1、专题十六 三角恒等变换 考点35 考点36 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35三角函数式的化简与求值 1.(2016 课标,理 9)若 cos 4-=35,则 sin 2=()A.725B.15C.-15D.-725【答案】D 方法一:cos 2 4-=2cos2 4-1=2 35 2-1=-725,且 cos 2 4-=cos 2-2=sin 2,故选 D.方法二:由 cos 4-=35,得 22 cos+22 sin=35,即 22(cos+sin)=35,两边平方得12(cos2+sin2+2cos sin)=925,整理得 2sin cos=-725,即 sin 2=-7
2、25,故选 D.考点35 考点36 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 2.(2015 课标,理 2)sin 20cos 10-cos 160sin 10=()A.-32B.32C.-12D.12【答案】D sin 20cos 10-cos 160sin 10=sin 20cos 10+cos 20sin 10=sin(10+20)=sin 30=12.3.(2016 四川,理 11)cos28-sin28=.【答案】22【解析】由三角函数二倍角公式得,cos28-sin28=cos4=22.考点35 考点36 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 4.(2013 四川,理 13)设 s
3、in 2=-sin,2,则 tan 2 的值是 .【答案】3【解析】sin 2=-sin,2sin cos=-sin.又 2,cos=-12.sin=1-cos2=32.sin 2=-32,cos 2=2cos2-1=-12.tan 2=sin2cos2=3.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 1.两角和与差的三角函数公式(1)两角和与差的正弦公式:sin()=sin cos cos sin,R;(2)两角和与差的余弦公式:cos()=cos cos sin sin,R;(3)两角和与差的正切公式:tan()=tantan1tantan,2+k(kZ);(4)两角和与差
4、的正切公式的逆用:tan+tan=tan(+)(1-tan tan);tan-tan=tan(-)(1+tan tan).试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 2.二倍角公式(1)二倍角的正弦公式:sin 2=2sin cos;(2)二倍角的余弦公式:cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;(3)二倍角的正切公式:tan 2=2tan1-tan2;(4)降幂公式:sin cos=12sin 2;sin2=1-cos22;cos2=1+cos22;(5)升幂公式:1+sin 2=(sin+cos)2;1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2si
5、n2;(6)sin 2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2;cos 2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 典例导引 1(1)(2017 广东汕头模拟)设,0,2,且 tan-tan=1cos,则()A.3+=2B.2+=2C.3-=2D.2-=2(2)(2017 山西临汾一中等五校三联)若 tan-1tan=32,4,2,则 sin 2+4 的值为 .(3)设 0,2,若 cos +6=45,则 sin 2+12=.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36【解析】(1
6、)由 tan-tan=1cos,得sincos sincos=1cossin cos-sin cos=cos,即 sin(-)=sin 2-.因为,0,2,所以-=2-,即 2-=2,故选 D.(2)tan-1tan=32,4,2,sincos cossin=32,cos2sin2=-34.42,22-33,知 56,所以-,-23 ,从而有 2-,-2,所以 2-=-34,故选 C.【答案】(1)C(2)D(3)C 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 高招2三角函数求值的类型及方法类型 解 读 典例指引 给角求值 解决给角求值问题的关键是两种变换:一是角的变换,注意各
7、角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形 典例导引2(1)给值求值 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数式的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的 典例导引2(2)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 类型 解 读 典例指引 给值求角 实质上可转化为“给值求值”,关键也是变角,把
8、所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:已知正切函数值,选正切函数;已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数 典例导引2(3)温馨提醒 在求值的题目中,一定要注意角的范围,要做到“先看角的范围,再求值”试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 1.(2017 四川自贡一诊)已知 cos +23 =45,-20,则 sin +3+sin 等于()A.-4 35B.-3 35C.3 35D.4 35【答案】A 因为 cos +23 =45,所以 sin +3+sin=1
9、2sin+32 cos+sin=3 12 cos+32 sin=3cos-3=3cos +23 -=-3cos +23 =-4 35,故选 A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 2.(2017 湖北襄阳四校联考)为锐角,sin-4=210,则 tan+1tan=()A.2512B.724C.247D.1225【答案】A 因为 为锐角,且 sin-4=210,所以-4 0,2,所以 cos-4=7 210,所以 tan -4=17,即tan-tan 41+tantan 4=17,解得 tan=43,所以 tan+1tan=43+34=2512,故选 A.试做真题 高手必
10、备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 3.(2017 江西抚州联考)若 sin +6=13,则 tan 2+3=()A.79B.79C.4 27D.4 27【答案】D 由 sin +6=13,得 cos +6=1-sin2 +6=2 23,所以 tan +6=24,故 tan 2+3=tan 2 +6=2tan+6 1-tan2+6=4 27,故选 D.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 4.(2016 四川成都质检)若 sin 2=55,sin(-)=1010,且 4,32 ,则+的值是()A.74B.94C.54 或 74D.54 或 94【答案】A sin
11、2=55,4,cos 2=-2 55 且 4,2,又sin(-)=1010,32 ,cos(-)=-3 1010,sin(+)=sin(-)+2=sin(-)cos 2+cos(-)sin 2=1010 -2 55 +-3 1010 55=-22,cos(+)=cos(-)+2=cos(-)cos 2-sin(-)sin 2=-3 1010 -2 55 1010 55=22,又+54,2,+=74.故选 A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 考点36与三角函数化简求值相关的综合问题 1.(2014 课标,理 8)设 0,2,0,2,且 tan=1+sincos,则()
12、A.3-=2B.3+=2C.2-=2D.2+=2【答案】C 由已知,得sincos=1+sincos,sin cos=cos+cos sin.sin cos-cos sin=cos.sin(-)=cos,sin(-)=sin 2-.0,2,0,2,-2-2,02-b,a=5,c=6,sin B=35.(1)求 b 和 sin A 的值;(2)求 sin 2+4 的值.【解】(1)在ABC 中,因为 ab,故由 sin B=35,可得 cos B=45.由已知及余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos B=13,所以 b=13.由正弦定理 sin=sin,得 sin A=sin=3 1313
13、.所以,b 的值为 13,sin A 的值为3 1313.(2)由(1)及 ac,得 cos A=2 1313,所以 sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=1-2sin2A=-513.故 sin 2+4=sin 2Acos4+cos 2Asin4=7 226.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 3.(2017 浙江,18)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x-2 3sin xcos x(xR).(1)求 f 23 的值;(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间.【解】(1)由 sin23=32,cos23=-12,f 23 =32 2
14、-12 2-2 3 32 -12,得 f 23 =2.(2)由 cos 2x=cos2x-sin2x 与 sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin 2+6.所以 f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2+2k2x+6 32+2k,kZ,解得6+kx23+k,kZ,所以,f(x)的单调递增区间是 6+,23+(kZ).试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 4.(2015 山东,理 16)设 f(x)=sin xcos x-cos2 +4.(1)求 f(x)的单调区间;(2)在锐角ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为
15、 a,b,c.若 f 2=0,a=1,求ABC 面积的最大值.【解】(1)由题意知 f(x)=sin221+cos 2+2 2=sin22 1-sin22=sin 2x-12.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以 f(x)的单调递增区间是-4+,4+(kZ);单调递减区间是 4+,34+(kZ).试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36(2)由 f 2=sin A-12=0,得 sin A=12,由题意知 A 为锐角,所以 cos A=32.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,
16、可得 1+3bc=b2+c22bc,即 bc2+3,且当 b=c 时等号成立.因此12bcsin A2+34.所以ABC 面积的最大值为2+34.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 5.(2015 四川,理 19)如图,A,B,C,D 为平面四边形 ABCD 的四个内角.(1)证明:tan 2=1-cossin;(2)若 A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求 tan 2+tan 2+tan 2+tan 2的值.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36(1)【证明】tan 2=sin 2cos 2=2sin222sin 2cos 2
17、=1-cossin.(2)【解】由 A+C=180,得 C=180-A,D=180-B.由(1),有 tan 2+tan 2+tan 2+tan 2=1-cossin+1-cossin+1-cos(180-)sin(180-)+1-cos(180-)sin(180-)=2sin+2sin.连接 BD.在ABD 中,有 BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD 中,有 BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,所以 AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A,则 cos A=2+2-2-22(+)=62+52-32-422(65+34)=37.于
18、是 sin A=1-cos2=1-37 2=2 107.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 连接 AC.同理可得 cos B=2+2-2-22(+)=62+32-52-422(63+54)=119,于是 sin B=1-cos2=1-119 2=6 1019.所以,tan 2+tan 2+tan 2+tan 2=2sin+2sin=272 10+2196 10=4 103.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 1.辅助角公式 f()=acos+bsin=2+2sin(+)(a,b 为非零常数),要记住几个常用的合成式,例如:sin cos=2sin
19、 4,sin 3cos=2sin 3,3sin cos=2sin 6 等.2.解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤:第一步:将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式.第二步:构造 f(x)=2+2 sin 2+2+cos 2+2.第三步:和角公式逆用 f(x)=2+2sin(x+)(其中 为辅助角).第四步:利用 f(x)=2+2sin(x+)研究三角函数的性质.第五步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 典例导引 3(1)(2017 四川凉山一诊)设向量 a=(cos x,-sin x),b=-cos 2-,c
20、os,且 a=tb,t0,则 sin 2x 的值等于()A.1B.-1C.1D.0(2)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且满足 csin A=3acos C,则 sin A+sin B 的最大值是()A.1B.2C.3D.3(3)(2017 河北冀州中学检测)已知函数 f(x)=sin2x+2 3sin xcos x+sin +4 sin-4.若 x=x0 0 0 2 为 f(x)的一个零点,则 cos 2x0=.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36【解析】(1)b=-cos 2-,cos=(-sin x,cos x),a=tb,cos xco
21、s x-(-sin x)(-sin x)=0,即 cos2x-sin2x=0.tan2x=1,tan x=1,x=2+4(kZ),2x=k+2(kZ),sin 2x=1,故选 C.(2)csin A=3acos C,sin Csin A=3sin Acos C,即 sin C=3cos C,tan C=3,C=3,A=23-B,sin A+sin B=sin 23-+sin B=3sin +6.0B23,6B+6 56,当 B+6=2,即 B=3时,sin A+sin B 的最大值为 3,故选 C.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36(3)f(x)=sin2x+2 3si
22、n xcos x+sin +4 sin-4=sin2x+3sin 2x+12(sin x+cos x)(sin x-cos x)=1-cos22+3sin 2x-12cos 2x=3sin 2x-cos 2x+12=2sin 2-6+12,f(x0)=2sin 20-6+12=0,sin 20-6=-14.0 x02,-62x0-6 56,-62x0-60,cos 20-6=154,cos 2x0=cos 20-6+6=154 32+14 12=3 5+18.【答案】(1)C(2)C(3)3 5+18试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 高招3与三角恒等变换相关题型的解决
23、策略题型 考查内容 解 读 典例指引 三角恒等变换与三角函数的性质 先利用三角恒等变换将三角函数式化为 y=Asin(x+)的形式,再求其周期、单调性、最值等(1)三角函数的性质问题,先化成f(x)=Asin(x+)的形式再求解.要注意在进行此步骤之前,如果函数解析式中出现 及其二倍角、半角或函数值的平方,应根据变换的难易程度去化简,要用到二倍角公式、升幂或降幂公式,把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式(2)要正确理解三角函数的性质,关键是记住三角函数的图象,根据图象并结合整体代入的基本思想即可求f(x)=Asin(x+)的单调性、最值与周期 典例导引3(3)试做真题 高手必备 萃取高招
24、对点精练 考点35 考点36 题型 考查内容 解 读 典例指引 三角恒等变换与解三角形 三角恒等变换与正弦定理、余弦定理相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等 根据所给条件解三角形时,主要有两种途径:(1)利用正弦定理把边的关系化成角,因为三个角之和等于,所以可以先根据此关系把未知量减少,再用三角恒等变换化简求解(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解 典例导引3(2)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 题型 考查内容 解 读 典例指引 三角恒等变换与平面向量 三角恒等变换与平面向量坐标运算相结合,考查平面向量中平行、垂直等坐
25、标运算,三角化简求值、三角函数的性质等 这类题目首先通过平面向量平行或垂直的坐标计算进行过渡,把向量形式化为坐标运算后,接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运算 典例导引3(1)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 1.已知函数 f(x)=sin x+cos x 的图象的一个对称中心是点 3,0,则函数 g(x)=sin xcos x+sin2x 的图象的一条对称轴是直线()A.x=56B.x=43C.x=3D.x=-3【答案】D f 3=32+2=0=-3g(x)=-3sin xcos x+sin2x=-32 sin 2x+1-cos22=
26、-sin 2+6+12对称轴 2x+6=2+k,kZ,x=6+2,kZ,只有选项 D 符合该式,故选 D.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点35 考点36 2.(2017 湖南郴州一测)已知函数 f(x)=3cos2x-2sin xcos x-3sin2x.(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)求函数 f(x)在区间 0,2 上的最大值及所对应的 x 值.【解】(1)由已知得 f(x)=3cos 2x-sin 2x=-2sin 2-3.函数 f(x)的最小正周期 T=.令2+2k2x-3 32+2k(kZ),得 512+kx1112+k(kZ),函数 f(x)的单调递增区间为 512 +,1112 +(kZ).(2)当 x 0,2 时,2x-3 -3,23 ,sin 2-3 -32,1.故函数 f(x)的最大值为 3.由 2x-3=-3,得 x=0,故函数 f(x)取最大值时对应的 x=0.