1、最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系第3讲平面向量的数量积1平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量_ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab_，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积知 识 梳 理|a|b|cos|a|b|cos|b|cos 2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，
2、y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|aa x21y21.(3)夹角：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.(4)两非零向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21 x22y22.3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量
3、，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)两个向量的夹角的范围是0，2.()(4)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和b 的夹角为钝角()(5)abac(a0)，则 bc.()2(2014新课标全国卷)设向量 a，b 满足|ab|10，|ab|6，则 ab()A1 B2 C3 D5 解析|ab|10，a22abb210.又|ab|6，a22abb26.由，得 4ab4，即 ab1，故选 A.答案 A 解析 因为2a3b(2k3，6)，由(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3，选C.答案 C
4、3(2014重庆卷)已知向量 a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数 k()A92B0 C3D.1524(2014新课标全国卷)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO 12(AB AC)，则AB 与AC 的夹角为_解析 由AO 12(AB AC)可知 O 为 BC 的中点，即 BC 为圆 O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以BAC90，所以AB 与AC 的夹角为 90.答案 905(人教A必修4P104例1改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_ 解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为：|b|cos 4
5、cos 1202.答案 2考点一 平面向量的数量积【例 1】(1)(2014重庆卷)已知向量 a 与 b 的夹角为 60，且 a(2，6)，|b|10，则 ab_(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则DE CB 的值为_；DE DC 的最大值为_解析(1)由 a(2，6)，得|a|（2）2（6）22 10，故 ab|a|b|cosa，b2 10 10cos 6010.深度思考 对于第(2)小题同学们首先想到的方法是什么？这里提醒同学们此题可有三种解法：法一利用定义；法二利用向量的坐标运算；法三利用数量积的几何意义，你不妨试一试(2)法一 如图，DE CB(D
6、A AE)CB DA CB AE CB DA 21，DE DC(DA AE)DC DA DC AE DC AE DC|AE|DC|DC|21.法二 以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设 E(t，0)，t0，1，则DE(t，1)，CB(0，1)，所以DE CB(t，1)(0，1)1.因为DC(1，0)，所以DE DC(t，1)(1，0)t1，故DE DC 的最大值为 1.法三 由图知，无论 E 点在哪个位置，DE在CB 方向上的投影都是 CB1，DE CB|CB|11.当 E 运动到 B 点时，DE 在D
7、C 方向上的投影最大即为DC1，(DE DC)max|DC|11.答案(1)10(2)1 1规律方法(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补【训练 1】(1)已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为3，若向量b1e12e2，b23e14e2，则 b1b2_(2)已知点 A，B，C 满足|AB|3，|BC|4，|CA|5，则AB BCBC CA CA AB 的值是_解析(1)b1b2(e12e2)(3e14
8、e2)3e212e1e28e22 3211cos 3 86.(2)法一 如图，根据题意可得ABC 为直角三角形，且 B2，cos A35，cos C45，AB BC BC CA CA AB BC CA CA AB 45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A 20451535 25.答案(1)6(2)25法二 易知AB BC CA 0，将其两边平方可得AB 2BC 2CA 22(AB BC AB CA BC CA)0，故AB BC AB CA BC CA 12(AB 2BC 2CA 2)25.考点二 平面向量的夹角与垂直【例2】(1)平面向量a，b满足|a|1，|b|2，且(a
9、b)(a2b)7，则向量a，b的夹角为_(2)已知向量AB 与AC 的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若AP AB AC，且AP BC，则实数 的值为_解析(1)因为|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，所以 a2ab2b27，所以 12cosa，b2227，所以 cosa，b0.又a，b0，所以a，b2.(2)由APBC，知APBC 0，即APBC(AB AC)(AC AB)(1)AB AC AB 2AC 2(1)3212 940，解得 712.答案(1)2 (2)712规律方法(1)根据平面向量数量积的性质：若 a，b 为非零向量，cos ab|a|b|(夹角公式)，aba
10、b0 等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题(2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角【训练2】(1)已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_(2)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_解析(1)由 ab0，即 230，解得 32.由 ab，得 6，即 6.此时 b3a，ab0，但 a 与 b 的夹角为，因此32，且 6.(2)bcbta(1t)btab(1t)b2t|a|b|cos 60(1t)|b|212t
11、1t12t10，t2.答案(1)(，6)6，32 (2)2考点三 平面向量的模及应用【例 3】(1)已知向量 a，b 均为单位向量，它们的夹角为3，则|ab|()A1 B.2C.3D2 (2)(2014湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点 D 满足|CD|1，则|OA OB OD|的最大值是_解析(1)因为向量 a，b 均为单位向量，它们的夹角为3，所以|ab|（ab）2 a22abb212cos 3 1 3.(2)设 D(x，y)，由|CD|1，得(x3)2y21，向量OA OB OD(x1，y 3)，故|OA OB OD|（x1）2（y 3
12、）2的最大值为圆(x3)2y21 上的动点到点(1，3)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21 的圆心(3，0)到点(1，3)的距离加上圆的半径，即（31）2（0 3）211 7.答案(1)C(2)1 7规律方法(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|aa及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运 算转化为数量积运算；几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示
13、的图形求解【训练 3】(1)(2015潍坊模拟)如图，在 ABC 中，O 为 BC 中点，若 AB1，AC3，AB，AC 60，则|OA|_(2)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_解析(1)因为AB，AC 60，所以AB AC|AB|AC|cos 60131232，又AO 12AB AC，所以AO 214(AB AC)214(AB 22AB AC AC 2)，即AO 214(139)134，所以|OA|132.(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx
14、，D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)PA(2，x)，PB(1，ax)，PA3PB(5，3a4x)，|PA3PB|225(3a4x)225，当 x3a4 时取等号|PA3PB|的最小值为 5.答案(1)132 (2)5思想方法1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧易错防范1(1)0与实数0的区别：0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2ab0不能推出a0或b0，因为ab0 时，有可能ab.3在运用向量夹角时，注意其取值范围0，4在用|a|a2求向量的模时，一定要把求出的 a2 再进行开方.