1、最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.第7讲 抛物线1抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的_(2)其数学表达式：|MF|d(其中d为点M到准线的距离)知 识 梳 理相等准线2抛物线的标准方程与几何性质图形 标准方程 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性质 顶点 O(0，0)对称轴 y0 x0 焦点 离心率 e1 准线方程 范围 x0
2、，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 F p2，0F p2，0F 0，p2F 0，p2xp2xp2yp2yp21判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()诊 断 自 测(2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 xa4.()Ay1 By2 Cx1
3、Dx2答案 A2(2014安徽卷)抛物线 y14x2 的准线方程是()解析 由 y14x2，得 x24y，焦点在 y 轴正半轴上，且2p4，即 p2，因此准线方程为 yp21.故选 A.答案 A3已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0()A1 B2 C4 D8解析 由 y2x，得 2p1，即 p12，因此焦点 F14，0，准线方程为 l：x14.设 A 点到准线的距离为 d，由抛物线的定义可知 d|AF|，从而 x01454x0，解得 x01，故选 A.4(2014辽宁卷)已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与
4、C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()解析 A(2，3)在抛物线y22px的准线上，A.12B.23C.34D.43p22，p4，y28x，设直线 AB 的方程为xm(y3)2，将与 y28x 联立，即xm（y3）2，y28x，得 y28my24m160，答案 D则(8m)24(24m16)0，即 2k23m20，解得m2 或 m12(舍去)，将 m2 代入解得x8，y8，即 B(8，8)，又 F(2，0)，kBF808243，故选 D.5动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直
5、线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案 y24x考点一 抛物线的定义及应用【例1】(1)F是抛物线y22x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|BF|6，则线段AB的中点到y轴的距离为_(2)已知点P是抛物线y24x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|4时，|PA|PM|的最小值是_解析(1)如图，过 A，B 分别作准线的垂线，垂足分别为 D，E，由|AF|BF|6 及抛物线的定义知|AD|BE|6，所以线段 AB 的中点到准线的距离为12(|AD|BE|)3.又抛物线的准线为 x12，所以线段 AB的中点到 y 轴的距离为
6、52.(2)将 x4 代入抛物线方程 y24x，得 y4，|a|4，所以 A 在抛物线的外部，如图由题意知 F(1，0)，抛物线上点 P到准线 l：x1 的距离为|PN|，由定义知，|PA|PM|PA|PN|1|PA|PF|1.当 A，P，F 三点共线时，|PA|PF|取最小值，此时|PA|PM|也最小，最小值为|AF|1 9a21.答案(1)52(2)9a21规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径【训练1】已知点P是抛物线y22
7、x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172 B3 C.5D.92答案 A解析 抛物线 y22x 的焦点为 F12，0，准线是 l，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离，因此要求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点 F 到点(0，2)的距离因此所求的最小值等于122（2）2 172，选 A.考点二 抛物线的标准方程和几何性质 (2)过抛物线y24x的焦点F的直
8、线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为_【例 2】(1)已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为()Ax28 33 yBx216 33yCx28yDx216y解析(1)x2a2y2b21 的离心率为 2，ca2，即c2a2a2b2a24，ba 3.x22py 的焦点坐标为0，p2，x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，即 y 3x.由题意得p21（3）22，p8.故 C2 的方程为 x216y.(2)由题意设 A(x1，y1)，B
9、(x2，y2)(y10，y20)，如图所示，|AF|x113，x12，y12 2.设 AB 的方程为 x1ty，由y24x，x1ty消去 x 得 y24ty40.y1y24.y2 2，x212，SAOB121|y1y2|3 22.答案(1)D(2)3 22规律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此【训练2】(1)已知点A(2，3)在抛
10、物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A43B1 C34D12(2)(2014湖南卷)如图，正方形 ABCD和正方形 DEFG 的边长分别为 a，b(a0)经过 C，F 两点，则ba_ 解析(1)由点 A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准线上，得焦点 F(2，0)，kAF32234，故选 C.(2)由正方形的定义可知 BCCD，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以|AD|pa，Dp2，0，Fp2b，b，将点 F 的坐标代入抛物线的方程得 b22pp2b a22ab，变形得ba22ba 10，解得ba1 2或ba1 2(舍去)，所以ba1 2.答案(1)
11、C(2)1 2考点三 抛物线焦点弦的性质【例3】设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.证明 法一 由题意可设直线 AB 的方程为 xmyp2，代入 y22px，得 y22pmyp20.由根与系数的关系，得 yAyBp2，即 yBp2yA.BCx 轴，且 C 在准线 xp2上，Cp2，yB.则 kOC yBp22pyAyAxAkOA.直线 AC 经过原点 O.法二 如图，记准线 l 与 x 轴的交点为 E，过 A 作 ADl，垂足为 D.则 ADEFBC.连接 AC 交 EF 于点 N，则|EN|AD|
12、CN|AC|BF|AB|，|NF|BC|AF|AB|.|AF|AD|，|BF|BC|，|EN|AD|BF|AB|AF|BC|AB|NF|，即 N 是 EF 的中点，从而点 N 与点 O 重合，故直线 AC 经过原点 O.规律方法 本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yAyBp2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目【训练 3】已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2
13、p2，x1x2p24；(2)1|AF|1|BF|为定值；(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为p2，0.由题意可设直线方程为 xmyp2，代入 y22px，得 y22pmyp2，即 y22pmyp20.(*)则 y1，y2 是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2p2.因为 y212px1，y222px2，所以 y21y224p2x1x2，所以 x1x2y21y224p2 p44p2p24.(2)1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2（x1x2）p24.因为 x1x2p24，x1x2|AB|p，代入上式，得 1|AF|1|BF|A
14、B|p24 p2（|AB|p）p242p(定值)(3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为 C，D，过 M 作准线的垂线，垂足为 N，则|MN|12(|AC|BD|)12(|AF|BF|)12|AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切考点四 直线与抛物线的位置关系 (1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程【例 4】(2014大纲全国卷)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|Q
15、F|54|PQ|.解(1)设 Q(x0，4)，代入 y22px 得 x08p.所以|PQ|8p，|QF|p2x0p28p.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21，2m)，由题设得p28p548p，解得 p2(舍去)或 p2.|AB|m21|y1y2|4(m21)又 l的斜率为m，所以 l的方程为 x1my2m23.将上式代入 y24x，并整理得 y24my4(2m23)0.设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，则 y3y4
16、4m，y3y44(2m23)故 MN 的中点为 E2m22m23，2m，|MN|1 1m2|y3y4|4（m21）2m21m2.由于 MN 垂直平分 AB，故 A，M，B，N 四点在同一圆上等价于|AE|BE|12|MN|，从而14|AB|2|DE|214|MN|2，即4(m21)22m2m22m22 2化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.规律方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点
17、，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解4（m21）2（2m21）m4.【训练4】已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数 m，对于过点 M(m，0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有FAFB 0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)设 P(x，y)是曲线 C 上任意一点，那么点 P(x，y)满足：（x1）2y2x1(x0)化简得 y24x(
18、x0)(2)设过点 M(m，0)(m0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)设 l 的方程为 xtym，由xtym，y24x得 y24ty4m0，16(t2m)0，于是y1y24t，y1y24m.又FA(x11，y1)，FB(x21，y2)，FAFB 0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又 xy24，于是不等式等价于y214 y224 y1y2y214y224 10（y1y2）216y1y214（y1y2）22y1y2 10.由式，不等式等价于 m26m14t2.对任意实数 t，4t2 的最小值为 0，所以不等式对于一切t 成立等价于
19、 m26m10，即 32 2m32 2.由此可知，存在正数 m，对于过点 M(m，0)且与曲线 C有两个交点 A，B 的任一直线，都有FAFB 0，且 m 的取值范围是(32 2，32 2)思想方法1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)2抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解题中有着重要作用3抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)若直线 AB 的倾斜角为，则|AB|2psin2；|AB|x1x2p；(3)若 F 为抛物线焦点，则有 1|AF|1|BF|2p.易错防范1认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)2直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件；由于抛物线及双曲线问题的特殊性，有时借助数形结合可能会更直观、更方便，当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，都只有一个交点，但此时并非相切.
