1、专题十一 导数与定积分 这一章的内容可以说是高中阶段最难的内容之一,在考试中的命题也往往是压轴题,是全试卷的最难之处.对于真正理解了导数概念并能灵活应用导数解题的人来说,往往会发现,导数有四个特点:“无聊,无敌,无解,无赖”.在平时的学习中,首先要掌握基本初等函数的求导公式,然后利用导数来研究函数的性质.一旦熟练了基本做题方法,就会发现每次导数大题的第一问总是会涉及单调性、极值、切线方程等基本概念,做这种题已经感觉到了“无聊”.之后就会发现,凡是涉及不等式,总是会作差来构造函数,然后再求导,判断性质之后求极值点题目便瞬间毫无悬念,这便是导数的“无敌,无解”之处.随着做题逐渐增多,我们会发现导数
2、题的花样很多,总是开始做题时摸不着头脑,这个时候不妨求一下导,如果题目仍然不会就再求导,多求几次导并化简之后,题目便回到了自己熟悉的形式,从这个角度来看,导数以一种近乎“无赖”的形式展现在我们的面前,一拿到题就求导,导数已经成为了“万能”的方法.在本章的查错机制中解答第一问时看一下是否漏掉了函数定义域;在第二问中,如果能够得到最后题目中所要证明的结论,那么这个题就基本正确了,所以说导数题并不需要特殊的检查.复旦大学经济学院 张 晔 考点 考纲内容 高考示例 考查频度 考情分析 22.导数的几何意义 1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.2016 课标,理 162016 课标,理
3、152014 课标,理 8 5 年 3 考 1.高频考向:导数的几何意义与直线相联系.2.低频考向:单独考查定积分的计算.3.特别关注:(1)以函数的解析式、圆锥曲线为背景考查曲线的切线方程问题;(2)定积分与几何概型、二项式定理的联系.23.定积分的计算与应用 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.5 年 0 考 考点22 考点23 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22导数的几何意义 1.(2014课标,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3【答案】D
4、y=ax-ln(x+1),y=a-1+1.y|x=0=a-1=2,得 a=3.考点22 考点23 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 2.(2016课标,理16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.【答案】1-ln 2【解析】对函数 y=ln x+2 求导,得 y=1,对函数 y=ln(x+1)求导,得y=1+1.设直线 y=kx+b 与曲线 y=ln x+2 相切于点 P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点 P2(x2,y2),则 y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由点 P1(x1,y1)在切线上,得 y-(
5、ln x1+2)=11(x-x1),由点 P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=12+1(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以 11=12+1,ln(2+1)=ln 1+22+1+1,解得 x1=12,所以 k=11=2,b=ln x1+2-1=1-ln 2.考点22 考点23 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 3.(2016课标,理15)已知f(x)为偶函数,当x0时,-x0,则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f(x)=-3,f(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.
6、1 考点22 考点23 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 4.(2014江西,理13)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 .【答案】(-ln 2,2)【解析】设点 P 的坐标是(x0,e-0),则由题意知,y|=0=-e-0=-2,得 x0=-ln 2,又e-0=eln 2=2,故点 P 的坐标是(-ln 2,2).考点22 考点23 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 5.(2017 北京,理 19)已知函数 f(x)=excos x-x.(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数 f(x)在区间 0,2 上的最大值
7、和最小值.【解】(1)因为 f(x)=excos x-x,所以 f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0.又因为 f(0)=1,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y=1.(2)设 h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则 h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.当 x 0,2 时,h(x)0,所以 h(x)在区间 0,2 上单调递减.所以对任意 x 0,2 有 h(x)h(0)=0,即 f(x)0.所以函数 f(x)在区间 0,2 上单调递减.因此 f(x)在区间 0,2 上的最大值为 f(0)=1,
8、最小值为 f 2=-2.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 1.导数的定义:函数 y=f(x)的导数 f(x),就是函数的增量 y 与自变量增量 x 的比当 x0 时的极限,即 f(x)=lim0yx=x0(+)-().2.导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数值f(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,即k=f(x0).3.导数的物理意义:函数s=s(t)在点t0处的导数s(t0)是物体的运动方程s=s(t)在t0时刻的瞬时速度v,即v=s(t0);v=v(t)在点t0处的导数v(t0)是物体的运动方程v=v(t)在t0时刻的瞬时加
9、速度a,即a=v(t0).试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 典例导引1(1)(2017河南百校联盟质检)设曲线f(x)=exsin x在(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行,则m=.(2)若点P是函数图象上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为,则的最小值是 .y=ex-e-x-3x-12 12 【解析】(1)f(x)=ex(sin x+cos x),k=f(0)=1=-1,m=-1.(2)由导数的几何意义,知 k=y=ex+e-x-32 ee-3=-1,当且仅当 x=0 时等号成立.即 tan-1,0,).又-12x12,tan=k0,所以 的最小值是34.【答
10、案】(1)-1(2)34试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 高招1导数的几何意义应用规律类型 解 读 典例指引 求参数值 已知曲线上一点 P(x0,y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直),应先确定该切线的斜率 k,再求出函数的导函数,最后利用导数的几何意义得到 k=f(x0)=tan,求有关参数的值 典例导引1(1)求直线的倾斜角 由 k=f(x0)=tan 可求,其中倾斜角 0,)典例导引1(2)温馨提醒 切点的三重身份的灵活应用,即(1)切点在切线上;(2)切点在曲线上;(3)切线斜率 k=f(x0)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 典
11、例导引2(1)(2017山西临汾五校三联)已知函数f(x)是奇函数,当x0,则-x0,f(x)为奇函数,当 x0,ae-20.a2e,a+e+2=a+12,当且仅当 a=1 时取等号.故选 C.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 2.(2017广东阶段性测评)曲线y=sin x+1在点(0,1)处的切线方程为 .【答案】y=x+1【解析】y=cos x,y|x=0=cos 0=1.切线方程为y-1=1(x-0),即y=x+1.3.(2017广西河池二模)已知曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b的值为 .【答案】
12、1【解析】两曲线的交点为(0,m),m=acos 0,m=02+b0+1.m=1,a=1.曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线,f(0)=g(0).-sin 0=20+b.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 考点23定积分的计算与应用 1.(2014 陕西,理 3)定积分 10(2x+ex)dx 的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-1【答案】C 因为(x2+ex)=2x+ex,所以 10(2x+ex)dx=(x2+ex)|01=(1+e1)-(0+e0)=e.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 2.(2015天津,理11)曲线y=
13、x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 .【答案】16【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数 y=x2 与 y=x 的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为 S.由 =2,=,得 =0,=0或 =1,=1.故所求面积 S=10(x-x2)dx=12 2-13 3 01=16.3.(2015 湖南,理 11)20(x-1)dx=.【答案】0 【解析】20(x-1)dx=12 2-02=0.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 1.微积分基本定理一般地,如果 f(x)是区间a,b上的连续函数,并且 F(x)=f(x),那么 f(x)dx=F(x)|,这个结论叫
14、做微积分基本定理.把 F(b)-F(a)记成F(x)|,即 f(x)dx=F(x)|=F(b)-F(a).2.定积分的运算性质(1)kf(x)dx=k f(x)dx(k 为常数).(2)f1(x)f2(x)dx=f1(x)dx f2(x)dx.(3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中 acb).试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 3.曲边梯形的面积 当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的取值为正值;当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的取值为负值;当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0.几种典型的曲边梯形面积的计算方
15、法:试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23(1)由三条直线 x=a,x=b(ab)、x 轴、一条曲线 y=f(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积:S=f(x)dx(如图).图试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23(2)由三条直线 x=a,x=b(ab)、x 轴、一条曲线 y=f(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积:S=()d=-f(x)dx(如图).图试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23(3)由两条直线 x=a,x=b(ab)、两条曲线 y=f(x)、y=g(x)(f(x)g(x)围成的平面图形的面积:S=f(x)-g(x)
16、dx(如图).图试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 典例导引 3(1)(2017 中原名校三评)已知函数f(x)=-13 2+3,-3,0,9-2,(0,3,则 3-3 f(x)dx=.(2)20 sin22dx=.(3)定积分 1-1(|x|-1)dx=.(4)计算:3-3(x3cos x)dx=.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23【解析】(1)(几何法)3-3 f(x)dx=0-3 -13 2+3 dx+30 9-2dx,其中 0-3 -13 2+3 dx=-19 3+3|-30=6.由定积分的几何意义可知,30 9-2dx 表示以(0,0)
17、为圆心,半径为 3 的圆的面积的14,即94,故 3-3 f(x)dx=6+94,故答案为 6+94.(2)(定理法)20 sin22dx=20 12-12 cos dx=12-12 sin|02=4 12.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23(3)(性质法)1-1(|x|-1)dx=10(x-1)dx+0-1(-x-1)dx=12 2-|01+-12 2-|-10=-1.(4)(奇偶性法)y=x3cos x 是奇函数,3-3(x3cos x)dx=0.【答案】(1)6+94 (2)4 12(3)-1(4)0试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 高招
18、3求定积分的常用方法方法 解 读 适合题型 典例指引 定理法 利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积函数的原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算,可利用此结论检验被积函数的正确性 函数较简单 典例导引3(2)几何法 用定积分的几何意义来求,即通过图形中面积的计算来求定积分值的大小 函数较复杂且有明显的几何意义 典例导引3(1)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 方法 解 读 适合题型 典例指引 性质法 利用定积分的性质 f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx,根据函数的定义域,将积分区间分解为若干部分,代入相应的解析式,分别求出积分值,相加即可
19、绝对值函数、分段函数 典例导引3(3)奇偶性法 若函数 f(x)为偶函数,且在区间-a,a上连续,则 -f(x)dx=2 0 f(x)dx;若 f(x)是奇函数,且在区间-a,a上连续,则 -f(x)dx=0 函数为奇函数或偶函数 典例导引3(4)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 典例导引 4 求曲线 y=,y=2-x,y=-13x 所围成图形的面积.【解】由 =,=2-得交点 A(1,1).由 =2-,=-13,得交点 B(3,-1).故所求面积 S=10 +13 dx+31 2-+13 dx=23 32+16 2|01+2-13 2|13=23+16+43=136
20、.【点评】根据曲线围成的图形的特点,直线x=1将图形一分为二用定积分求解面积.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 高招4利用定积分求平面图形面积的步骤步 骤 解 读 建系画图 根据题意画出图形 确定函数 借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限 分割面积 将要求面积的图形进行科学而准确的划分,表示成若干个定积分的和或差 准确计算 计算定积分得出答案 温馨提醒(1)注意面积非负,而定积分的结果可以为负.(2)若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 1.(2017 江西抚州七校联考)设
21、 f(x)+g(x)=+12tdt,xR,若函数 f(x)为奇函数,则 g(x)的解析式可以为()A.x3B.1+xC.cos xD.xex【答案】B +12tdt=t2|+1=(x+1)2-x2=2x+1,故 f(x)+g(x)=2x+1,逐个检验选项,代入 g(x)=1+x 显然满足题意,故选 B.2.(2017 河北唐山模拟)曲线 y=x3 与 y=所围成的封闭图形的面积为 .【答案】512【解析】由题意,知所围成的封闭图形的面积为 10(-x3)dx=23 32-14 4|01=512.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点22 考点23 3.(2017 湖北荆州模拟)计算:31 2-12 dx=.【答案】223【解析】因为 F(x)=2+1=2x-12,所以 31 2-12 dx=F(3)-F(1)=9+13-1-1=223.