1、最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系第3讲等比数列及其前n项和1等比数列的定义如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比等于_非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母q(q0)表示.知 识 梳 理2同一个公比数学语言表达式：anan1_(n2，q 为非零常数)，或an1anq(nN*，q 为非零常数)q2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an_；通项公式的推
2、广：anamqnm.a1qn1(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sn_a1anq1q.a1（1qn）1q 3等比数列及前n项和的性质(1)如果_成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列_.(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akal_(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为_(4)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_a，G，bG2abamanqmqn诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”
3、)精彩 PPT 展示(1)满足 an1qan(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列()(2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2ac.()(3)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sna（1an）1a.()(4)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8 成等比数列()2已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()A7 B5 C5 D7解析 法一 由题意得a4a7a1q3a1q62，a5a6a1q4a1q5a21q98，q32，a11或q312，a18，a1a10a1(1q9)7.法二 由a4a72，a5a6a4a78，解得a42，a
4、74或a44，a72.q32，a11或q312，a18，a1a10a1(1q9)7.答案 D3(2014大纲全国卷)设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6()A31 B32C63 D64 解析 由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.故选C.答案 C4(2014广东卷)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_ 解析 由等比数列的性质可知，a10a11a9a122e5，所以a10a11e5，于是ln a1ln a2ln a2010ln(a10a11)10ln e550.
5、答案 505(人教A必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_ 解析 设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.所以插入的两个数分别为9327，27381.答案 27，81考点一 等比数列中基本量的求解【例1】(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于()A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列an中，a42，a716，则 an_(3)在等比数列an中，a2a518，a3a69，an1，则 n_解析(1)显然公比 q1，由题意得a1qa1q31，a1（1q3）1q7，
6、解得a14，q12或a19，q13(舍去)，S5a1（1q5）1q41 125112314.答案(1)B(2)2n3(3)6规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解(2)由a7a4q38，知 q2，所以 ana4qn422n42n3.(3)因为 a3a6q(a2a5)，所以 q12，由 a1qa1q418，知 a132，所以 ana1qn11，解得 n6.【训练1】在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前n项和解 设该数列的公比为 q，由
7、已知可得 a1qa12，4a1q3a1a1q2，所以 a1(q1)2，q24q30，解得 q3 或 q1.由于 a1(q1)2，因此 q1 不合题意，应舍去故公比 q3，首项 a11.所以数列的前 n 项和 Sn3n12.考点二 等比数列的性质及应用【例2】(1)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10()A4 B5 C6 D7(2)等比数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S5 3132，则公比 q_解析(1)法一 由等比中项的性质得 a3a11a2716，又数列an各项为正，所以 a74.所以 a10a7q332.所以log2a105.法二
8、设等比数列的公比为 q，由题意知，an0，则 a3a11a27a10q3 2 126a21024，所以 a210210，解得 a1025.故 log2a105.规律方法(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用(2)由S10S5 3132，a11 知公比 q1，则S10S5S5 132.由等比数列前 n 项和的性质知 S5，S10S5，S15S10 成等比数列，且公比为 q5，故 q5 132
9、，q12.答案(1)B(2)12【训练 2】(1)已知 x，y，zR，若1，x，y，z，3 成等比数列，则 xyz 的值为()A3 B3 C3 3D3 3(2)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6 等于()A5 2B7 C6 D4 2解析(1)由等比中项知 y23，y 3，又y 与1，3 符号相同，y 3，y2xz，所以 xyzy33 3.(2)把 a1a2a3，a2a3a4，a7a8a9 各看成一个整体，由题意知它们分别是一个等比数列的第 1 项、第 4 项和第 7 项，这里的第4 项刚好是第 1 项与第 7 项的等比中项因为数列an的各项均为
10、正数，所以 a4a5a6（a1a2a3）（a7a8a9）5105 2.答案(1)C(2)A考点三 等比数列的判定与证明【例3】已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式深度思考 若本题除去第(1)问后如何求bn？在这里给大家介绍一种方法：构造法，如本例中构造等比数列an1(1)证明 anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an11an1 12，an1是等比数列又 a1a11，a112，首项 c1a11，c112，公比 q12.又
11、cnan1，cn是以12为首项，以12为公比的等比数列(2)解 由(1)可知 cn12 12n112n，ancn1112n.当 n2 时，bnanan1112n112n112n112n12n.又 b1a112代入上式也符合，bn12n.规律方法 证明数列an是等比数列常用的方法：一是定义法，证明 anan1q(n2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a2nan1an1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法【训练3】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列bn中的b3，b4，b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前 n
12、 项和为 Sn，求证：数列Sn54 是等比数列(1)解 设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad，依题意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次为7d，10，18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3项为5，公比为2，由 b3b122，即 5b122，解得 b154.所以bn是以54为首项，2 为公比的等比数列，其通项公式为 bn542n152n3.(2)证明 数列bn的前 n 项和 Sn54（12n）1252n254，即 Sn5452n2.所以 S15452，Sn154Sn5452n152n22.因此Sn54是以52为首项，2 为
13、公比的等比数列思想方法1已知等比数列an(1)数列can(c0)，|an|，a2n，1an也是等比数列(2)a1ana2an1amanm1.2判断数列为等比数列的方法(1)定义法：an1an q(q 是不等于 0 的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用 anan1q(q 是不等于 0 的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是 n 的初始值不同(2)等比中项法：a2n1anan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列易错防范1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误4Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立.