1、高考资源网（） 您身边的高考专家117柱、锥、台和球的体积1了解祖暅原理2理解柱、锥、台体的体积公式的推导3会求柱、锥、台、球的体积1长方体的体积公式V长方体abcSh其中a、b、c分别是长方体的长、宽和高，S、h分别是长方体的底面积和高2祖暅原理幂势既同，则积不容异这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等3祖暅原理的应用等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等4柱、锥、台、球的体积其中S表示底面积，h表示高，r和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱r2h锥体棱锥S
2、h圆锥r2h台体棱台h(SS)圆台h(r2rrr2)球R3把锥体用平行于底面的平面截开，截得的小锥体的体积与原锥体的体积之比等于截得小锥体的高度与原锥体的高度之比的立方1已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是123，体对角线的长为2，则这个长方体的体积是()A6B12C24D48答案：D2若圆锥的母线长是8，底面周长为6，则其体积是()A9 B9 C3 D3答案：C3把直径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为()A3 cm B6 cm C8 cm D12 cm解析：选B设大铁球的半径为R，则有R3，解得R6柱体的体积棱柱ABCABC的侧面AACC的面
3、积为S，且这个侧面到与它相对的侧棱BB之间的距离为a，求这个棱柱的体积【解】如图，过侧棱BB、CC分别作侧面AC、AB的平行平面，DD是交线，再伸展两底面，得到平行六面体ABDCABDC因为侧面AACC的面积为S，设此面为底面，则平行六面体BDDBACCA的高为a，所以V平行六面体Sa又V棱柱ABCABCV平行六面体，所以V棱柱ABCABC当所给几何体的体积不易求出时，我们可以通过“割补法”，使之变形为我们熟悉的几何体去解决 正三棱柱侧面的一条对角线长为2且与该侧面内的底边所成角为45，求此三棱柱体积解：如图为正三棱柱ABCA1B1C1，则有AB12，B1AB45，所以ABBB1，所以SABC
4、，所以V三棱柱，即此三棱柱的体积为锥体、台体的体积四边形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积【解】因为C(2，1)，D(0，3)，所以圆锥的底面半径r2，高h2所以V圆锥r2h222，因为B(1，0)，C(2，1)，所以圆台的两个底面半径R2，R1，高h1所以V圆台h(R2R2RR)1(221221)，所以VV圆锥V圆台5在多面体和旋转体的有关计算中通常将其转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底
5、面上的投影构成的直角三角形；对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2求正四棱台的体积解：如图所示，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1B110 cm，AB20 cm取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形由S侧4(1020)E1E780得EE113(cm)在直角梯形EOO1E1中，O1E1A1B15(cm)，OEAB10(cm)，所以O1O12(cm)，V正四棱台12
6、(1022021020)2 800(cm3)故正四棱台的体积为2 800 cm3球的体积过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且ABBCCA3 cm，求球的体积和表面积【解】如图，设过A、B、C三点的截面为圆O，连接OO、AO、AO因为ABBCCA3 cm，所以O为正三角形ABC的中心，所以AOAB (cm)设OAR，则OOR，因为OO截面ABC，所以OOAO，所以AOR，所以R2 (cm)，所以V球R3(cm3)，S球4R216(cm2)即球的体积为 cm3，表面积为16 cm2球的体积的求法及注意事项(1)要求球的体积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代
7、入体积公式求解(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的体积的相关题目也就易如反掌了(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其体积此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆 若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的()A3倍B9倍C27倍 D3 倍解析：选D设变化前、后两球的半径分别为r、R，则有，所以 所以 故选D1多面体与旋转体的体积公式只要求我们了解，但结论“等底面积、等高的两个棱锥的体积相等”必须记熟且学会对它的熟悉运用，柱体、锥体、台体的体积
8、关系如下：2在推导棱锥的体积公式时，是将三棱柱分成三个三棱锥，这三个三棱锥变换它们的底面和顶点，可以得到它们两两之间等底面积、等高，因此它们的体积相等，都等于三棱柱体积的三分之一在这个过程中，一是运用了等体积转换的方法，二是运用了割补法，这些方法在今后解题时要灵活运用1求几何体的体积，需要求与其体积有关的各个量，但有时各个量不一定都要求出，而只需求出与其体积有关的各量的组合2“割补”是求体积的一种常用策略运用时，要注意弄清“割补”前后几何体体积之间的数量关系3解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体1已知一个
9、圆柱底面直径和母线长均为4，则该圆柱的体积为()A2 B4C8 D16解析：选DV圆柱R2h224162将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是()AR3 BR3CR3 DR3答案：A3若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为_答案：4若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是_cm3解析：题图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由题中所给公式计算得体积为V(4464)3442144(cm3)答案：144,学生用书P89(单独成册)A基础达标1若一个长方体有相同顶点的三个面的面积分别是、，则这个长方体的体积为()A2B3C6 D解析：选D因为ab，
10、ac，bc所以a2b2c26，所以Vabc2已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1V2()A13 B11C21 D31解析：选DV1V2(sh)(sh)313若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A BC1 D2解析：选C该几何体的直观图为直三棱柱ABCA1B1C1，如图所示，其体积为V11故选C4把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为()A BC D解析：选C因为r2hR3，所以R 5用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A BC8 D解析：选D设截面圆的半径为r，则r2，故
11、r1，由勾股定理求得球的半径为，所以球的体积为()3，故选D6已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于_解析：V球R3，所以R2设正方体的棱长为a，则2R，所以3a216，所以a答案：7正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为528，体积为14 cm3，则棱台的高为_解析：如图所示，设正四棱台AC的上底面边长为2a，则斜高EE和下底面边长分别为5a、8a高OO4a又因为4a(64a24a2)14，所以a，即高为4a2 cm答案：2 cm8圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm解析：设球的半
12、径为x cm，由题意得x28x26xx33，解得x4答案：49根据图中标出的尺寸，求各几何体的体积解：(1)该几何体是圆锥，高h10，底面圆半径r3，所以底面积Sr29，则VSh91030(2)该几何体是正四棱台，底面中心连线就是高h6，上底面积S上64，下底面积S下144，则V(S上S下)h(64144)660810一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个正三棱锥的体积解：如图，正三棱锥SABC中，设H为ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高连接AH，延长后交BC于E，则E为BC的中点，且AEBC由于ABC是边长为6的正三角形，所以AE63所以AHAE2在RtSHA中，SA
13、，AH2，所以SH 在ABC中，SABCBCAE639所以VSABC99B能力提升11圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a，下底边长为2a，对角线长为a，则这个圆台的体积是()Aa3 Ba3Ca3 Da3解析：选D如图，由ADa，AB2a，BDa，知ADB90取DC中点E，AB中点F，分别过D点、C点作DHAB，CGAB，知DHa所以HB a所以DEHFa所以V圆台aa312球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_解析：当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为 高为该圆锥的体积为r3，
14、球体积为r3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为答案：或13圆台上底的面积为16 cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？解：首先，圆台的上底的半径为4 cm，于是S圆台侧(rr)l100(cm2)其次，如图，圆台的高hBC 4(cm)，所以V圆台h(SS)4(1636)(cm3)14(选做题)在半径为15的球O内有一个底面边长为12的内接正三棱锥ABCD，求此正三棱锥的体积解：如图甲所示的情形，显然OAOBOCOD15设H为BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上因为HBHCHD1212，所以OH9，所以正三棱锥ABCD的高h91524又SBCD(12)2108，所以V三棱锥ABCD10824864对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥ABCD的高h1596，SBCD108，所以V三棱锥ABCD1086216综上，可知正三棱锥的体积为864或216高考资源网版权所有，侵权必究！