1、第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若f(x)=2xf(1)+x2,则f(0)=()A.2B.0C.-2D.-4解析:由已知得f(x)=2f(1)+2x,所以f(1)=2f(1)+2,解得f(1)=-2,于是f(x)=-4+2x,故f(0)=-4.答案:D2.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f(x)的单调递增区间为 ()A.(-1,0)B.(-1,0),(2,+)C.(2,+)D.(0,+)解析:由题意知,f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2x-2-4x=2(x2
2、-x-2)x=2(x+1)(x-2)x.由f(x)0,得x2.答案:C3.若二次函数y=f(x)的图象的顶点坐标是(2,-4),则函数f(x)在x=2处的导数等于()A.2B.-4C.0D.4解析:二次函数的图象在顶点处的切线与x轴平行,其斜率等于0,所以导数为0,即f(2)=0.答案:C4.已知某列车沿直线轨道前进,刹车后列车的速度为v(t)=18-6t,则列车的刹车距离为()A.27B.54C.81D.13.5解析:令v(t)=0,得18-6t=0,得t=3,所以列车的刹车距离为03 v(t)dt=03 (18-6t)dt=(18t-3t2)|03=27.答案:A5.若函数f(x)=x2-
3、aln x在区间14,12上单调递增,则实数a的取值范围是()A.a12B.a18C.a12D.a18解析:f(x)=2x-ax,依题意得2x-ax0在区间14,12上恒成立,即a2x2,而y=2x2在区间14,12上满足18y12,所以实数a的取值范围是a18.答案:B6.对任意的xR,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值的充要条件是()A.0a21B.a=0或a=7C.a21D.a=0或a=21解析:f(x)=3x2+2ax+7a,当=4a2-84a0,即0a21时,f(x)0恒成立,函数f(x)不存在极值.故选A.答案:A7.已知f(x)=kx2+2x+2k在(1,2)内有极值点
4、,则k的取值范围是()A.-1k-12 B.k-12C.12k1 D.k12或k1解析:f(x)=2kx+2,由题意知f(1)f(2)0,即(2k+2)(4k+2)0,解得-1k0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中kN*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是.解析:因为y=2x,所以函数y=x2(x0)在点(a1,a12)(a1=16)处(即点(16,256)处)的切线方程为y-256=32(x-16).令y=0,得a2=8.同理函数y=x2(x0)在点(a2,a22)(a2=8)处(即点(8,64)处)的切线方程为y-64=16(x-8).令y=0,得a
5、3=4,依次同理求得a4=2,a5=1.所以a1+a3+a5=21.答案:2115.设函数f(x)=2ln x-12mx2-nx,若x=2是f(x)的极大值点,则m的取值范围为.解析:函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=2x-mx-n.依题意得f(2)=1-2m-n=0,即n=1-2m.于是f(x)=2x-mx+2m-1=-(x-2)(mx+1)x,若m0,显然x=2是f(x)的极大值点,满足题意;若m2,解得m-12.综上,m的取值范围为-12,+.答案:-12,+三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)设函数f(x)=exx.(
6、1)求函数f(x)的单调区间;(2)若k0,求不等式f(x)+k(1-x)f(x)0的解集.解:(1)f(x)=1xex-1x2ex=x-1x2ex.由f(x)=0,得x=1.当x0时,f(x)0;当0x1时,f(x)1时,f(x)0.所以f(x)的单调递增区间是1,+),单调递减区间是(-,0),(0,1).(2)由f(x)+k(1-x)f(x)=x-1+kx-kx2x2ex=(x-1)(-kx+1)x2ex0,得(x-1)(kx-1)0.故当0k1时,原不等式的解集是x1x1时,原不等式的解集是x1kx1.17.(8分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=-23与x=1处都取得极值.
7、(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间-2,2上的最大值与最小值.解:(1)f(x)=3x2+2ax+b,由题意,得f-23=0,f(1)=0,即43-4a3+b=0,3+2a+b=0,解得a=-12,b=-2,经检验符合题意,所以f(x)=x3-12x2-2x.(2)由(1)知f(x)=3x+23(x-1),令f(x)=0,得x1=-23,x2=1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-2-2,-23-23-23,11(1,2)2f(x)+0-0+f(x)-6极大值2227极小值-322由上表知f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(-2)=-6.1
8、8.(9分)(2018全国高考)已知函数f(x)=aex-ln x-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a1e时,f(x)0.(1)解f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aex-1x.由题设知,f(2)=0,所以a=12e2.从而f(x)=12e2ex-ln x-1,f(x)=12e2ex-1x.当0x2时,f(x)2时,f(x)0.所以f(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+)内单调递增.(2)证明当a1e时,f(x)exe-ln x-1.设g(x)=exe-ln x-1,则g(x)=exe-1x.当0x1时,g(x)1时,g(x)
9、0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x0时,g(x)g(1)=0.因此,当a1e时,f(x)0.19.(10分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为x(0x1),那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).(1)写出y与x的函数关系式;(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大,并求出最大利润.解:(1)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x)元,月平
10、均销售量为a(1-x2)件,则月平均利润y=a(1-x2)20(1+x)-15=5a(1+4x-x2-4x3)(0x1).(2)由y=5a(4-2x-12x2)=0,得x=12x=-23舍去.当0x0,函数为增函数;当12x1时,y0,函数为减函数,所以函数y=5a(1+4x-x2-4x3)(0x0;当x(3-23,3+23)时,f(x)0,所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0.设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)20,仅当x=0时g(x)=0,所以g(x)在区间(-,+)内单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162-160,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.7