1、116棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图2理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念3会用公式求棱柱、棱锥、棱台、球的表面积1直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积名称侧面展开图公式备注直棱柱矩形S直棱柱侧chc为底面多边形的周长，h为棱柱的高正棱锥三角形S正棱锥侧nahcha为底面边长，c为底面周长，h为斜高正棱台梯形S正棱台侧n(aa)h(cc)ha为下底面边长，a为上底面边长，c为下底面周长，c为上底面周长，h为斜高2球的表面积公式：S4R2，其中R为球半径语言叙述：球面面积等于它的大圆面积的4倍3圆柱、圆锥、圆台的侧面积名称侧面展开图公式备注圆柱矩形S圆柱侧2RhR为底
2、面圆半径，h为圆柱的高圆锥扇形S圆锥侧clRlc为底面周长，l为母线长，R为底面圆半径圆台扇环S圆台侧(r1r2)l(c1c2)lr1，r2分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线1底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是()A2B4C6 D8解析：选D由题意知，底面边长为1，直棱柱的高为2，所以S侧41282若球的大圆周长为C，则这个球的表面积是()A BC D2C2解析：选C设球的半径为R，则C2R所以R，所以S4()23如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为()A B2C3 D4解析：选C设圆锥的母线长为l
3、，则l2，所以圆锥的表面积S1(12)34如何认识圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间的变化关系？解：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为：S圆柱侧2rlS圆台侧(r1r2)lS圆锥侧rl简单几何体的表面积正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积【解】如图，设PO3，PE是斜高，因为S侧2S底所以4BCPE2BC2所以BCPE在RtPOE中，PO3，OEBCPE所以9()2PE2，所以PE2所以S底BC2PE2(2)212S侧2S底21224所以S表S底S侧122436求棱柱、棱锥、棱台表面积的基本步骤(1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积(2)求出其底面的面积(3)求和得到表
4、面积 已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高解：如图，正三棱台ABCA1B1C1中，O、O1为两底面中心，D、D1是BC、B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高已知A1B120 cm，AB30 cm，则OD5 cm，O1D1 cm由S侧S上S下，得S侧(6090)DD1(202302)，解得DD1(cm)在直角梯形O1ODD1中，O1O 4(cm)，即棱台的高为4 cm组合体的面积如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20B24C28 D32【解析】该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面
5、圆的面积组成其中，圆锥的底面半径为2，母线长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，故所求表面积S242242228【答案】C求组合体表面积时应注意的问题(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减(2)在求组合体的表面积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”的定义，以确保不重复、不遗漏 如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？解：几何体的表面积为S622(05)222052240522415球的表面积在球内有相距1 cm的两个平行截面，截面积分别是5 cm2和8 cm2，
6、求球的表面积【解】(1)当球心不在两截面之间时，画出截面图如图所示圆O是球的大圆，A1B1、A2B2分别是两个平行截面圆的直径，过O作OC1A1B1于C1，延长OC1至边A2B2于C2由于A1B1A2B2，所以OC2A2B2由圆的性质可得，C1和C2分别是A1B1和A2B2的中点设两平行平面的半径分别为r1和r2，且r1r2，依题意r8，r5，所以r8，r5，因为OA1和OA2都是球的半径R，所以OC1，OC2，所以1，解这个方程得R29所以S球4R236(cm2)(2)当球心在两截面之间时，由(1)可得OC1OC21，即1无解故球的表面积为36 cm2求球的表面积的方法(1)把握球的表面积公
7、式S4R2是计算表面积的关键，半径与球心是确定球的条件，把握这两点，球的表面积问题也就迎刃而解了(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方 1两个球的半径之比为13，那么两个球的表面积之比为()A19B127C13 D11解析：选A设两球的半径分别为R1，R2，因为R1R213，所以两球的表面积之比为S1S24R4RRR192有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解：设正方体的棱长为a(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面如图(1)，所以有2r1a，r1，所
8、以S14ra2(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)，2r2a，r2a，所以S24r2a2(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2综上可得S1S2S31231棱柱、棱锥、棱台的表面都可以展开成平面，它们的表面积都是根据展开图的性质求得运用侧面展开图解决有关问题是非常重要的手段，它体现了空间与平面问题相互转化的思想方法2棱柱、棱锥和棱台的侧面积公式的内在联系必须明确，这样有利于认识这三种几何体的本质，也有利于区分这三种几何体正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系如下：1在
9、求面积的问题中，要注意应用所学的几何体的定义和性质2对于面积的计算，有些可以用表示数字的字母进行计算，有些可以保留准确值及表示圆周率的字母，有些实际应用的问题要根据要求的精确度取值3将正棱锥的高与斜高混淆，对几个重要的三角形应用不熟练，导致错误实际上正棱锥的高是顶点向底面作垂线，顶点与垂足间的距离；而斜高是顶点向底面多边形的边作垂线，顶点与垂足间的距离1一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()A280B292C360 D372解析：选C由三视图知，该几何体由上、下2个长方体组合而成下面长方体的长、宽、高分别为8、10、2，上面长方体的长、宽、高分别为6、2、8，所以S表21082(810
10、)22(26)8360故选C2矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为()A12 B11C14 D41解析：选B以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S12214，以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S22124，所以S1S244113一个圆锥的底面半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为_解析：S侧Rl28答案：84已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是_答案：学生用书P87(单独成册) A基础达标1已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为()A22B20C10 D11解析：选A所求长方体的表面积S2(12)2(
11、13)2(23)222底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是9和15，高是5，则这个棱柱的侧面面积是()A130 B140C150 D160解析：选D如图，直棱柱ABCDA1B1C1D1，AA1BB1CC1DD15，BD19，A1C15，可求得AC10，BD2所以ABBCC1B1A1B18，所以棱柱侧面积为4581603若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A12 B1C1 D2解析：选C设圆锥的高为a，则底面半径为，所以S底，S侧a2，所以，故选C4已知球的表面积为16，则它的内接正方体的表面积S的值是()A4 B32C24 D12解析：选B设球的内接正方体的棱长为a，由
12、题意知球的半径为2，则3a216，所以a2，正方体的表面积S6a26325若一个正三棱柱(底面是等边三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为()A18 B15C248 D2416解析：选C由三视图知，底面正三角形的高为2，设边长为a，则a2，所以a4S底2428，又棱柱的高为2，所以S侧34224所以S表面积2486若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则_解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S16，S24所以S1S232答案：7正方体的表面积是a2，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是_解析：设正方体的棱长为x，
13、球的半径为R，则6x2a2，得xa球的半径Raa则S球4R2a2答案：a28如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_解析：该几何体是由球和圆柱组成的组合体S球4R24，S圆柱侧2Rh6，S底2R22，所以S表面积46212答案：129正三棱锥底面边长为a，高为a，求此棱锥的侧面积解：如图，设斜高h，则ha，所以侧面积S3aaa210已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)判断该几何体的形状；(2)求该几何体的体积V与侧面积S解：(1)由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在
14、底面的射影是矩形中心的四棱锥(2)作出该几何体的直观图，如图，E、F分别为AB、BC的中点，则AB8，BC6，PO4V(86)464在RtPOF中，PF4，所以SPBC6412，在RtPOE中，PE5，所以SPAB8520，所以侧面积为2(1220)2440B能力提升11球面上三点A、B、C，若AB18，BC24，AC30，且球心到ABC所在平面的距离等于球半径的一半，则这个球的表面积为()A B300C1 200 D1 600解析：选C由题意知ABC为直角三角形，设ABC所在圆面半径为r，则AC2r30，所以r15，设球半径为R，则rR，所以Rr10，所以S球4R21 20012一个长方体的
15、各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为_解析：因为2R，所以R，所以S球4R214答案：1413有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，求该几何体的表面积解：由图知：该几何体是一个圆锥，它的底面半径为3 cm，母线长为5 cm，高为4 cm，则它的表面积为：Sr2rl24 cm214(选做题)一圆锥底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)问：x为多大时，圆柱的侧面积最大？解：(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图所示，设所求圆柱的底面半径为r，它的侧面积S圆柱侧2rx，因为，所以rRx，所以S圆柱侧2Rxx2(0x0，且0H，满足题意，所以当x时，圆柱的侧面积最大