1、专题十九 平面向量的数量积及其应用 考点42 考点43 考点44 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42平面向量的数量积 1.(2016课标,理3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8【答案】D 由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)b,得43+(m-2)(-2)=0,解得m=8,故选D.2.(2014 课标,理 3)设向量 a,b 满足|a+b|=10,|a-b|=6,则ab=()A.1B.2C.3D.5【答案】A|a+b|=10,(a+b)2=10,即 a2+b2+2ab=10.|a-b|=6,(a-b)2
2、=6,即 a2+b2-2ab=6.由可得 ab=1.故选 A.考点42 考点43 考点44 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 3.(2017 天津,理 13)在ABC 中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 ,=(R),且 =-4,则 的值为 .【答案】311【解析】=2 ,=+=+23 =+23()=23 +13 .又 =,A=60,AB=3,AC=2,=-4.=3212=3,23 +13 ()=-4,即23 2 13 2+3-23 =-4,23 4-139+3-23 3=-4,即113-5=-4,解得=311.考点42 考点43 考点44 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练
3、4.(2013 课标,理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 =.【答案】2 【解析】以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点 A 的坐标为(0,0),点 B 的坐标为(2,0),点 D 的坐标为(0,2),点 E 的坐标为(1,2),则 =(1,2),=(-2,2),所以 =2.考点42 考点43 考点44 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 5.(2013课标,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,则t=.【答案】2【解析】c=ta+(1-t)b,bc=tab+(1
4、-t)|b|2.又|a|=|b|=1,且a与b夹角为60,bc,0=t|a|b|cos 60+(1-t),0=t+1-t.t=2.12 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 1.数量积的定义:已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积,记作 ab,即 ab=|a|b|cos.规定:0a=0.2.数量积的几何意义:数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积.显然,b 在 a 的方向上的投影|b|cos=|.3.数量积的性质:设 a,b 都是非零向量,e 是与 b 方向相
5、同的单位向量,是 a 与 e 的夹角,则(1)ea=ae=|a|cos;(2)abab=0;(3)当a 与 b 同向时,ab=|a|b|,当 a 与 b 反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2或|a|=;(4)cos=|;(5)|ab|a|b|.4.数量积的运算法则:(1)ab=ba(交换律);(2)(a)b=(ab)=a(b);(3)(a+b)c=ac+bc.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 典例导引 1(1)(2017 届山西临汾一中等五校三联)如图,在ABC中,ADAB,=3 ,|=1,则 的值为()A.1B.2C.3D.4(2)在菱形 A
6、BCD 中,对角线 AC=4,E 为 CD 的中点,则 =()A.8B.10C.12D.14(3)如图,BC,DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径,=2 ,则 的值是()A.-34B.-89C.-14D.-49试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44【解析】(1)(定义法)=|cos CAD.|=1,=|cos CAD.BAC=2+DAC,cos CAD=sin BAC.=|sin BAC.在ABC 中,由正弦定理得 sin=sin,变形得 ACsin BAC=BCsin B,所以 =|sin BAC=BC=3,故选 C.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练
7、考点42 考点43 考点44(2)(坐标法)特殊化处理,用正方形代替菱形,边长为 2 2,以 A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(2 2,2 2),E(2,2 2).所以 =(2 2,2 2),=(2,2 2).所以 =2 2 2+2 22 2=12.故选 C.(3)(转化法)=2 ,r=1,|=13,=(+)(+)=2+(+)+=13 2+0-1=-89,故选 B.【答案】(1)C(2)C(3)B 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 高招1三大方法(定义法、坐标法、转化法)解决平面向量数量积问题方法 解 读 适合题型 典例指引 定义
8、法 利用定义式 ab=|a|b|cos 求解.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解一般通过具体的图形来确定 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题 典例导引1(1)坐标法 利用坐标式 ab=x1x2+y1y2 解题.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要建立平面直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题 典例导引1(2)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 方法 解 读 适合题型 典例指引 转化法 求较复杂的向量数量积的运算时,可先利用向量数量积的运算律或
9、相关公式进行化简,再进行计算 适用于直接求解不易,而转化为其他向量的数量积的有关计算问题 典例导引1(3)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 高手解惑 典题(2017 四川资阳一诊)已知ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且满足 +2 +4 =0,则 =()A.-154B.-74C.74D.154【考生困惑】感觉所求的 无法和已知条件联系到一起.如何将已知条件 +2 +4 =0 通过转化得到所求的 ,采用什么运算方式达到转化目的是困惑点.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44【解惑绝招】第一步:明确转化法分析已知条件含有 ,三
10、个向量,观察所求 ,联系到 =,代入所求 =()=2,问题可以转化为求 ,这一步体现了利用“转化法”的指导作用.第二步:借助平方技巧如何将已知 +2 +4 =0 进行转化,达到消去 的目的是解题的关键.将已知变形为 2 +=-4 ,借助两边平方技巧,既能达到消去 的目的,又能得到 ,胜利就在眼前!第三步:回扣条件顺利求解利用ABC 的外接圆半径为 1,即|=|=|=1,化简第二步得到的等式,顺利求解.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44【解析】由 +2 +4 =0,得 2 +=-4 ,两边平方,得 4 2+2+4 =16 2.因为ABC 的外接圆半径为 1,所以
11、|=|=|=1.所以 4+1+4 =16.所以 =114.所以 =()=2=114-1=74.故选 C.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 典例导引 2(1)(2017 辽宁葫芦岛第二次考试)已知向量 a,b 满足|a|=1,ab,则向量 a-2b 在向量-a 方向上的投影为()A.0B.1C.2D.-1(2)圆 O 为ABC 的外接圆,半径为 2,若 +=2 ,且|=|,则向量 在向量 方向上的投影为 .【解析】(1)a-2b 在-a 方向上的投影为-(-2)|=-2-2|=-12-01=-1.故选 D.(2)+=2 ,O 是 BC 的中点.ABC 为直角三
12、角形.在AOC 中,有|=|,B=30.由定义,得向量 在向量 方向上的投影为|cos B=2 3 32=3.【答案】(1)D(2)3 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 高招2求向量a在向量b方向上的投影的方法方法 解 读 适合题型 典例指引 定义法 a 在 b 方向上的投影为|a|cos 能够明确向量夹角 典例导引2(2)数量积法 a 在 b 方向上的投影为|能够明确向量的数量积 典例导引2(1)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 1.(2016 陕西西安质检)已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2 3,且 a(a+
13、b),则 b 在 a 方向上的投影为()A.3B.-3C.-3 32D.3 32【答案】B 由 a(a+b)得 a(a+b)=0,即 a2+ab=0,于是 ab=-9,因此 b 在 a 方向上的投影为|=-93=-3.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 2.(2017 湖北黄冈调研)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E分别是边 AB,BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 的值为()A.-58B.18C.14D.118【答案】B 方法一:=,=+=12 +32 =12 +34 ,=12 +34 ()=18.故选 B.试做
14、真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 方法二:以 BC 为 x 轴,E 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.易知 A 0,32 ,B-12,0,E(0,0),C 12,0,D-14,34 .=2 ,设 F(x,y),14,-34 =2(x,y).x=18,y=-38.F 18,-38 .=18,-5 38 (1,0)=18+0=18.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 3.(2017 江西抚州七校联考)在 RtAOB 中,=0,|=5,|=2 5,AB 边上的高线为 OD,点 E 位于线段 OD 上,若 =34,则向量 在向量
15、方向上的投影为()A.32B.1C.1 或12D.12 或 32【答案】D 因为 =0,所以 OAOB,|AB|=5,SOAB=12ABOD=12OAOB.所以 OD=2.因为 =|cos DEA=34,所以|=34.所以(2-|)|=34,即|=12或|=32.故选 D.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 4.(2017 四川自贡普高一诊)在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,设 =2 ,=3 ,则 =.【答案】-14【解析】因为 =2 ,所以 D 为 BC 的中点,即 =12(+).因为 =3 ,所以 =+=+13 =13 =23 .所以 =12(+)2
16、3 -=13 2 12 2 16 =13 12 112=-14.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 考点43平面向量的长度与角度 1.(2016 课标,理 3)已知向量 =12,32 ,=32,12,则ABC=()A.30B.45C.60D.120【答案】A 由题意得cosABC=|=12 32+32 1211=32,所以ABC=30,故选 A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 2.(2017课标,理13)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.【答案】2 3【解析】因为|a+2b|2=(a+2
17、b)2=|a|2+4|a|b|cos 60+4|b|2=22+42112+41=12,所以|a+2b|=12=2 3.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 3.(2017 山东,理 12)已知 e1,e2 是互相垂直的单位向量,若 3e1-e2 与e1+e2 的夹角为 60,则实数 的值是 .【答案】33【解析】e1,e2 是互相垂直的单位向量,可设 a=3e1-e2=(3,-1),b=e1+e2=(1,).则=60.cos=cos 60=|=3-2 2+1=12,即 3-=2+1,解得=33.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44
18、 4.(2016课标,理13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.【答案】-2【解析】|a+b|2=|a|2+|b|2,(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 1.向量的长度(1)|a|=;|ab|2=a22ab+b2;(2)若 a=(x,y),则|a|=2+2;(3)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则|=(1-2)2+(1-2)2.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 2.向量的夹角(1)夹角的定义和范围(2)公式:cos=|或已
19、知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),cos=12+12 12+12 22+22.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 典例导引 3(1)(2017 河北唐山期末)设向量 a 与 b 的夹角为,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则 cos=()A.-35B.35C.55D.-2 55(2)若 a,b 均为非零向量,且(a-2b)a,(b-2a)b,则 a,b 的夹角为 .【解析】(1)因为(a+2b)-a=2b=(4,2),所以 b=(2,1).所以 cos=|=-4+1 5 5=-35,故选 A.(2)由(a-2b)a,(b-2a)b,得(-2)
20、=0,(-2)=0,即 2-2=0,2-2=0,所以 a2=b2=2ab,即|a|2=|b|2=2ab,cos=|=12.所以=3.【答案】(1)A(2)3试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 高招3四步求解两个非零向量之间的夹角步骤 解 读 1 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积 2 分别求出这两个向量的模或找出两个模之间的关系 3 根据公式 cos=|=12+12 12+12 22+22(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)求解这两个向量夹角的余弦值 4 根据两个向量夹角的范围为0,及其余弦值,求出这两个向量的夹角 试做真题 高手必备 萃取高招
21、对点精练 考点42 考点43 考点44 典例导引 4(1)已知平面向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,ab=-3,则|a+2b|=.(2)若向量 =(1,-3),|=|,=0,则|=.【解析】(1)因为|a+2b|2=a2+4b2+4ab=3+16-12=7,所以|a+2b|=7.(2)方法一:设 =(x,y),由|=|知,2+2=10.又 =x-3y=0,解得 x=3,y=1 或 x=-3,y=-1.当 x=3,y=1 时,|=2 5;当 x=-3,y=-1 时,|=2 5.所以|=2 5.方法二:由几何意义知,|就是以 ,为邻边的正方形的对角线长,所以|=2 5.【答案】(1)7(2
22、)2 5试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 高招4巧用公式法、几何法求解向量的模方法 解 读 典例指引 公式法 利用|a|=及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算 典例导引 4(1)几何法 利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,利用平面几何知识求解 典例导引 4(2)方法二 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 典例导引 5(1)已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 ABBC,若点 P 的坐标为(2,0),则|+|的最大值为()A.6B.7C.
23、8D.9(2)若平面向量 a,b 满足|2a-b|3,则 ab 的最小值是 .试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44【解析】(1)方法一:因为 AC 为 RtABC 的斜边,所以 AC 为圆x2+y2=1的一条直径,故 AC必经过原点,如图,则 +=2 ,|+|=|2 +|2|+|,当 P,O,B 三点共线时取等号,即当 B 落在点(-1,0)处时|+|取得最大值,此时,=(-2,0),=(-3,0),2|+|=22+3=7,故|+|的最大值为 7.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 方法二:同方法一,得|+|=|2 +|.又 =
24、,所以|+|=|2 +|=|-3|=2+9 2-6 =12+9 22-6 1 2POB=37-12POB 37+12=7,当且仅当POB=180时取等号,故|PA +PB +PC|的最大值为 7.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 方法三:同方法一,得|PA +PB +PC|=|2PO +PB|.设 B(cos,sin),则|2PO +PB|=|2(-2,0)+(cos-2,sin)|=|(-6+cos,sin)|=(-6+)2+2=37-12 37+12=7,当 cos=-1,即 B 落在点(-1,0)处时取等号.故|PA +PB +PC|的最大值为 7.(
25、2)由向量的数量积知,-|a|b|ab|a|b|a|b|-ab(当且仅当=时等号成立).由|2a-b|34|a|2-4ab+|b|299+4ab4|a|2+|b|24|a|b|-4abab-98(当且仅当 2|a|=|b|,=时取等号),所以 ab 的最小值为-98.【答案】(1)B(2)-98试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 高招5三法(代数法、几何法、不等式法)搞定向量模的最值方法 解 读 典例指引 代数法常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式,把所求的模表示成某个变量的函数,用求最值的方法求解 典例导引 5(1)方法二、三 几法 一般采用坐标化思想,将
26、所求的模赋予明显的几何含义,利用数形结合思想求解最值或者直接弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解 典例导引 5(1)方法一 不等式法借助不等式直接求解:|a|2=aa=a20;|ab|a|b|;|a|-|b|ab|a|+|b|典例导引 5(2)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 1.(2017 湖南郴州二测)已知 a,b 均为单位向量,且(2a+b)(a-2b)=-3 32,则向量 a,b 的夹角为()A.6B.4C.34D.56【答案】A 设向量 a,b 的夹角为,因为|a|=|b|=1,所以(2a+b)(a-2b)=-3ab=-3cos=-3
27、 32,即 cos=32,=6.故选 A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 2.(2017 云南大理一测)已知向量 a 与 b 的夹角为 30,且|a|=3,|b|=2,则|a-b|等于()A.1B.13C.13D.7-2 3【答案】A 因为 ab=|a|b|cos=3,所以|a-b|=(-)2=2-2+2=3-6+4=1.故选 A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 3.(2017 广东阶段测评)已知向量 ,满足 =+,|=2,|=1,E,F 分别是线段 BC,CD 的中点,若 =-54,则向量 与 的夹角为()A.6B.
28、3C.23D.56【答案】B =2,=2,=-22 22+5 4=-52+54 =-54.=1,cos=12.与 的夹角为3.故选 B.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 考点44平面向量的综合应用 1.(2017 课标,理 12)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则 (+)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1【答案】B 以 BC 所在的直线为 x 轴,BC 的垂直平分线 AD 为 y轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知 A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设 P(x,y),则 =(-x,3-y
29、),=(-1-x,-y),=(1-x,-y).所以 +=(-2x,-2y).所以 (+)=2x2-2y(3-y)=2x2+2-32 2 32-32.当点 P 的坐标为 0,32 时,(+)取得最小值为-32,故选B.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 2.(2017 课标,理 12)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C为圆心且与 BD 相切的圆上.若 =+,则+的最大值为()A.3B.2 2C.5D.2【答案】A 建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,1),B(0,0),D(2,1).设 P(x,y),由|BC|CD|=|BD|r
30、,得 r=|=21 5=2 55,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 易知 =(x,y-1),=(0,-1),=(2,0).由 =+,得 =2,-1=-,所以=2,=1-y,所以+=12x-y+1.设 z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点 P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心 C 到直线12x-y+1-z=0 的距离 dr,即|2-|14+1 2 55,解得 1z3,所以 z 的最大值是 3,即+的最大值是 3,故选 A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44
31、3.(2015 课标,理 5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:22-y2=1 上的一点,F1,F2是 C 的两个焦点.若1 2 0,则 y0 的取值范围是()A.-33,33 B.-36,36 C.-2 23,2 23 D.-2 33,2 33 【答案】A 由条件知 F1(-3,0),F2(3,0),1 =(-3-x0,-y0),2 =(3-x0,-y0),1 2 =02+02-30.又022 02=1,02=202+2.代入得02 13,-33 y00.=9-()=9 9-+=1911cos 120-1912cos 180-11cos 120+12cos 60=-118+29+2+1=1
32、718+29+2 1718+2 29 2=2918,当且仅当=23时等号成立.故应填2918.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 向量数量积在几何中的应用(1)证明线段平行问题,常用向量平行(共线)的充要条件aba=bx1y2-x2y1=0.(2)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件 abab=0 x1x2+y1y2=0.(3)求夹角问题,常用公式 cos=|=12+12 12+12 22+22.(4)求线段的长度,可以用向量的线性运算,向量的模|a|=2+2或|AB|=|=(2-1)2+(2-1)2.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43
33、 考点44 典例导引 6(1)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,BAD=60,E 为 CD的中点.若 =1,则 AB 的长为 .(2)已知菱形 ABCD 的边长为 2,BAD=120,点 E,F 分别在边BC,DC 上,BC=3BE,DC=DF.若 =1,则 的值为 .试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44【解析】(1)方法一:由题意可知 =+,=-12 +.因为 =1,所以(+)-12 +=1,即 2+12 12 2=1.因为|=1,BAD=60,所以 =12|.因此式可化为 1+14|-12|2=1,解得|=0(舍去)或|=12.所以 AB 的长为12.试
34、做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 方法二:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,过点 D 作 DMAB 于点 M.由 AD=1,BAD=60,可知 AM=12,DM=32.设|AB|=m(m0),则 B(m,0),C +12,32 ,D 12,32 .因为 E 是 CD 的中点,所以 E 2+12,32 .所以 =12-2,32 ,=+12,32 .由 =1 可得 +12 12-2+34=1,即 2m2-m=0.所以 m=0(舍去)或 m=12.故 AB 的长为12.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考
35、点44(2)如图,由题意可得 =|cos 120=22-12=-2.在菱形 ABCD 中,易知 =,=,所以 =+=+13 ,=+=1 +,=+13 1 +=4+43-2 1+13=1,解得=2.【答案】(1)12(2)2试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 高招6用向量解决平面几何问题的“三部曲”步骤 解 读 1 建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如平行、垂直和距离、夹角等问题 3 把运算结果“翻译”成几何关系 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点
36、43 考点44 1.(2016 湖北宜昌一模)已知ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若3 +4 +5 =0,则AOC 的面积为()A.25B.12C.310D.65【答案】A 由题意得 3 +5 =-4 ,则(3 +5 )2=(-4 )2,即 9+235 +25=16,cos AOC=-35,sin AOC=45,SAOC=121145=25.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 2.(2016 辽宁大连质检)设 F1,F2 为椭圆24+y2=1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于 P,Q 两点,当四边形 PF1QF2 面积最大时,1 2 的
37、值等于()A.0B.2C.4D.-2【答案】D 由题意得c=2-2=3,四边形12=212=212|F1F2|h(h 为PF1F2 的边 F1F2 上的高),所以当 h=b=1 时,四边形12取最大值,此时F1PF2=120,|1|=|2|=2.所以当四边形 PF1QF2 面积最大时,1 2 =|1|2|cos 120=22-12=-2.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 3.(2017 河北武邑中学四调)向量 a=(cos 25,sin 25),b=(sin 20,cos 20),若 t 是实数,且=a+tb,则|的最小值为()A.2B.1C.22D.12【
38、答案】C 由题意得=a+tb=(cos 25+tsin 20,sin 25+tcos20),则|=(cos25+sin20)2+(sin25+cos20)2=1+2+2sin45=1+2+2,t 是实数,由二次函数的性质知当 t=-22 时,|取到最小值,最小值为 22.故选 C.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点42 考点43 考点44 4.(2017 辽宁盘锦模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1),点 C 在第一象限内,AOC=6,且 OC=2,若 =+,则+的值是 .【答案】3+1【解析】点 C 在第一象限内,AOC=6且 OC=2,点 C 的横坐标 xC=2cos6=3,纵坐标 yC=2sin6=1,故 =(3,1).而 =(1,0),=(0,1),则 +=(,).由 =+得 =3,=1,+=3+1.故答案为 3+1.