1、最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系第2讲等差数列及其前n项和1等差数列的定义如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数)知 识 梳 理2同一个常数公差2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an_通项公式的推广：anam_(
2、m，nN*)(2)等差数列的前n项和公式a1(n1)d(nm)dSnn（a1an）2_(其中 nN*，a1为首项，d 为公差，an 为第 n 项)na1n（n1）2d3等差数列及前n项和的性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A_(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)ab2md(6)若 n 为偶数，则 S 偶S 奇nd2；
3、4等差数列的前n项和公式与函数的关系数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)5等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_值；若a10，d0，则Sn存在最_值Snd2n2a1d2 n.大小1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列.()诊 断 自 测2(2014福建卷)等差数列an的前n项和为Sn，若
4、a12，S312，则a6等于()A8 B10 C12 D14解析 由题知 3a1322 d12，a12，解得 d2，又 a6a15d，a612.故选 C.答案 C3(2013新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4 C5 D6解析 数列an为等差数列，且前 n 项和为 Sn，数列Snn 也为等差数列 Sm1m1 Sm1m12Smm，即 2m13m10，解得 m5，经检验为原方程的解，故选 C.答案 C4(2014北京卷)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大 解析 因为数列an是等差数列，且a7a8a
5、93a80，所以a80.又a7a10a8a90，所以a90.当n8时，其前n项和最大 答案 85(人教A必修5P68A8改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_ 解析 由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.答案 180考点一 等差数列的性质及基本量的求解【例1】(1)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6 B4 C2 D2 解析 法一(常规解法)：设公差为d，则8a128d4a18d，即a15d，a7a16d5d6dd2，所以a9a72d6.法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质可得，
6、S84(a3a6)，又S84a3，所以a60，又a72，所以a84，a96.答案 A(2)(2014浙江卷)已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn，a11，S2S336.求d及Sn；求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65.解 由题意知(2a1d)(3a13d)36，将a11代入上式解得d2或d5.因为d0，所以d2.从而an2n1，Snn2(nN*)由得amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.规律方法(1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程但要注意性质运用的条件，如mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN
7、*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷由 m，kN*知 2mk1k11，故2mk113，k15，所以m5，k4.【训练1】(1)设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于()A0 B37 C100 D37(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A13 B12 C11 D10(3)已知等差数列an的前n项和为Sn
8、，且S1010，S2030，则S30_解析(1)设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，anbn为等差数列，又a1b1a2b2100，anbn为常数列，a37b37100.(2)因为a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为a1ana2an1a3an2，所以3(a1an)180，从而a1an60，答案(1)C(2)A(3)60所以 Snn（a1an）2n602390，即 n13.(3)S10，S20S10，S30S20 成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S
9、3030，S3060.考点二 等差数列的判定与证明【例 2】(2014梅州调研改编)若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：1Sn 成等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明 当 n2 时，由 an2SnSn10，得 SnSn12SnSn1，所以 1Sn 1Sn12，又 1S1 1a12，故1Sn 是首项为 2，公差为 2 的等差数列(2)解 由(1)可得 1Sn2n，Sn 12n.当 n2 时，anSnSn1 12n12（n1）n1n2n（n1）12n（n1）.当 n1 时，a112不适合上式故 an12，n1，12n（n1），n2.
10、规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明anan1d(n2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an1anan2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法【训练2】(2015西安模拟)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 bn Snnc，是否存在非零实数 c 使得bn为等差数列？若存在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由 解(1)设等差数列an的公差为d，且d0，由等差数列的性质，得a2a5a3a422，所以a3，a4是关于x 的方程x222x117
11、0的解，所以a39，a413，易知a11，d4，故通项为an1(n1)44n3.(2)由(1)知 Snn（14n3）22n2n，所以 bnSnnc2n2nnc.法一 所以 b1 11c，b2 62c，b3 153c(c0)令 2b2b1b3，解得 c12.当 c12时，bn2n2nn122n，当 n2 时，bnbn12.故当 c12时，数列bn为等差数列法二 由 bn Snncn（14n3）2nc2nn12nc，c0，可令 c12，得到 bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为 2 的等差数列即存在一个非零常数 c12，使数列bn也为等差数列考点三 等差数列前n项和的最
12、值问题【例3】等差数列an的首项a10，设其前n项和为Sn，且S5S12，则当n为何值时，Sn有最大值？深度思考 解决此类问题你首先想到的是哪种方法？在这里提醒大家：本题可用四种方法，请大家先思考解 法一 由题意知 d0，因为 Snd2n2a1d2 n，则可设 f(x)d2x2a1d2 x，如图：由 S5S12 知，抛物线的对称轴为 x5122172，由图可知，当 1n8 时，Sn 单调递增；当 n9 时，Sn 单调递减又 nN*，所以当 n8 或 9 时，Sn 最大法二 设等差数列an的公差为 d，由 S5S12 得 5a110d12a166d，d18a10.所以 Snna1n（n1）2dn
13、a1n（n1）2(18a1)116a1(n217n)116a1n172228964 a1，因为 a10，nN*，所以当 n8 或 n9 时，Sn 有最大值法三 设等差数列an的公差为 d，由法二得 d18a10.设此数列的前 n 项和最大，则an0，an10，即ana1（n1）18 a10，an1a1n18 a10，解得n9，n8，即 8n9，又 nN*，所以当 n8 或 n9 时，Sn 有最大值规律方法 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)
14、看作二次函数，根据二次函数的性质求最值法四 同法二得 d18a10，又 S5S12，得 a6a7a8a9a10a11a120，7a90，a90，当 n8 或 9 时，Sn 有最大值【训练3】(1)等差数列an的前n项和为Sn，已知a5a74，a6a82，则当Sn取最大值时，n的值是()A5 B6 C7 D8(2)(2014望江中学模拟)设数列an是公差d0的等差数列，Sn为前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n的值为()A5 B6 C5或6 D11(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_解析(1)依题意得2a64，2a72，a620，a710；又数
15、列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6，选B.(2)由题意得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大，选C.(3)因为等差数列an的首项a120，公差d2，代入求和公式得，Snna1n（n1）2d20nn（n1）22 n221nn21222122，又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110.答案(1)B(2)C(3)110思想方法1判断数列为等差数列的方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列.(3)通项公
16、式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解3在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定易错防范1当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数2公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列3求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数)；若对称轴对应两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n值
