a(0，2)，直线l1：ax2y2a40和l2：2xa2y2a240与两坐标轴围成一个四边形(1)求证
11、：无论实数a取何值，直线l2必过定点，并求出定点坐标；(2)求实数a取何值时，所围成的四边形面积最小？最小面积是多少？解：(1)因为直线l2：2xa2y2a240，所以a2(y2)(2x4)0，所以直线l2恒过直线y2和2x40的交点由，得，所以交点坐标为(2，2)即无论a取何值时，直线l2恒过定点且定点坐标为(2，2)(2)因为直线l1：ax2y2a40，l2：2xa2y2a240，所以直线l1与y轴的交点为A(0，2a)，直线l2与x轴的交点为B(a22，0)因为直线l1：ax2y2a40也恒过定点C(2，2)，所以过点C作x轴的垂线，垂足为D，S四边形AOBCS梯形AODCSBCD(2a2)2a22a2a4(a)2因为a(0，2)，所以当a时，S四边形AOBC最小，最小值是即实数a时，所围成的四边形面积最小，最小值是