1、第一章1.3 1.3.2 第2课时考点对应题号基础训练能力提升1.直线与抛物线的位置关系1,2,3,4,7,105,6,10,132.弦长及中点弦问题893.定点或定值问题711,12一、选择题1抛物线y24px(p0)的焦点为F，准线为l，则p表示()A点F到y轴的距离B点F到准线l的距离C点F的横坐标D点F到抛物线上一点的距离A解析 因为焦点到准线的距离为2p，所以p表示点F到y轴的距离2经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是()A6x4y30 B3x2y30C2x3y20 D2x3y10A解析 设直线l的方程为3x2yc0.因为抛物线y22x的焦点坐标为，所以3
2、20c0，所以c，故直线l的方程是6x4y30.故选A项3抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是()A2 B2C D1D解析 抛物线y28x的焦点F(2,0)到直线xy0的距离d1.故选D项4设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A B2,2C1,1 D4,4C解析 由已知可设直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立得消去x得到关于y的方程ky28y16k0.当k0时，直线与抛物线有一个交点；当k0时，令6464k20，解得1k0或0k1.故1k1.5对于抛物线C：y24x，我们称满足y4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，
3、若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是()A恰有一个公共点B恰有两个公共点C可能有一个，也可能有两个公共点D无公共点D解析 由消去x得y22y0y4x00，因为该方程的判别式4y16x016x016x00，所以直线与抛物线无公共点6抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是()A BC D3A解析 方法一设直线4x3ym0与抛物线yx2相切，则联立两方程，消去y得3x24xm0.令0，有m.故两直线间的距离为.方法二设抛物线yx2上一点为(m，m2)，该点到直线4x3y80的距离为|4m3m28|，当m时，取得最小值为.二、填空题7直线
4、yxb交抛物线yx2于A，B两点，O为抛物线的顶点，且OAOB，则b的值为_.解析 由得x22x2b0，由已知得(2)28b0.设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系得x1x22，x1x22b，于是y1y2(x1x2)2b2，由OAOB知x1x2y1y20，故b22b0，解得b2或b0(不合题意，舍去)答案 28已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A，B满足A3F，则弦AB的中点到准线的距离为_.解析 依题意，设直线AB的方程是xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去x得y24my40，所以y1y24m，y1y24.又A3F，则y13y2，解
5、得y，(4m)2(y1y2)24y，弦AB的中点到准线的距离为11111.答案 9已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为_.解析 由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线方程为y24x，显然斜率不存在时不满足题意，设直线方程为y2k(x2)，联立方程组消去y得k2x24k(1k)4x4(1k)20，显然2，得k1.直线l的方程为xy0.答案 xy0三、解答题10已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过点M(1,0)且斜率为 的直线与l相交于点A，与C的一个交点为点B，若，求抛物线C的方程解析 如图，
6、过点B作BEl于点E.因为，所以M为中点，所以|BM|AB|，又因为k，所以BAE30，所以|BE|AB|，所以|BM|BE|，由抛物线定义知M为焦点，所以p2，所以y24x.11已知AOB的一个顶点为抛物线y22x的顶点，点A，B都在抛物线上，且AOB90，证明：直线AB必过一定点证明 设OA所在直线的方程为ykx，则直线OB的方程为yx，由题意知k0，由解得或即点A的坐标为，同样由解得点B的坐标为(2k2，2k)故AB所在直线的方程为y2k(x2k2)，化简并整理，得yx2.不论实数k取任何不等于0的实数，当x2时，恒有y0.故直线过定点P(2,0)12A，B是抛物线y22px(p0)上的
7、两点，满足OAOB(O为坐标原点)(1)求证：A，B两点的横坐标之积为定值；(2)求线段AB的中点的轨迹方程解析 (1)证明：显然OA和OB所在的直线不可能是一条斜率为0，一条垂直于x轴，设OA所在直线方程为ykx，则OB所在直线方程为yx.设A(xA，yA)，B(xB，yB)由方程组 得A，同理得B(2pk2，2pk)，所以xAxB2pk24p2(定值)，所以A，B两点的横坐标之积为定值(2)设线段AB的中点为M(x，y)，则消去参数k得2，即所求线段AB的中点的轨迹方程是y2px2p2.四、选做题13已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)与圆x2(y2)24相切的直线l：ykxt交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足()(0)，求的取值范围解析 (1)设抛物线标准方程为x22py(p0)，当x2时，y，由2得p2，所以抛物线的标准方程为x24y.(2)由已知得2，所以4k24tt2，所以k2t.由得x24kx4t0，16(k2t)0.由可知t(，8)(0，)设C(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24k，所以y1y2k(x1x2)2t4k22t.又()，所以代入x24y，得16k224(4k22t)所以11.因为t8或t0，所以0或0，所以.